空间解析几何例题.docx

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1、第4章向量代数与空间解析几何习题解答习H4.1一、计算与证明JB1 .f1.f=.|方F4,c=5.并且。+8+c=0.ffab+bc+cn.解：因为Ia1.=I,I力=4.c=5,并且+8+c=0所以。与同向,且+Z与C反向因此“8=0frc=Ocw=O所以8+力c+c0=O2 .b=3.IaXb1.=4.求IaHN帕fe=cos=3(1)=-su9=4?+2得M.附=25所以4W=53 .设力厂=-2i+3j+5&作用在点43,6,1),求力F对点8(J,7,-2)的力矩的大小.裤：因为A(3,6,1),凤1,7,-2)所以布=(一2.1-3)力矩M=BF=(-2z+j-3)(-27+3+

2、5k)所以力矩的大小为4 .向量X与“(,52)共线.且满足/1=3.求向量X的坐标.解：设X的坐标为(x.y.z),又a=(1.5-2)那么“x=x+5),-2z=3(1)又X与共线,那么XXa=O即所以J(一Iy-5二+(z+2x)2+(5X-=OUP29x2+52+26x2+2(),yz+4x-I0=O(2)又X与“共线，X与。夹角为O或”整理得x2+y2+2=(3)联立(1人(2*3)解出向量X的坐标为(45 .用向用方法证明,假设一个四边形的对角线互相分，加么该四边形为平行四边形.证明：如下图,因为平行四边形ABCD的对角线互相平分.那么有由矢地合成的三角形法那么有BA=BM+MA所

3、以84=CQ即8A平行且等于CD四边形八8C。星平行四边形6 .点4(3,8,7),倒-1,2,-3)求线段A5的中垂面的方程.解:因为A(387).8(-12-3)八8中垂面I.的点到A、A的即肉相等,设动点坐标为M(,y,z),那么由Md=IA:得化简得2刀+3)，+5一27=0这就是找段AS的中垂面的方程.7 .向fit.b.C具有相同的校.H.两两所成的角相等.假设力的坐标分别为(1.1.0)和(0.1.1).求向收C的坐标.解：H=IM=M=r且它们两两所成的角相等,设为那么有-=I0+II+0I=I那么COS0=舒=!MpI产设向量C的坐标为(.),z)那么“c=Ix+1)+0z=

4、x+y=cos5=rr-=1.(I)?c=O-X+1-y+1z=y+z=|rcos9=rr-y=1(2)所以/+)/+整=2(3)_联立、(2),(3)求出,r=1.)，=0或343_3所以向SU的坐标为(IOI)或(-gq.-g)8 .点A(3,6J),(2,-4,1.).C(O-2,3),ZX-2.O-3).9 1)求以AH.4C.人。为邻边组成的平行六面体的体积.(2) 求:极锥A-3CD的体积.(3)求A88的面枳.,-I0z+10)3,原点到平面”的距离为120,且在三个坐标轴上的截距之比为-2:6:5,求的方程.解：设微距的比例系数为那么该平面的椽拒式方程为化成-般式为一15+5.

5、y+6-30Jt=0又因点O(OoO)到平面a的距璃为120,加么有求出A=4所以，所求平面方程为一158+5丁+62120、琢=04.假设点4(2.0.-1)在平面上的投影为5(-2.5.1),求平面的方程.解：依魄意，设平面的法矢为=(4,一5,2)代入平面的点法式方程为整理得所求平面方程为4a-5v-2z+35=05 .两平面：F+7.y-6z-24=0与平面万：2x-3+11z-19=0相互垂直，求，的值.解：两平面的法矢分别为%=(m,-1.,-6),n,=(2-3m,1.1.),由J%，得,.66求出加=196 .四点A(0.0。),5(.2-53).C(Oj1.2).Df2.0.

6、7),求三棱锥D-ABC中ABC面上的高.解：四点4(0.0.0)B(2-53),C(0A-20(2。.7).那么由方，丽I.灰I为邻边构成的平行六面体的体根为由立体几何可知，-：梭椎D-A4C的体枳为设。到平面ABC的高为那么有%W=SM8C所以H=型(WSA40C又丽=(23)元=(OJ1.2)所以，SmaC=I,左同=：血-2=；阿a11-xT282869因此，H=-=-7=J.质696927 .点儿在2釉上H.到平面a:4.r-2)，-7z+1.4=0的距离为7.求点A的坐标.解；A在Z轴上，放设人的坐标为(OQ,2),由点到平面的距离公式，得所以-7z+14=69那么z=2病那么A点

7、的坐标为a(o.O,2阿8 .点.A在Z轴上且到点8(0,-2,1)与到平面。：6*-2.丫+32=9的距离相等，求点A的坐标.解：4在Z轴上，故设A的坐标为(0,0,0，由两点的距高公式和点到平面的苑高公式得O1(-2)2(1.-z)2=佐-9|v+(-2)2+3-化简得40-74z+229=O因为(-74f-4x40x229=-3I1.Nf-Ax-15=0由直线方程得22-6=0-z-5=06 .平面x+y+z+1.=O上的直线/通过直线4J；+：；,。与此平面的交点且与乙垂乩求/的方程.解：依遨意./与人的交点在平面上设通过交点的平面方程为BP(I+fi)x+(1.+)y+(1.+2)z

8、+1+2=0(1)+2z=0一的一组方向数为y+z+1=0所以莺苦苦由直战与平面睢出得上W=U=1.+2+2f2I1,_2所以广=2+24Jr-j=2+24+434=-g.=-g代入(1)得gx+；)_gz+g=0化简得2r+y-z+1.=0故所求直线方程为.v+,+z+1.=02x+y-z+1=07 .求过点（-3,25）且与两平面x一4z=3和3x-），+Z=I平行宜跳方程.解：与两平面平行的巴线与这两个平面的交设平行，那么口跳的方向矢垂直于这两平面法矢所确定的平面，即白战的方向矢为招点代入直线的标准方程得s.中:三”沌即土税仆面1/：一、27.1.1.uIThtv-150.314求该平面

9、的方程.解：设求作的平面为Ar+By+Cz+0=0宜城五=2二二=三在该平面上，那么有点(一520)在平面上，且H戏的方向矢v=(3.1.4)与平314面的法矢=(4及C)垂宜所以一5A+23+。=。(2)3A+4C=0(3)又平面与平面x+y-z+11=0垂直.那么它们的法矢垂直所以A+4C=O(4)联立(2M3M4)得4Q-代入(I)式消去。井化荷褥求作的平面方程为习4.4一计算J1与证明题I.-动点P到定点A(-4,0,0)的距面是它到8(2,0,0)的距离的两倍.求该动点的轨迹方程.好：设动点P的坐标为P(X,筋2),依遨意，褥化简得.1+),2+z-8x=02 .椭阚跄物面的顶点在原点Xoy面和XOZ面是它的两个对称面,且过点(6.1.2)与求该椭圆如物面的方程.解：顶点在版点，q面和面是它的