微专题31 三角函数的最值问题求解策略（解析版）.docx

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1、微专题31三角函数的最值问题求解策略【方法技巧与总结】三角函数的最值问题主要涉及三角恒等变形，其主要思想是通过适当的三角变形或换元，将复杂的三角问题转化为基本三角函数或基本初等函数问题，再通过三角函数的有界性或求函数最值的方法进行处理.【题型归纳目录】题型一：恒等变形的应用，形如y=asinx+bcosx题型二：二次函数型，形如.y=sin2x+Z?sinx+c题型三：形如y=a(sinx+cosx)2+b(snx+cosx)+c(sinxcosx)题型四：分式结构，形如y=一+)CCOSX+J【典型例题】题型一：恒等变形的应用，形如y=sinx+Z?CoSX例1.求函数y=sinx+Gcos

2、x的周期，最大值和最小值.【解析】解：化简可得y=sinx+Gcosx=2(-sinx+-cosx)22C4.兀=2(cos-snx+sincosx)33=2sin(jc+y).原函数的周期为7=2乃，最大值为2,最小值为-2例2.已知函数/(x)=2si11(sinx+3cosx)-1.(1)求函数/(x)的最小正周期和增区间；(2)当xw0,时，求函数/(x)的最大值和最小值.2【解析】解：(I)f(x)=2sinx(sinx+j3cosx)-1=2sin2x+23sinXCOSx-1=3sin2x-cos2x=2sin(2x-)6.,T=-=11,22x-2k11-,2k11+-=xek

3、11-k11-keZ.62263.函数的增区间为：伙乃一2,k11+,k三Z63(2)x0,刍时=2x-工,；2666l2%-=-g即X=O时，fMmin=一1,66当=3即x=g时，/UU=2.623例3.已知函数f(x)=(V5sinx+cosx)CoSX+?的最大值为2.(I)求/哈)的值；(II)当xeO,/时，求y=(x)-lM(x+)T的最值以及取得最值时X的集合.ftrl解：(I)/(x)=(sinx+cosx)cosx+加=GsinXCoSX+cos?+?=sinZx+I+c；2+/n=sin(2x+)+加+；的最大值为2,177?4=2,口J得m22/W=sin(2x+)+1

4、,6/.f()=sin(2-+)+1=sin+1=+1.J1212632(11)当x0,|1时y=(x)-1卜(x+)-1=sin(2x+2)sin(2x+。)=(*sin2x+cos2x)(；sin2x+与cos2x)oFGFcCGI一=sm2x+cos2x+sin2.rcos2x=+sm4.r,4442当X=工时，Pxexx=-,ymax=2:88wt4当X=9时，即XwxIX=网时，ymin-.884变式1.已知函数/(x)=SingX-GCOSgx(1)求/(幻的最小正周期和对称轴；(2)当xwX,红)时，求/(x)的最大值和最小值.64【解析】解：(1)函数/(x)=Sin1.K-退

5、COS1.X=2sin(x-二)；2223故函数的最小正周期为半=4开，2-x-=k11+-,伏Z),整理得x=2A%+2,(ZeZ).2323故函数的对称轴方程为x=22r+2,(ReZ).3(2)由于xX,里)时，64ml冗，兀19万、23424故SindX-g)-*,l232当X=工时，函数取得最小值为一也，当工=2时，函数取得最大值为1.626变式2.已知函数幻=cos4+2,求：近cos(2x+?)(1)函数的周期；(2)当X为何值时函数/(x)取得最大值？最大值为多少？【解析】解：(1)/(X)=登出一+22cos(2x+-)4(cos2x+sin2x)(COS2x-sin2x)s

6、in2)=Sin2x+8s2x+2=2sin(2x+-)+2,42(2)令2x+工=2左乃+2(&z),解得：x=k11+-428故x=r+巳（左z）时，f（x）取得最大值2+J.8题型二i二次函数型，形如y=asin2x+Z?sinx+c例4.函数V=-COS12X+Sinx的值域为（）A.-1,1B.-,-H4【解析】解：y=-cos2X+sinX,C.D.-1,=sin2X+sinx-1，,J5=(snx+-)，24当S加r=_g时，ymin=-Q5当Sinx=I时.y皿=-j=l,故函数的值域为：-3,1.4故选：C.例5.函数y=SinO+SilIK-1的值域为(A.-1,1B.-1

7、)C.一D.-1,-4【解析】解：y=sin2x+sinx-l,令Sinx=f,则有y=J+-lr-l,1,函数的对称轴：r=-开口向上,2当及f=l时，函数取最值，代入），=/+/-1可得y二，1.24故选：C例6.函数），=852工+5出工-的值域为（）22A.-1,1B.-，1C.,-1D.-1,444【解析】解：函数V=-cos2x+sinx-=-(1-2sin2x)+sin,-=sin2x+sinx-l=(sinx+-)2-222224-lx1,.当SinX=g时，函数y有最小值为一SinX=I时，函数y有最大值为1,故函数)，的值域为-：，1,故选：B.变式3.函数f(X)=COS

8、2x+6cos(y-x)的最大值为()A.4B.5C.6D.7【解析】解:/(x)=cos2x6s(-)=-2sin2x+6sinx+l,令r=sinx,r-l1则函数/(x)可转化为关于f的二次函数y=-2/+6/+1,r-l,1,图象开口向卜.，对称轴为r=3,2所以函数y=-2+6f+l在-1,1上单调递增，所以当f=l时，函数取得最大值为5,故选：B.变式4.已知4VT,则函数丁=8521+收8$工-1)的最小值是()A.1B.1C.2k+1D.2k+1对称轴为X=-K14【解析】解：.y=cos2x+A(cosxI)=2cos2+Acosx-Z-1令r=cosx,则y=2+灯一左一1

9、(一啜)1)是开口向上的二次函数,当1=1是原函数取到最小值1故选：A.变式5.已知函数/(x)=7(sinx+cosx)+!cos4x在x0,2时有最大值为1，则实数一的值为1222【解析】解：函数/(X)=ZW(SinX+cosx)4+gcos4x?(1+2sinxcosx)2+cos4%2zzz(l+2sin2x+sin22x)+(1-2sin22x)2=(?-1)sin22x+2wsin2x+n+g.当n=l时，函数化为：2sin2x+l+1.当sin2x=l时，函数取得最大值，2+1+=2.满足农意.222当相1时，函数化为：(ml)(sin2x+/1.)2+,当sin2x=l时，函

10、数取得最大值,m-2W-I可得?-1+2，+7+,=工，解得z=l,不满足题意.22当犯，时，当sin2x=/1.时，函数取得最大值，此时！/_=,解得?=3，不满2m-n-2m-24足题意.,当_1加时，sin2x=l时函数取得最大值，此时有771-1+2/+机+,=2,解得，=1不满足题意.222综上，n=1.故答案为：1.变式6.已知函数/(#=261114%+854幻+?因114+8$幻4在工60,马上的最大值为5,求实数m的值.2【解析】解：设=sinx,h=cosx11.x0)2则a1+b2=sin2Jt+cos2x=lab=sinXCOSX=-sin2x，2.,.；2X)=2(a

11、4+Z?4)+n(当7=1时，/(x)=+3=2sin2x+3,在X=X时取到最大值5,符合题意；4当Z1时，/(X)=4(m-l)力+2+1!-，2(/n-1)?1由抛物线性质，知：当71时，fWma=/(g)=4(6-DX；+4mx；+2+m=4m+1=5,解得m=l,不符条件，舍去；当TWVl时，若赞Jn则啖m1.2(1tn)22f()mu=/oz.wJ=1=5，解得n=,不符条件，舍去；2(-ni)m-4若gvHl,则/()WU=/(g)=4m+l=5,解得AW=1,不符条件，舍去；若7(sinx+cosx)+c(sinxcosx)例7.函数y=sinxcosx+sinx+cosx,x

12、0,的最大值是_；+及【解析】解：令f=sinx+cosx=夜Sin(X+马，,x0,可得x+工434412.冗、,11,/.sn(x+)-r1*.ZVI，sinxcosx=-2/_11)/.函数y=sinxcosX+sin%+cosx=+r=(r+1)2-122故当f=时，函数y取得最大值为g+故答案为：i+2.2例8.求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.解析解:令F=SinX+cosjt=/2Sin(X+)4Wz/7,23+2V2ye产2+1)=-.变式8.设=sinx8sx,b=sinx+8sx.(1)求,h的关系式；J-y2i舱,则SinXcosx=,2故y=g/+r_g=g+)2_(倡I)2),对称轴是，=-1,故当/=应时，y有最大值g+例9.己知SinX-CoSX=，(I)用/表示sir?X-COS3X的值；(II)求函数y=sinx-COSX+sinx8sx,x0,乃的最大值和最小值.(参考公式：a,-b3=(a-b)(a2+ab+b2)y)【解析】解：由SinX-COSx=f,得1-2SinXcOSX=,即SinXCoSX=21/23113(I)sin3X-cos5X=(sinx-cos)(1+sincosx)=/(1+)=:22(II)由题设知