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1、微专题22函数嵌套问题【题型归纳目录】题型一:“/(/(*)=型问题题型二:/(g()=人型问题题型三:复合函数y=()-X的零点问题题型四:复合函数y=g()-的零点问题题型五:含参二次函数复合型零点问题题型六:零点求和问题题型七:其他型【典型例题】题型一:“/(/(*)=型问题例1.设函数/(X)=幻X-2I,/是函数g(x)=(f(X)-I的所有零点中的最大值,若(%,Z+1)(AZ),则Z=.【解析】解:,函数/(x)=xx-2,当x(0,2)时,f(x)=xx-2=x(2-x)=-(x-)2+,y1;又/是函数g(x)=(x)-l的所有零点中的最大值,所以/(O)=1+应,且/(2)
2、=01+应,因为j(A,k+1)(/:Z)所以A=2,故答案为:2.例2.设函数f(x)=xx-2,则当XW(0,2)时,函数/(x)的最大值等于,若/是函数g(x)=(X)-I的所有零点中的最大值,且陶e(k,Z+1)(AZ),则Z=.【解析】解:当XW(0,2)时,f(x)=xx-2=x(2-x)=-(x-I)2+1,1;作函数/(X)=KlA2的图象如下,X=I或=l+&:又与是函数g(x)=f(x)-l的所有零点中的最大值,.f(%)=l+应;且7(2)=0l+2;故k=2.故答案为:1,2.例3.己知函数/(幻=也叱+(7叫则函数g(x)=/Va)-1的零点个数为()5-x,3,+)
3、A.3B.4C.5D.6【解析】解:令g(x)=/(/(x)-l=O,可得/(x)=-g或r)=l或f(x)=4,函数/()=T%+T3)的图象如图所示,5-x,xw3,+oo)由图象可知,当/*)=-3时,有1个解;当/(幻=1时,有3个解;当了3=4时,有1个解.综上所述,函数g(x)=f(x)-l的零点个数为5个.故选:C.变式1.已知函数/(x)=FgFI)1,则函数g(x)=/V(X)-1的零点个数为()l-x+4x,XOA.4B.7C.8D.9【解析】解:令/(X)=1,解得x=2G或=一1,则令g(x)=O,可得*)=2J或/(x)=-l,作出函数/(x)的图象如图所示,由图象可
4、知,/()=2+6有3个零点,f()=2-有有3个零点,/(X)=T有1个零点,故函数g(x)有7个零点.故选:B.变式2.已知函数人幻=(T)F),则函数g(%)=f(x)+l的零点个数是()x-2,(x.0)A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】解:设M=(x)+1,解/(M)=O,得M=2或M=T,当M=-I时,由f(x)+l=T,得log2(-x)=-2或%-2=-2,即得K=O或X=-1.4当Af=2时,由f(%)+l=2得W即Iogz(T)=I或x-2=1.即4=一2或x=3,综合得:函数g(x)=(x)+l的零点为:工=一2或x=3或X=O或x=-!共4个;4故选:D.变式3.
5、已知函数f(x)=f+q,集合A=x(X)=0,xgRfB=(xf(f(x)=0,xR,若3为单元素集,试求q的值.【解析】.集合A=b(x)=0,B=x(x)=0)/.ABB=xf(fM=0=x/2(x)+/(x)+=0)=xKf(X)+;/+g-;5为单元集,./(X)=g,4A=x(x)=0)=xx2+x+q=O,xwR,当A=0时,8=0不符题意,故A。,当A=x|x=_;)时,=1-4=-J.方程f+g=0有2个不相等的实数解:_f-l-yl-4fT+Jl-4%=122AB当二1一年而WBM有7一年而=解得:=弁2巨或%=三虫(舍去).同理当士号CB时有“=下或呼(舍八妗卜-3+23
6、多人上,C1.=-4题型二:/(g(x)=A型问题例4.已知函数/(幻=一/一21,g)=无x+l,x,O(1)求g(1)的值;(2)若方程g(x)-=O有4个实数根.求实数的取值范围.【解析】解:(1)f(1)=-1-2=-3,gf=g(-3)=-3+l=-2,即g(I)=-2.(2)令/(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程/(x)=f在E(fo,l)内有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g()(rl)与y=的图象有2个不同的交点,作出函数),=g(/1)的图象,如图;g=1+i=g*)=x+2E=2xg=l,由图象可知,当l,3时,函数y=g(f),1)与y=有2个不同
7、的交点,即所求的取值范囿是口,j).例5,设函数/(x)=-%2-2x,g(x)=fh(x)gf(x).x+l,x,O(1)求函数MX)的单调递增区间.(2)若关于X的方程力(x)-=0有4个不同的实数很,求实数”的取值范围.【解析】解:(1)令一/一2X=O得,x=0,或=-2;.当X,-2,或x.O时,f(x,0,当一2vxv0时,F(X)0;.h(x)=/(八)+wi-2x+l,x剌-2或XO当X,-2时,函数(X)为增函数;x.O时,函数力(X)为减函数;当一2vxv0时,令f(x)=r,Ovivl,设y=h(x)则:y=/+Ovrvl,y=/+为减函数,/(1)时,yO,y=r+为增
8、函数;24r令/(X)=-炉-2x=;,WlJx=-l-,当-2工-1-4时,/(%)为增函数,g(x)为减函数,故(X)为减函数;当-1-等%-1时,/(乃为增函数,g(x)为增函数,故人(Jo为增函数;当7xT+#时,/(x)为减函数,g(x)为增函数,故h(x)为减函数;当-l+x,MX)=g(),求函数(X)的单调递增区间.x+l,x,1O【解析】解:令一x2-2x=0得,x=0或=-2;.当二,-2,或x.0时,F(X)M0,当一2vxVO时,U)0;/、f(x)+-77-2X0./?(%)=4(x);-X2-2x+,xJ-2,或X0(1)当工,-2时,函数力(功为减函数;(2)当-
9、2xv0时,令/(x)=r,Ovrvl,14/2-I设y=(x),则:y=t+,Ovrvl,/=-;4r4广.f(0,q)时,y0,y=r+0为增函数;令/(X)=-X2-2x=;,则x=T*,.当-2xT-孝时,/(%)为增函数,g(x)为减函数,故力(X)为减函数:当-l-*xT时,/(X)为增函数,g(x)为增函数,故人(%)为增函数;当-lxT+喙时,/(x)为减函数,g(x)为增函数,故力(%)为减函数:当-l+vx04x值范围是.【解析】解:由题意可得函数y=g(x)与函数y=有4个交点,如图所示:故答案为U,彳).变式5.已知函数/(x)=J3f+,g(x)=+薮,则当方程g(x
10、)-=O有6个解时”的取一厂6x8,尤,O值范围是()A.a3或一&,(IC.a-D.网71444【解析】解:.函数f(x)=3-3f+1,g()=g()=/+元*,_%26x&,0f,W=3d-6x,令ra)=o得:x=o.或工=2,故当X=O时,函数/(外取极大值1,当x=2时,函数取极小值-3;则fM与y=根的交点情况为:当zwv-3,或时,有一个交点;当帆=一3,或?=1时,有两个交点;当-3z0,即-4Z+440恒成立,则=16/160,故OVaV1.(3)设Acr,j1),B(x,K),(x1x7),g(x)=-x+,Sa-4+l又AB的中点在该宜线上,所以g(土)=-土+r_=土,225a2-4+l22a1、52-4+1而王,声应是方程的两个根,所以内+2=-g,即1=52工+,1.2/225/_4+1(1)2_4(1)+5(l-2)2+laaa.当=