3.6直线和圆的位置关系（二）.docx

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1、3.6直线和圆的位置关系(二)一、学法点津首先学生可以通过情境导入初步感知圆的切线，感受数学来源于生活的事实.通过与同伴的沟通与合作，共同探究出圆的切线的判定定理，关于该定理肯定要留意其前提条件“过半径外端”，这是本节课的一个易错点.此外，通过动手操作作出圆的切线和三角形的内切圆，然后再利用类比探究三角形外接圆(外心)的方法，总结归纳出三角形内切圆(内心)的概念及性质，通过类比探究可以降低难度，突破难点.二、学点归纳总结(一)学问要点总结1 .切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.2 .内切圆和内心的概念：和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形

2、的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.(二)规律方法总结1 .圆的切线的判定方法：(1)利用公共点：一个交点。圆的切线；(2)利用d与!的关系：d=r。圆的切线.(3)利用圆的切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径0圆的切线.2 .切线的证明方法：(1) “连半径，证垂直”；(2)“作垂直，证半径”.(三)易错问题误区点拨对圆的切线的判定把握不清.【典例】给出下列说法：(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)垂直于圆的半径的直线是圆的切线；(4)过圆的半径的外端的直线是圆的切线.其中正确说法的个数为()A.1B.

3、2C.3D.4【错解】C【错解分析】(4)中忽视了“过半径外端”这一重要前提，故错误，此项是易错点.【正解】B【正解分析】(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，正确；(2)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，正确；(3)垂直于圆的半径的直线不肯定是圆的切线，故(3)说法错误；(4)过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，故(4)说法错误.综上所述，正确的说法有2个.故选B.三、巩固拓展练习1 .下列说法正确的是(B)A.与圆有公共点的直线是圆的切线B.到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线D.过圆的半径外端的直线是圆的切线解析与圆只有一个交点的直线是圆的

4、切线，故A选项错误；到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故B选项正确；过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，故C,D选项错误.故选B.2 .如图3688,点O是AABC的内心，若ACB=70,则NAoB=(C)A.140B.135C.1250D.IlOo图3-6-88图36893 .如图3689,CD是。O的直径，BD是弦，延长DC到A,使NABD=I20,若添加一个条件，使AB是。O的切线，则下列四个条件：AC=BC；AC=OC；OC=BC；AB=BD中，能使命题成立的有(只要填序号即可).4 .荷泽中考如图3690,BC是。O的直径，A是。O上一点，过点C作。O的切线，交BA的延长线

5、于点D,取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P.图3690(1)求证：AP是。O的切线；(2)若OC=CP,AB=6,求CD的长.解：(1)证明：如图3691,连接AO,AC.TBC是。O的直径，ZBAC=ZCAD=90o.图3691.E是CD的中点，ACE=DE=AE,/.ZECA=ZEAC.VOA=OC,ZOAC=ZOCA.；CD是。O的切线，CDOC,.NECA+NOCA=90.ZEAC+ZOAC=90o,OAIAR又A是。O上一点，JAP是。O的切线.(2)由(1)知OA_1.AP.在RtaOAP中，VZOAP=90o,OC=CP=OA,QA1即OP=2OA,sinP=p=

6、2ZP=30o，ZAOP=60o.VOC=OA,ZACO=60o.在RtZBAC中，VZBAC=90o,AB=6,ZACO=60o,*AC=/ACC=23.tanZACOV又在RtaACD中，ZCAD=90o,NACD=90NACo=30,CD=4cosZACDcos30o四、挑战课标中考1.随州中考如图3692,在。O中，C为&的中点，ZACB=120o,OC的延长线与AD交于点D,且ND=NB.图3692(1)求证：AD与。O相切；(2)若点C到弦AB的距离为2,求弦AB的长.解析(1)连接OA,由C为&的中点，得a=66,依据题意可得出No=60,从而得出NoAD=90,则AD与。O相切

7、；(2)设OC交AB于点E,由题意得0CAB,CE=2.RtBCE中，由三角函数得BE=25即可得出AB的长.图3693解：(1)证明：如图3693,连接0A,VCA=CB,CA=CB.又.NACB=120,ZB=30o,ZO=2ZB=60o.VZD=ZB=30o,AZOAD=180o-(ZO+ZD)=90o,AAD与。O相切.(2)如图3693,设OC交AB于点E,由题意得OCJ_AB,CE=2.CE2在RtZBCE中，BE=荷g=近=25,AB=2BE=43.3解题策略本题考查了切线的判定和解直角三角形，这是中学阶段的重点，要娴熟驾驭.2.I威海中考如图3694,在AABC中，ZC=90o

8、,NABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,。是ABEF的外接圆.(1)求证：AC是。O的切线；(2)过点E作EH_1.AB于点H,求证：CD=HE图3694解析(1)连接OE,由于BE是角平分线，则有/CBE=NOBE;而OB=OE,则有NoBE=NOEB,等量代换有NoEB=NCBE,然后利用“内错角相等，两直线平行”可得OEBC.又C=90,所以AEO=90,即AC是。O的切线；(2)连接DE,先依据“AAS”证明ACDEgZSHFE,再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HE证明：(1)如图3695,连接OE.TBE平分NABC,AZCBE=ZOBE.VOB=OEtAZOBE=ZOEB,ZOEB=ZCBE,0E7BC,ZAEO=ZC=90o,AC是。O的切线.图3695(2)如图3695,连接DE.V ZCBE=ZOBE,EC_1.BC于点C,EH_1.AB于点H,EC=EH.V ZCDE+ZBDE=180,NHFE+NBDE=180,ZCDE=ZHFE.在ACDE与AHFE中，ZCde=ZHFE,ZC=ZEHF=90o,EC=EH,MCDEdHFE(AAS),ACD=HE解题策略本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质.要证某条直线是圆的切线，又已知此直线过圆上某点，则连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.