04184线性代数公式自考.docx

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1、第一章行列式主要学问点一、行列式的定义和性质I.余子式区和代数余子式4的定义2.行列式按一行或一列绽开的公式）WI=KJ二1%4,J=I2/（W1.=W%4=i2f）2）IO左一1k#13.行列式的性质1）,卜网2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式=原行列式的k倍.推论3）互换行列式的随意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数.推论4）假如行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式及原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行

2、列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的状况，用这一行或一列绽开.4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要学问点一、矩阵的概念1.要分清矩阵及行列式的区分2.几种特别矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A,B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质及数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的安排律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式及数的运算的公

3、式的不同点）.S8)2=H+8+Bd炉“.（松尸=/受（/尸=Grl）F5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA）,则必有B=C。（若不知A可逆，仅知AWO结论不肯定成立。）5 .方阵的行列式ArA,=VA,网=郦I，叶此M=百M=Mr6 .分快矩阵矩阵运算时分快的原则；分快矩阵的运算规则;分快矩阵的转置1.l4-41.44父三、矩阵的初等变换和初等矩阵1.初等变换的定义和性质方阵经初等变换后的行列式是否变更？（分别就三种初等变换说明行列式变更的状况）初等变换不变更方阵的可逆性；初等变换不变更矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵A化为标准形，其中r为矩阵A的

4、秩.2.初等矩阵的定义和性质1）初等矩阵的定义2）初等变换和矩阵乘法之间的关系3）对随意mn阶矩阵A,总存在一系列m阶初等阵凡号司和一系列n&O阶初等阵&Q，,&使得00四、矩阵的k阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法五、矩阵方程的标准形及解的公AXB=XA-xB9%4=5=X=M;式4A3=5=X=T狗第三章向量空间主要学问点一、n维向量线性运算的定义和性质；设Q6%是一组n维向量构成的向量组。假如存在一组不全为零的数4%儿使得4%+4%+4=0则称向量组线性相关。否则，称向量组%线性无关。二、n维向量组的线性相关性1 .向量组的线性相关性的定义和关于线性相关的几个定理；（1） m个n维向量

5、%5N2）线性相关的充分必要条件是至少存在某个Q是其余向量的线性组合.%弓（刑之2）线性无关的充分必要条件是其中随意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.（2）假如向量组.4线性无关,而线性相关,则可由Q，,线性表示,且表示法唯一.（3）线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.（部分相关，则整体相关；或整体无关，则部分无关）（4）若向量组4=（M3）=12”线性无关,则接长向量组用=两,%Z）J=I2,冽必线性无关.2 .推断向量组的线性相关性的方法（1） 一个向量线性相关=a=0；（2）含有零向量的向量组必线性相关；（3）向量个数=向量维数时，维向量组%线性相关OSI=H%41

6、=0；（4）向量个数向量维数时，向量组必线性相关；（5）若向量组的一个部分组线性相关，则向量组必线性相关；（6）若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；（7）向量组线性无关=向量组的秩=所含向量的个数，向量组线性相关=向量组的秩所含向量的个数；（8）向量组%6%线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组x1+x11=O有（没有）非零解.三、向量组的极大无关组及秩1.极大无关组的定义2.向量组的秩求向量组的秩和极大无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标第四章线性方程组Q）!=一、线性方程组的三种表示方法l=ft.-Irr4（3） j

7、jo二bflV其中q=3U=1.Z二、齐次线性方程组1.齐次方程组解的性质设,B都是Ax=O的解，则C,+C2也是AY=O的解（G,G为随意常数）2 .齐次方程组有非零解的条件1）齐次方程组4T=0有非零解的充分必要条件是TCA）V未知数的个数（即矩阵A的列数）.2） /7个未知数个方程的齐次方程组AX=O有非零解的充分必要条件是=O3）设力是mXn阶矩阵.若InVn,则齐次方程组Ar=O必有非零解.（这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必要）3 .齐次方程组解的结构1）齐次方程组4T=0的基础解系的概念重要结论:齐次方程组AX=O的随意n-rCA）个线性无关的解都构成该齐次方程组的基础解系；

8、2）齐次方程组4T=0的基础解系的求法3）齐次方程组4T=0的通解公式三、非齐次方程组4 .非齐次方程组解的性质（1）设n,2都是力才=，的解，则n1.n2是它的导出组=0的解.（2）设111,42都是x=6的解，则当左%=1时，A111-Afcn2也是Ax=b的解.（3）设是4r=。的一个解，2是它的导出组4r=0的解,则2F是Ax=b的解.5 .关于非齐次方程组解的探讨定理：n个未知数，m个方程的线性方程组4T=B中，（系数矩阵A是mXn阶矩阵）4=14冏是增广矩阵.则1）当且仅当=（未知数的个数）时，方程组AX=&有惟一解；2）当且仅当MZ=（Oc（未知数的个数）时，方程组AX=&有无穷

9、多解;3）当且仅当*i）时，方程组4T=6无解.从以上定理可见1）线性方程组4T=B有解的充分必要条件是“力=冷.2）当线性方程组4T=B方程的个数=未知数的个数时，该方程组有惟一解的充分必要条件是系数行列式I40.6 .非齐次方程组AX=的通解的结构=dQ5+其中1是方程4T=B的一个特解，r=r（八）为系数矩阵的秩，耳Y-为它的导出组（及它对应的）齐次方程组4T=O的基础解系；第五章特征值及特征向量主要学问点一、特征值及特征向量7 .特征值及特征向量的定义要点：是阶方阵A的特征值，是指存在非零向量,使得Aa=a这时，称a为矩阵A属于特征值的特征向量.由此知，是阶方阵A的特征值=I三-5=0

10、,这时，齐次方程组（AE-A）x=0的非零解都是矩阵A属于特征值的特征向量.8 .关于特征值、特征向量的性质I）AT及A有相同的特征值，但不肯定有相同的特征向量；2）设a”a2都是矩阵A属于特征值的特征向量，k1,kZ是数，只要总%则kQ+k2a2也是矩阵A属于特征值的特征向量；3）设n阶方阵A的n个特征值为人”入2,，人”则+%;（2）a-a=W4）矩阵A属于不同特征值的特征向量线性无关；5）设是矩阵A属于特征值的特征向量，则a是矩阵f（八）属于特征值f（）的特征向量，其中/口）=+#-1+.6）设人是可逆矩阵A的特征值.则0,且京是矩阵AT的特征值.9 .特征值、特征向量的求法二、相像矩阵

11、1.相像矩阵的定义2 .相像矩阵的性质D反身性，对称性，传递性；2）若方阵A及B相像,则=团，且H=4+4+4,trA表示矩阵A的迹，即“=/】%-4三,人”入2,，1.为方阵A的n个特征值；3）若方阵A及B相像，则A及B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不肯定有相同的特征向量；留意：反之，若A及B有相同的特征值，A及B不肯定相像；例如有相同的特征值，但A及B不相像.3 .方阵A的对角化问题D11阶方阵A能及对角阵相像的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量；设人”2,.,n是方阵A的n个特征值，p”P2，Pn依次是方阵A的属于特征值入1，2,入n的n个线性无关的特征向量.若令P=【

12、网APJ则ooI0J1.0PAP=.:.%II00A_.2）若方阵A有n个不同的特征值（即特征方程无重根），则A必能及对角阵相像.（这是A能及对角阵相像的充分条件，不是必要条件）三、向量的内积和正交矩阵1.向量内积的定义:设4-XA=A*flAA2 .向量的长度Ial=Maa)=Je卜:3 .单位化向量4 .正交向量组的定义及其性质5 .施密特正交化手续6 .正交矩阵1）正交矩阵的定义；假如n阶方阵A满足AK=E,则称它为正交阵2）正交矩阵的性质：设方阵A为正交阵，则A=1;A必可逆,且AT=AI假如A,B都是n阶正交阵，则AB也是正交阵；A是正交阵的充分必要条件是A的列（行）向量组构成Rn的

13、标准正交基.四.实对称矩阵1 .实对称矩阵的特征值都是实数；2 .实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交；3 .实对称矩阵必能及对角阵相像，且存在正交阵P,使得P1AP为对角形.4 .任给实对称阵A,如何求出正交阵P,使得PTAP为对角形.第六章实二次型一、二次型及其矩阵表示二、矩阵的合同三、用正交变换化二次型为标准形D定理对随意实二次型总存在正交变换=Py,使得该二次型化为标准型其中入方.1.为实对称矩阵A的个特征值.此定理说明：对随意实对称矩阵A,总存在正交阵P,使得-AO-oK=。：00-.其中1,入2,.1.为实对称矩阵A的个特征值.（即实对称矩阵A必能及对角阵合同.2）要驾驭用正交变换化二次型为标准形的方法.4 .配方法化二次型为标准形.5 .惯性定律6 .正定二次型及正定矩阵1）定义2）二次型正定（方阵正定）的充分必要条件，（再,今,A）=NX正定的充分必要条件是它的正惯性指数=.，（和再,三）=正定的充分必要条件是A及单位阵合同.，（与,与,F=正定的充分必要条件是A的全部特征值都大于零.外0与,4）=正定的充分必要条件是A的各阶依次