奔驰定理与四心+极化恒等式+等和线.docx

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1、-.奔驰定理与三角形四心1奔驰定理解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点.已知ZABC的顶点Aa,y),Bx2,y2),C(3,y3),则AABC的重心坐标为注意：(1)在ZXABC中，若。为重心，则。4+08+0C=0.(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等.重心的向量表示：.奔驰定理：SaOA+SbOB+ScOC=O,则zMO5aoczboC的面积之比等于4：/：4奔驰定理证明：如图，令1oA=OA，,4。C=O,即满足OAi+OBi+OCi=O fic = 2 2 ,故 S丛OB ： 1OC SABOC = % ： A2 ： 4 ABIOCl2a

2、3SdAoB_SdAoC_“一，一,一=,=SMOBlS48、442四心的概念介绍:(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1.(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等.(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.二、三角形四心与推论：(1)。是A5C的重心：SbociScoaiSaob=1.OA+OB+OC=0.(2)O是A5C的内心：Sboc:Sco:Saob=abcaOA+bOB+cOC=O.X-XlMzK-Wrl4-XZlvZO(3)。是ZMBC的外心：SABO。：Smo

3、a:SgOBSin2A:sin2B:sinICOsin2AOA+sin2BOB+sin2C0C=0.(4)。是A46C的垂心：SAboc:SmoA:SgoB=3nA:tanB:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=0.【方法技巧与总结】(I)内心：三角形的内心在向量兰r+普所在的直线上.网IAClAPC+BCPCG4P=0P为AABC的内心.(2)外心：M=IPBHPejUP为ZABC的外心.(3)垂心：PAPB=PBPC=PCPAoP为AABC的垂心.(4)重心：R4+P8+PC=0oP为ZXABC的重心.例1.（2024.上海奉贤.高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”

4、是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是AABC内的一点，ZXBOCAOC,4AOB的面积分别为臬、S八Sj则有SAOA+品08+5。C=0,设0是锐角AABC内的一点，ZBAC.ZABC,NACB分别是448C的三个内角，以下命题错误的是（）A.若OA+08+0C=0,则。为aABC的重心B若Q4+2O8+3OC=0,则S.:Sb:SC=I：2:3C.则。为AABC（不为直角三角形）的垂心，则tanZBACOA+tanZABCOB+（anACBOC=C）D.若Iod=IOq=2,NAoB=,2OA+3

5、OB+4OC=Q,则S.ABC=I例2.（多选题）（2024.山东.高一校联考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是JIBC内一点，8MeAWCAWB的面积分别为SQj且SM4+SjM8+ScMC=0以下命题正确的有（）A.若SS:SC=I:1:1,则M为二AMC的重心B若M为二ABe的内心，则BCM4+ACM8+A8MC=OC.若NBAC=45。,NABC=60。，M为二ABC的外心，则S.:5打：SC=G:2:1D.若M为58C的垂心，3MA+4MB+5MC

6、=0,则CoSNA=-且6例3.（多选题）（2024.全国高一随堂练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是内一点，BOC,AOC,.AOB的面积分别为S-SSj则SaOA+Sz,O5+ScOC=。.设。是-ABC内一点，.ABC的三个内角分别为A,B,C,.BOC,AOC,08的面积分别为Sa,S,Sc,若30A+408+50C=0,则以下命题正确的有（）B.。有可能是aABC的重心C.若。为AABC的外心,则SinA:SinB:SinC=3:4:5D.若。为的内心，则4WC为直角三角形

7、变式1.（多选题）（2024.黑龙江哈尔滨.高一哈九中校考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知0是_ABC内的一点，BOC,&AOC,.AoB的面积分别为S八S、Sj则有SAOA+SbOe+ScOC=。，设。是锐角二ABC内的一点，ZBAC,ZABC,/ACB分别是.,ABC的三个内角，以下命题正确的是（）.A.若Q4+OB+OC=0,则。为aABC的重心B若。A+2O5+3OC=0,则必：Sf,：SC=I:2:3C.若。为JWe（不为直角三角形）的垂心，则tanZBACOA+tanN

8、ABCOB+tanNACBOC=OD.若Iod=网=2,NAoB=,20A+30B+40C=0,贝览.=|变式2.（多选题）（2024.重庆沙坪坝.高一重庆八中校考期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的IogO非常相似，该结论如下：如图，已知。是JmC内部一点，将.,8OC,a0C,AAOB的面积分别记为S.S,Sc,则SaO4+SbO5+ScOC=0根据上述结论，下列命题中正确的有（）A2A+3+4OC=,则S八：Sg:Sc=4:3:21 2B.AO=-AB+-AC,贝IJSa：S：Sc=2:1:2C.若。为tiA8C的内心，且50A+12O8+13O

9、C=O,则NAC8=，D若。为C的垂心，则tanN84COA+lanZABCO8+tanZAC8OC=0题型二：三角形面积比问题例4.（2024.江西宜春.高一统考期末）已知。为正三角形ABC内一点，且满足OA+OB+（+）OC=0,若Q48的面积与。AC的面积之比为3,贝IU=（）A.gB.-C.D.一2 442例5.（2024.辽宁沈阳.高一东北育才学校校考期末）点P是,BC所在平面上一点，若AP=A+AC,贝ILABP与aACP的面积之比是（）3 12A.-B.3C.-D.4 33例6.（2024.广东深圳.高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知点P是ABC所在平面内21一点，若AP=A8

10、+AC,贝ILAB尸与./CP的面积之比是（）A.3:1B.2:1C.1:3D.1:2变式3.（2024.安徽黄山高一统考期末）已知。是JlBC所在平面内的一点，NA,NB,ZC所对的边分别为，=3,b=2,c=4,若OA+力+cOC=0,过。作直线,分别交UUUUUUABXAC（不与端点重合）于尸、Q,若AP=248，AQ=juAC,右与。八。的面积之比为：，则Z=（）25143A.-B.-C.D.6334变式4.（2024.四川绵阳.高一四川省绵阳南山中学阶段练习）设G为等边SABC的重心,过G作直线/分别交八aAC（不与端点重合）于尸,Q,若涔=4髭，AQ=AC,若PAG与AQAG的面积

11、之比为g,则=（）1235A.-B.4C.-D.-3346变式5.（2024.四川德阳.高一统考期末）已知P是一.ABC内部一点，且PA+3,PQPC=，贝ILPAAaPC4、&P3C面积之比为（）A.1：3：5B.5：3：1C.1：9：25D.25：9：1变式6（2024全国高三专题练习）已知点A,B1C,P在同一平面内，PQ=PA1QR=；QB,RP=RC,则i小SM等于（）A.14：3题型一：重心定理【例1】（2024.山东滨州.高一山东省北镇中学校考开学考试）已知点。是JmC的重心,过点。的直线与边A8,AC分别交于M,N两点，。为边BC的中点.若1.lLMlUUUIMJUlAD=xA

12、M+yAN（xjyeR）,贝Jx+=（）A.-B.C.2D!232【变式11】（2024.重庆北馅.高一西南大学附中校考阶段练习）如图所示，已知点G是BC的重心，过点G作直线分别与A8,AC两边交于“，N两点（点N与点C不重合），设AM=XA民AN=），AC,则的值为（）XyAA.3B.4C.5D.6【变式12】（2024.全国高一假期作业）已知点G是“IBC的重心，过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点、（点N与点仇C不重合），设相=.mm,AC=yAN,则:rLr+J的最小值为（）2x-2y-A.1B.C.2D.1+2应题型二：内心定理【例2】（2024.高一课时练习）已知点O是边

13、长为#的等边aABC的内心，则（OC+oa）（oa+ob）=_.【变式21（2024.全国高一专题练习）在448C中，cosZBC=,若。为内心，且满AO=xAB+yAC,贝IJX+），的最大值为-【变式22（2024全国高一专题练习）设/为JABC的内心，若43=2,BC=23.AC=4,贝JAiC=题型三：外心定理【例3】（2024陕西商洛高一校考期中）在JmC中，内角A,B1。所对的边分别是,b,c,已知人=4,c=6,一48C的面积S满足伍+c）-=卜J+8）s+/,点。为JBC的外心，则CB4O=；的面积S=.【变式31】（2024.河南开封.高一校考阶段练习）在锐角JlBe中，ta

14、nA=更，若点。为5“BC的外心，且铛AB+笔4C=mAO,则实数M的值为sinCsinB【变式32】（2024四川成都高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习）已知点。是AABC的外心，AB=6,BC=8,B=y,若Bo=XBA+yBC,则3x+4y=.【变式33】（2024四川达州高一四川省万源中学校考期中）已知.ABC的内角AB,。所对的边分别为J满足=3,Zj+6cosB=2,若“为C的外心，AM的延长线交8C于D且MZ）=且，则A=；-XBC的面积为.2题型四：垂心定理【例4】（2024.云南昆明高一校考阶段练习）已知在一ABC中，sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC,是“IBC的垂心，且满足BC8”=8,则JlBC的面积S.C=()A.83B.8C.43D.4【变式4.1】（2024.四川成者B高一石室中学校考期中）在.,ABC中，AB=5,AC=6,。是BC的中点，”是JWC的垂心，则。”BC=.【变式42】（2024.江苏泰州.高一统考期末）已知.ABC的垂心为点O,面积为15,且ZABC=45。,贝USDBC=；若BD=TBA+；BC,则Wq=.【变式43】（2024.全国高一专题练习）。是JmC