热点5-1等差数列的通项及前n项和（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

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1、热点5等差数列的通项及前n项和主要考查等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等差数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等比数列一般设置一道选择题和一道解答题。题型1等差数列的基本量计算题型2等差数列性质的应用题型3等差数列单调性及应用题型4等差数列前n项和性质应用题型5等差数列前n项和的最值问题题型6含绝对值的等差数列求和题型7等差数列的判定与证明题型8等差数列的实际应用【题型1等差数列的基本量计算】满分技巧I、等差数列的通项公式及前项和公式共涉及五个量,a,lldlnlS111知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想

2、.2、数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换的作用，而0和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法.例l(2023四川乐山统考一模段等差数列qj的前项和S.,若邑=9=36,则/+%+%。=(A.63B.51C.45D.27【答案】B【解析】由题意知等差数列6中，邑=9,$6=36,设首项为6,公差为d,3x23al+-d=9f1+=3贝,即5,_X65.勺幺clHd=6a.+J=3612,2I故4+%+4。=34+241=51,故选：B【变式1-1（2023全国高三校联考期中）记等差数列叫的前项和为S”，若$=51,q=15,则%的公差为（）13A.-B.-1C.

3、-D.-222【答案】C【解析】设等差数列4的公差为d,因为17=51且=15,可得17q+W&=17xl5+U/d=51,解得d=-.故选：C.【变式-2(2023广东广州高三广雅中学校考阶段练习)已知数列%(N)是等差数列，S0是其前项和.若a2a5+%=。,Sg=27则的值是()A.1B.-1C.-3D.-5【答案】C【解析】设等差数列的公差为，丁)+7一，解得4=-5,d=2,所以=4+d=-3.故选：C94+36d=27【变式1-312023湖南衡阳高三衡阳市八中校联考阶段练习月知等差数列的前项和为S”若生=35&=1。，则4=.【答案】0【解析】设数列%的公差为d,由已知有6+d=

4、3,S4=6J=10,解得q=4,d=-,所以外=4+4d=4-4=0.【题型2等差数列性质的应用】满分技巧1、在等差数列知中，当*时，d二四二&为公差公式,利用这个公式很容易求出公差，m-n还可变形为am=an+(m-ny)d.2、等差数列%中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.3、等差数列%中,若m+n-p+/510all+am=ap+aq(n,m,p,N*)f特别地,若m+=2p,则an+am=2ap.【例212023全国模拟预测后知等差数歹j,1的前项和为S”，6+24+43=120贝耳5必=()A.60B.120C.180D.240【答案】C【解析

5、】根据等差数列下标和性质可知。3+2%+%=24+2/=46=120,得=30,所以一一5%=0；即-)-5%=114-5%=6%=180.故选：C.【变式2-1（2023山东济宁高三统考期中）设等差数列q,的前项和为S一已知名+%=18,4+4+4=21,则Sg=（）.A.32B.64C.80D.128【答案】B【解析】因为q是等差数列，所以/+%=2%=18,则%=9;又出+%+牝=34=21,则包=7；则8=细/=4（&+%）=4xl6=64.故选：B.【变式2-2（2023上海高三校考期中）已知数列噢3叫是等差数列，氏3%logs4+1%=8090贝Utt2O23=【答案】9【解析】因

6、为数列10g3q是等差数列，所以Iog34+Iog3g+Iog35=8090,所以l0g34+陛3叫=2Iog33=4,所以叫3生023=2f所以）23=9.【变式2-3（2023河南高三校联考期中）（多选）记等差数列4的前项和为S一则根据下列条件能够确定L的值的是（）A.I=10B.a4+ag=10C.7=10fS13=130D.57=100,S14=300【答案】AD【解析】S=m+?21=驾包=2皿一所以A正确,由于。4+。19=II+a2I结合S?=2IqI,所以B错误，对于C,%=10,又=号凶2=网芽=13%,故C错误，对于D,SM-S7=300Ioo=200=%+%+即=/+%+

7、a1+ldl=100+49,S1=al+a2+%=100,所以49=100,又S2-S14=i5i6+a2=+2+%+14dX7=100+200=300,所以S2=Ss+300=600,故D正确，故选：AD【题型3等差数列的单调性及应用】满分技巧当公差工O时，等差数列的通项公式为=+5TM=M+是关于的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d,则为递增数列，若公差d,则为递减数列.【例3】(2022广东惠州统考一模)设等差数列%的公差为d若勿=2/厕d0”是“%(N)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】充分性：若“0,则*-4=d0

8、,即3%,.22册,BP,所以充分性成立；必要性：若心1,即2%V2%,，凡“”，贝!。+勺=0,必要性成立.因此JZ0”是“0，S*。，、2，又S*J044Sj44(M4)V0,BP1+40,贝1|。2022+。2023。M3,fi2a2Q2a20220电023“2024，所以对任意正整数，都有同M,则，=2022.故选，C.【变式3-2(2022湖北襄阳.高二校考阶段练习I多选股等差数列%的前项和为S”，若品SqS10,则下列结论正确的是()A.数列叫是递减数列B.4o+%OC.当19时，S“0D.516-S40【答案】ABCD【解析】若SUVS9So,可得Su-Sg=%+4o(),可得B

9、正确；%。d0故数列为递减数列，故A正确；因为4o+对。，所以%=4+&+.+)=l(+11)0,所以S9=x19=当X19=4X19O,因为数列是递减数列，故当19时，5.0,故C正确；=5+6+%=6(qo+q)O,则下列对数列2的判断正确的是()A.若4,则数列低是递减数列B.若2=Y,则数列也是递增数列C.若2=4+%,则数列出是公差为d的等差数列D.若2=4+,则数列或是公差为d+的等差数列【答案】AD【解析】由4=4+5T)d=d+(4-d)且d0,A:由“=-4=T+(d-q),即数列也是递减数列，对；B：由2=Y=dn+(al-d)fl若dq时，如d=l,4=-2,4不单调，错

10、；C:由2=q+。向=2办+(24-d),则数列2是公差为2d的等差数列，错；D:由a=a“+=(d+l)+(4-4),则数列也是公差为d+1的等差数列，对故选：AD【题型4等差数列前n项和性质应用】满分技巧1、等差数列的依次k项之和，Sk,S2k-Sk.S3LS2左，组成公差为Rd的等差数列.2、数列斯是等差数列OSi2+加3,b为常数)=数列用为等差数列.3、若S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和，公差为d,当项数为偶数2时，s偶-S奇=M普=a；5偶Un+1S奇11当项数为奇数21时，S奇-S偶=如，牖=F.【例4】(2024四川宜宾南溪第一中学校校考模拟预测)已知等差数列为的前项和为

11、S一若A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】设等差数列4的公差为,4+(T)，nn-)d2n可知是以首项为一公差为?的等差数列，$2024 Sl2024 12023 ,即6072 -2020202412023Xg ,解得d = 2 ,所以纭一=8m=4d=8.故选：D.202120132【变式4-1】（2023湖北荆州高三松滋市第一中学校考阶段练习）等差数列%、也的前项和分别为S.Sn2n+2a,+au与八且m=F，则拓寸二（）A.WB）C.竺D,197154【答案】B【解析】由等差数列演得，器=丽晶询二W啜喘，等差数列4前项和满足52l=（2-1）4,则4=11%,等差数列也前项和满足&

12、广（2-1），则=1收，12y .故选：B、_品_2xll+2_24所以凉一年11+3-77【变式4-2】（2023海南校联考模拟预测）等差数列,也前项和分别为S.Z,且金=3,贝Uy3&13【答案】y【解析】由等差数列性质可得*=需=3,解得菅=*【变式4-3（2023安徽安庆高三安徽省太湖中学校考阶段练习）（多选）已知S为数列”的前”和，下列说法正确的是（）A.若数列勺为等差数列，则S“一S2nt-Sm,SlM-Szrtj为等差数列B.若4为等比数列，则Sm,S2ro-smrS3,$2,为等比数列C.若包为等差数列，则曳，4L,把为等差数列m2m3mD.若叫为等比数列，则巨，。应，立为等比

13、数列m2m4m【答案】AC【解析】对于B和D,当公比g=T时，且用为偶数时，Sia=SLE=SVWQ,此时Sm,S2m-Smt/”-匕不为等比数列；&=第=O,此时曳，*,4L不为等比数列，则B和D错误；in2m4/wtn2m4m对于A,若数列%为等差数列，设公差为d,则L=4+生+4,SImSm=4+I+r+2+2m2m=+2m+2+3，”,由等差数列片窗口性质知S,“，S2tn-SfnlS3”,一S2,”为等差数列，公差为2d,A正确；对于C,若%为等差数列，设公差为d,贝j2x第=8+第，所以&,ML,第为等差数列，C正确；故选：AC2mm3mm2m3？【题型5等差数列前n项和的最值问题】嬴丽1、二次函数法：将S=M+3A仁乳+口一分配方转化为求二次函数的最值问题，但要注意N*,结合二次函数图象的对称性来确定的值，更加直观.2、邻项变号法：当i