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1、专题4.1一次函数应用题(三大题型)一次函数应用题在北师大版八年级上册中属于必考题。常分为行程类问题、图象类方案选择问题、最优方案问题,该文对这几类问题进行方法总结与经典题型进行分类。题型1.行程类问题1)纵坐标表示行驶路程1 .一般该类型X代表时间,),代表行驶路程,需要研究每条线段及拐点的实际意义;2 .直线中Z卜行驶速度;3.两线段的交点为两人的相遇点:4.两人间的距离=y上-y下.2)纵坐标表示两者之间的距离1.一般该类型X代表时间,y代表两人之间的距离,需要研究每条线段及拐点的实际意义;3 .当两人同向行驶时,附=速度差;当两人相向行驶时,网=速度和;4 .x轴上的点为两人的相遇点;
2、4.两人间的距离=y.例1.(2022安徽八年级期中)如图,A,8两地相距240km,甲骑摩托车由A地驶往B地,出发1小时后,乙驾驶汽车由B地驶往A地,乙达到A地停留1小时后,按原路原速返回8地,恰好与甲同时到达8地,乙行驶过程中两人均匀速行驶,甲乙两人离各自出发点的路程y(km)与乙所用时间X(h)的关系如图,结合图象回答,当两人之间相距12Okm时,X=.【答案】0.5或2或3.5.【分析】根据甲骑摩托车的速度及时间求出乙行驶的时间,由此得到乙每段行驶的函数解析式,再分段列方程求解.【详解】解:由题意和图象可得,甲骑摩托车的速度是:40l=40(hz),甲到达B地用的时间为:24040=6
3、(),乙从B地到A地用的时间为:(6-1-1)2=2,当Osr2时,设乙的行驶路程与时间X的函数关系式是y=a,240=2,得o=120,即当0v2时,乙的行驶路程y与时间X的函数关系式是yr=12(k,当2V3时,/=240,当3V5时,设乙的行驶路程V与时间X的函数关系式是y=r+b,(3+b=240=-1205+6=0解得1力=600即当烂5时,乙的行驶路程y与时间X的函数关系式是尸-120x+600;伍=40母=40设甲的行驶路程y与时间X的函数关系式是y=tr+,八,解得心,即甲的行驶路程y与时间X的函数关系式是y=40x+40,当0x2时,甲乙相遇前,令(40x+40)+120x=
4、240-120,得x=0.5,甲乙相遇后,令120x+(40+40)=240+120,解得,x=2,当3Vx5时,令40+3x40+40(x-3)=120(x-3)+120,解得,x=3.5,由上可得,X为0.5或2或3.5时,两人之间相距120M?.故答案为:0.5或2或3.5.【点睛】此题考查待定系数法求一次函数的解析式,一元一次方程的实际应用,解题中分类思想的应用,正确理解题意是解题的关键.变式1.(2022广西横县八年级期末)图中表示甲,乙两名选手在一次自行车越野赛中路程丁(千米)随时间X(分)变化的图象,从图中可知比赛开始分钟后两人第一次相遇.y(千米)CD765。|15334348
5、7(分)【答案】24【分析】两个函数图象交点的横坐标即为他们的相遇时间,观察图象,有两个交点,第一次在AB段,第二次在BC段,根据条件首先求出48解析式,即得出相遇时间.5k + h = 5327解得【详解】解:(I)当15勺33时,设8=h+b,点(15, 5) (33, 7)在此直线上,9y=x+y,当y=6时,-x+y=6x=24,即24分钟两人第一次相遇,故答案为:24.【点睛】本题考查了利用函数图像解决实际问题,正确理解函数图像横纵坐标表示的意义,理解问题的过程,就能够通过图像得到函数问题的相应解决;解决问题的关键是求出AB的解析式.变式2.(2022湖南绥宁八年级期末)甲、乙两车从
6、A地驶向8地,并以各自的速度匀速行驶,甲车比乙车早行驶2h,并且甲车途中休息了0.5h,如图是甲、乙两车行驶的距离y(km)与时间X(h)的函数图象,有以下结论:M=1;。=40;甲车从A地到B地共用了6.5小时;当两车相距50km时,乙车用时为Jh.其中正确结论的个数是()4A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】由函数图象中的信息求出,的值:根据“路程时间=速度”求出甲的速度,并求出的值;求出甲车行驶的路程y与时间X之间的解析式解答:根据甲、乙两车行驶的路程y与时间X之间的解析式,由解析式之间的关系建立方程求出其解即可.【详解】解:由题意,得m=1.5-0.5=1,故结论正确;1
7、20(3.5-0.5)=40(km/h),则=40,故结论正确;设甲车休息之后行驶路程y(km)与时间X(h)的函数关系式为Iy=匕+力,由题意,得:40 = .5k + b J , k = 40120 = 3.52+犷解得 =-20y=40x - 20 (1.5x7),当y=260时,260=40%-20,解得:x=7,J甲车从A地到8地共用了7小时,故结论错误;当L5V7时,y=40x-20.设乙车行驶的路程),与时间X之间的解析式为尸网+由题意得:0 = 2k,+b,120 = 3.5 r=8o M = T60,y=80x160.9IQ当40120-50=80160时,解得:X=当40r
8、-20+50=80x160时,解得:/=一,44412=%所以乙车行吟小时或弓小时,两车恰好相距50km,故结论错误. 正确结论的个数是2个.故选:B.【点睹】此题主要考查r一次函数的应用,分析出每段函数图像所代表的含义是解题的关键.变式3.(2022包河区期中)某天中午,小明从文具店步行返回学校,与此同时,小亮从学校骑自行车去文具店购买文具(购买文具时间忽略不计),然后原路返回学校,两人均匀速行驶,结果两人同时到达学校.小明、小亮两人离文具店的路程y】、y2(单位:米)与出发时间X(单位:分)之间的函数图象如图所示.(1)学校和文具店之间的路程是米,小亮的速度是小明速度的一倍;(2)求a的值
9、,并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义;(3)小明与小亮迎面相遇以后,再经过多长时间两人相距20米?解:(I)由图象可得,学校和文具店之间的路程是360米, .小明从文具店步行返回学校,与此同时,小亮从学校骑自行车去文具店购买文具(购买文具时间忽略不计),然后原路返回学校,两人均匀速行驶,结果两人同时到达学校, 小亮的速度是小明速度的2倍,故答案为:360,2;(2)设小明的速度为m米/分钟,则小亮的速度为2m米/分钟,2m+2x2m=360,解得m=60,a=2x60=120,图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两人出发2min后在距离文具店120m处相遇;(3)设小明与小亮迎面相遇以后
10、,再经过n分钟两人相距20米,小亮未到达文具店时,(60260)n=20,解得n=工;9小亮从文具店返回学校时,60(2+n)-(602)X(2n)-360=20,解得n=旦;3由上可得,小明与小亮迎面相遇以后,再经过工分钟或旦分钟两人相距20米.93例2.(2022.安徽淮北八年级月考)甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m,先到终点的人原地休息.已知甲先出发2s.在跑步过程中,甲、乙两人之间的距离y(m)与乙出发的时间,(三)之间的关系如图所示,给出以下结论:8;8=92:c=123.其中正确结论的个数是()C. 2个D. 3个【答案】D【分析】首先求出甲乙两人的速度
11、,4是乙追上甲所用的时间,根据追上时两人的路程相等,列方程可以得出;C是乙跑100秒时,两人之间的距离,求出乙出发100秒的路程,甲出发102秒的路程,再相减可以得出;是甲到达终点的时间,因为此图中的1是乙的时间,所以要减去2秒,即可得出结论.【详解】解:甲的速度为82=4(s):乙的速度为500100=5(ms);=5100-4(100+2)=92(m);5-4x(+2)=0,解得=8,c=100+924=123(s). 正确的有.故正确结论的个数有3个,故选:D.【点睛】本题是一次函数的应用,属于行程问题,考查了由图得出已知信息,再解决问题;要明确时间、路程、速度的关系,本题有两个人,速度
12、不同,但同起点、同终点、同方向匀速跑步500米,理解这句话是关键,利用数形结合解决问题.变式1.(2022南关区一模)已知A,B两地之间有一条长240千米的公路.甲车从A地出发匀速开往B地,甲车出发半小时后,乙车从A地出发沿同一路线匀速追赶甲车,两车相遇后,乙车原路原速返回A地.两车之间的距离y(千米)与甲车行驶时间X(小时)之间的函数关系如图所示,请解答下列问题:(1)甲车的速度是一千米/时,乙车的速度是一千米/时,m=.(2)求乙车返回过程中,y与X之间的函数关系式.(3)当甲、乙两车相距160千米时,直接写出甲车的行驶时间.乙车的速度为:602 (2-0.5) =80 (千米/时),m=
13、2+(2-0.5)=2+1.5=35故答案为:60,80,3.5;(2)当x=3.5时,y=1.5(60+80)=210,设乙车返回过程中,y与X之间的函数关系式是y=kx+b, 点(2,0),(3.5,210)在该函数图象上,j2k+b=0,解得k=140,(3.5k+b=210lb=-280即乙车返回过程中,y与X之间的函数关系式是y=140x280(2x3.5):(3)当y=160时,l60=140-280,解得X=苧,答:当甲、乙两车相距160千米时,甲车的行驶时间是22小时.7变式2.(2022安徽二模)小华与小明分别从甲,乙两地同时出发,沿一条笔直的人行步道相向而行,两人分别到达乙
14、,甲两地后立即原路返回,当两人第二次相遇时停止运动.两人步行过程中速度保持不变,且小华的速度大于小明的速度;两人之间的距离y(单位:米)与所用时间X(单位:分钟)之间函数关系的部分图象如图所示,请结合图象完成下列问题:(1)求两名同学的速度分别是多少?(2)请直接写出线段AB所在直线的函数关系式;(3)请在图中补全图象,并在图上标出补充图象的端点坐标.(不必写计算过程)解:(I)两人相向而行,y代表距离,说明甲、乙两地相距1200m,A点代表两人第一次相遇,AB代表两个人维续走,B点代表小华到达乙地,一共1200m,小华用了20min,小华速度:120020=60(mmin),在A点.两人相遇
15、共走1200m,用时12min,,两人速度和:120012=100(mmin), 小明速度:IoO-60=40(mmin),;小华的速度为60mmin,小明的速度为40mmin;(2)小华到乙地时,时间是20,此时小明走20x40=800,B(20,800),A(12,0),设AB解析式:y=kx+b,把A、B坐标代入解析式,得:Z0=12k+b,解得:Zk=10,800=20k+blb=-1200 线段AB所在直线的函数关系式为y=100x-1200;(3)C点:此时小明到达甲地,D点:两人第二次相遇,C点横坐标为120040=30,此时小华走了30x60=1800米,相当于往回返走600米,JC(30,600),D点:两人再次相遇,当x=3600100=36时,此时y值为0,如图所示