专题4.1一次函数应用题（三大题型）（解析版）.docx

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1、专题4.1一次函数应用题(三大题型)一次函数应用题在北师大版八年级上册中属于必考题。常分为行程类问题、图象类方案选择问题、最优方案问题，该文对这几类问题进行方法总结与经典题型进行分类。题型1.行程类问题1)纵坐标表示行驶路程1 .一般该类型X代表时间，)，代表行驶路程，需要研究每条线段及拐点的实际意义；2 .直线中Z卜行驶速度；3.两线段的交点为两人的相遇点：4.两人间的距离=y上-y下.2)纵坐标表示两者之间的距离1.一般该类型X代表时间，y代表两人之间的距离，需要研究每条线段及拐点的实际意义；3 .当两人同向行驶时，附=速度差；当两人相向行驶时，网=速度和；4 .x轴上的点为两人的相遇点；

2、4.两人间的距离=y.例1.(2022安徽八年级期中)如图，A,8两地相距240km,甲骑摩托车由A地驶往B地，出发1小时后，乙驾驶汽车由B地驶往A地，乙达到A地停留1小时后，按原路原速返回8地，恰好与甲同时到达8地,乙行驶过程中两人均匀速行驶，甲乙两人离各自出发点的路程y(km)与乙所用时间X(h)的关系如图，结合图象回答，当两人之间相距12Okm时，X=.【答案】0.5或2或3.5.【分析】根据甲骑摩托车的速度及时间求出乙行驶的时间，由此得到乙每段行驶的函数解析式，再分段列方程求解.【详解】解：由题意和图象可得，甲骑摩托车的速度是：40l=40(hz),甲到达B地用的时间为：24040=6

3、(),乙从B地到A地用的时间为：(6-1-1)2=2,当Osr2时，设乙的行驶路程与时间X的函数关系式是y=a,240=2,得o=120,即当0v2时，乙的行驶路程y与时间X的函数关系式是yr=12(k,当2V3时，/=240,当3V5时，设乙的行驶路程V与时间X的函数关系式是y=r+b,（3+b=240=-1205+6=0解得1力=600即当烂5时，乙的行驶路程y与时间X的函数关系式是尸-120x+600;伍=40母=40设甲的行驶路程y与时间X的函数关系式是y=tr+，八，解得心，即甲的行驶路程y与时间X的函数关系式是y=40x+40,当0x2时，甲乙相遇前，令（40x+40）+120x=

4、240-120,得x=0.5,甲乙相遇后，令120x+（40+40）=240+120,解得，x=2,当3Vx5时，令40+3x40+40（x-3）=120（x-3）+120,解得，x=3.5,由上可得，X为0.5或2或3.5时，两人之间相距120M?.故答案为：0.5或2或3.5.【点睛】此题考查待定系数法求一次函数的解析式，一元一次方程的实际应用，解题中分类思想的应用，正确理解题意是解题的关键.变式1.（2022广西横县八年级期末）图中表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中路程丁（千米）随时间X（分）变化的图象，从图中可知比赛开始分钟后两人第一次相遇.y（千米）CD765。|15334348

5、7（分）【答案】24【分析】两个函数图象交点的横坐标即为他们的相遇时间，观察图象，有两个交点，第一次在AB段，第二次在BC段，根据条件首先求出48解析式，即得出相遇时间.5k + h = 5327解得【详解】解：（I）当15勺33时，设8=h+b,点(15, 5) (33, 7)在此直线上，9y=x+y,当y=6时，-x+y=6x=24,即24分钟两人第一次相遇，故答案为：24.【点睛】本题考查了利用函数图像解决实际问题，正确理解函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图像得到函数问题的相应解决；解决问题的关键是求出AB的解析式.变式2.(2022湖南绥宁八年级期末)甲、乙两车从

6、A地驶向8地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h,并且甲车途中休息了0.5h,如图是甲、乙两车行驶的距离y(km)与时间X(h)的函数图象，有以下结论：M=1;。=40；甲车从A地到B地共用了6.5小时；当两车相距50km时，乙车用时为Jh.其中正确结论的个数是()4A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】由函数图象中的信息求出，的值：根据“路程时间=速度”求出甲的速度，并求出的值;求出甲车行驶的路程y与时间X之间的解析式解答：根据甲、乙两车行驶的路程y与时间X之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可.【详解】解：由题意，得m=1.5-0.5=1,故结论正确；1

7、20(3.5-0.5)=40(km/h),则=40,故结论正确;设甲车休息之后行驶路程y(km)与时间X(h)的函数关系式为Iy=匕+力，由题意，得:40 = .5k + b J , k = 40120 = 3.52+犷解得 =-20y=40x - 20 (1.5x7),当y=260时，260=40%-20,解得：x=7,J甲车从A地到8地共用了7小时，故结论错误;当L5V7时，y=40x-20.设乙车行驶的路程)，与时间X之间的解析式为尸网+由题意得:0 = 2k,+b,120 = 3.5 r=8o M = T60,y=80x160.9IQ当40120-50=80160时，解得：X=当40r

8、-20+50=80x160时，解得：/=一,44412=%所以乙车行吟小时或弓小时，两车恰好相距50km,故结论错误. 正确结论的个数是2个.故选：B.【点睹】此题主要考查r一次函数的应用，分析出每段函数图像所代表的含义是解题的关键.变式3.（2022包河区期中）某天中午，小明从文具店步行返回学校，与此同时，小亮从学校骑自行车去文具店购买文具（购买文具时间忽略不计），然后原路返回学校，两人均匀速行驶，结果两人同时到达学校.小明、小亮两人离文具店的路程y】、y2（单位：米）与出发时间X（单位：分）之间的函数图象如图所示.（1）学校和文具店之间的路程是米，小亮的速度是小明速度的一倍；（2）求a的值

9、，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；（3）小明与小亮迎面相遇以后，再经过多长时间两人相距20米？解：（I）由图象可得，学校和文具店之间的路程是360米， .小明从文具店步行返回学校，与此同时，小亮从学校骑自行车去文具店购买文具（购买文具时间忽略不计），然后原路返回学校，两人均匀速行驶，结果两人同时到达学校， 小亮的速度是小明速度的2倍，故答案为：360,2；（2）设小明的速度为m米/分钟，则小亮的速度为2m米/分钟，2m+2x2m=360,解得m=60,a=2x60=120,图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两人出发2min后在距离文具店120m处相遇；（3）设小明与小亮迎面相遇以后

10、，再经过n分钟两人相距20米，小亮未到达文具店时，（60260）n=20,解得n=工；9小亮从文具店返回学校时，60（2+n）-（602）X（2n）-360=20,解得n=旦；3由上可得，小明与小亮迎面相遇以后，再经过工分钟或旦分钟两人相距20米.93例2.（2022.安徽淮北八年级月考）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m,先到终点的人原地休息.已知甲先出发2s.在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）与乙出发的时间,（三）之间的关系如图所示，给出以下结论：8；8=92：c=123.其中正确结论的个数是（）C. 2个D. 3个【答案】D【分析】首先求出甲乙两人的速度

11、，4是乙追上甲所用的时间，根据追上时两人的路程相等，列方程可以得出；C是乙跑100秒时，两人之间的距离，求出乙出发100秒的路程，甲出发102秒的路程，再相减可以得出；是甲到达终点的时间，因为此图中的1是乙的时间，所以要减去2秒，即可得出结论.【详解】解：甲的速度为82=4(s):乙的速度为500100=5(ms);=5100-4(100+2)=92(m);5-4x(+2)=0,解得=8,c=100+924=123(s). 正确的有.故正确结论的个数有3个，故选：D.【点睛】本题是一次函数的应用，属于行程问题，考查了由图得出已知信息，再解决问题；要明确时间、路程、速度的关系，本题有两个人，速度

12、不同，但同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，理解这句话是关键，利用数形结合解决问题.变式1.(2022南关区一模)已知A,B两地之间有一条长240千米的公路.甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发半小时后，乙车从A地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地.两车之间的距离y(千米)与甲车行驶时间X(小时)之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：(1)甲车的速度是一千米/时，乙车的速度是一千米/时，m=.(2)求乙车返回过程中，y与X之间的函数关系式.(3)当甲、乙两车相距160千米时，直接写出甲车的行驶时间.乙车的速度为:602 (2-0.5) =80 (千米/时)，m=

13、2+(2-0.5)=2+1.5=35故答案为：60,80,3.5；(2)当x=3.5时，y=1.5(60+80)=210,设乙车返回过程中，y与X之间的函数关系式是y=kx+b, 点(2,0),(3.5,210)在该函数图象上，j2k+b=0,解得k=140,(3.5k+b=210lb=-280即乙车返回过程中，y与X之间的函数关系式是y=140x280(2x3.5):(3)当y=160时，l60=140-280,解得X=苧，答：当甲、乙两车相距160千米时，甲车的行驶时间是22小时.7变式2.(2022安徽二模)小华与小明分别从甲，乙两地同时出发，沿一条笔直的人行步道相向而行，两人分别到达乙

14、，甲两地后立即原路返回，当两人第二次相遇时停止运动.两人步行过程中速度保持不变，且小华的速度大于小明的速度；两人之间的距离y(单位：米)与所用时间X(单位：分钟)之间函数关系的部分图象如图所示，请结合图象完成下列问题：(1)求两名同学的速度分别是多少？(2)请直接写出线段AB所在直线的函数关系式；(3)请在图中补全图象，并在图上标出补充图象的端点坐标.(不必写计算过程)解：(I)两人相向而行，y代表距离，说明甲、乙两地相距1200m,A点代表两人第一次相遇，AB代表两个人维续走，B点代表小华到达乙地,一共1200m,小华用了20min,小华速度：120020=60(mmin),在A点.两人相遇

15、共走1200m,用时12min,，两人速度和：120012=100(mmin), 小明速度：IoO-60=40(mmin),；小华的速度为60mmin,小明的速度为40mmin;(2)小华到乙地时，时间是20,此时小明走20x40=800,B(20,800),A(12,0),设AB解析式：y=kx+b,把A、B坐标代入解析式，得：Z0=12k+b,解得：Zk=10,800=20k+blb=-1200 线段AB所在直线的函数关系式为y=100x-1200；(3)C点：此时小明到达甲地，D点：两人第二次相遇，C点横坐标为120040=30,此时小华走了30x60=1800米，相当于往回返走600米，JC(30,600),D点：两人再次相遇,当x=3600100=36时，此时y值为0,如图所示