4抽象函数不等式-教师用卷.docx

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1、抽象函数不等式一、解答题(本大题共9小题，共108.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1 .(本小题12分)已知函数/Q)满足：对定义域内任意与x2,都有Cq-上)(/(右)全)/(2。+2)成立，求Q的取值范围；(2)若/(工)的定义域为R,求关于X的不等式f(m+2my)f(2a+2)成立，2-1O(a-lal则2+20,解之得Ia-l,故1V3,2-12+2-13所以Q的取值范围是13：(2)不等式/(n+2my)O的解集，即(+2)(租-1)0的解集，当Tn=O时，不等式解集为万V-2；当mO时，不等式的解集为H%1；当mVO时，即求不等式(+2)(%-A)Vo的解集，当2

2、=2即租=一3时，不等式的解集为。；(ii)当.一2即Tn一时，不等式的解集为一2V%V；(m)当A一2即TVTnVo时，不等式的解集为卜|VX-2).【解析】由题意得/(%)在定义域内单调递减，a?1O(1)可得2+2O，解不等式组即可得答案；2-1-20的解集，分类讨论，即可得答案；本题考查利用函数的单调性解不等式、分类讨论解含参一元二次不等式，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2 .(本小题12分)已知函数f(%)对任意实数X、y恒有+y)=f()+/(y),当o时，/()0,且/(1)=-2.(1)判断乃的奇偶性；(2)判断函数单调性，求f(%)在区间-3,3上的最大值

3、；(3)若f(x)n2-2am+2对所有的-1,1,a一1,1恒成立，求实数n的取值范围.【答案】解：(1)取=y=0,则f(0+0)=2/(0),/(0)=0,取y=r,WJ(x-X)=/(x)+/()=/(0)=0,/(-x)=-/(%)对任意R恒成立，fw为奇函数；(2)任取与，X2(-8,+8)且%10,/(X2)+/(-Xi)=f(.2-XI)0，f(2)-f(F/(小).故f(x)为H上的减函数.x-3,3,/(x)/(-3),Vf(3)=3/(1)=-23=-6,(-3)=-/(3)=6,故/。)在-3,3上的最大值为6；(3).(x)在-1,1上是减函数，.(x)-l)=-/(

4、1)=2,/(x)2,1,1恒成立；即z1122am0,1,1恒成立，令刎则蜡。,即/U/解得：m2或m-2.实数m的取值范围为(一8,-2)U(2,+8).【解析】本题考查抽象函数的奇偶性，单调性及其应用，考查函数恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.(1)取=y=O可求得/(0),取y=-%可得f(%)与/(一乃的关系，由奇偶性的定义即可判断；(2)任取%1，X2(-8,+8)且%1“不)即可，再利用单调性求最值；(3)由条件可知112_2am0对Q一1,1恒成立，列出不等式组解出Zn的范围.3.(本小题12分)已知函数/(%)的定义域为R,若对于任意的实数居y,都有f(

5、)+f(y)=+y),且XVo时，有/()V0.(1)判断并证明函数f(x)的单调性：(2)设f(l)=l,若/(%)2G2-2。根+1对所有6-1,1,-2,2恒成立，求实数m的取值范围.【答案】解：(l)(x)在R上为单调递增函数，证明如下：先证明/(%)是定义在R上的奇函数，令x=y=O,则f(0)=/(0)+/(0),/(0)=0,令y=T,则f(=+/(-X)=/(0)=0,所以f(-x)=-f(x),f(M是定义在R上的奇函数，任取%1,%2WR，且血2t则f(%1)f(必)=/(/)+/(-2)=f(与一2)，当TVO时，有f(%)V0,所以f(%l-X2)0即打)Vfa2)，故

6、f(x)在R上为单调递增函数；(2)由(1)知/(%)在f-l,IJ上单调递增,所以f(%)在f-,17上的最大值为f(i)=1,所以要使f(%)1,P2n22am。恒成立，令g()=2m22am=-2am+2n2tfilf(2)p11f4zn+2m20lg(2)0U|l-4m+2m20,解得m2或m1时，/(x)0.(1)求f(l)的值；(2)证明：f(%)在(0,+8)上为增函数；(3)当f(2)=3时，解不等式f()l-f(%-3)【答案】(1)解：令n=n=l,WJ(1)=(l)+(l),(l)=0;(2)证明：设Ox11,：,f管)，/(x)-/(x2)=/(x)-/(xS)=/(X

7、i)-fM-Y)=0,即/(曲)f(4),/(x2-3%)f(4),f(%)在(0,+8)上为增函数，X0%30,X2-3x4解得X4,所以不等式的解集为氏4).【解析】本题考查抽象函数的单调性及应用，属于中档题.(1)直接令m=n=l,即可求出f(l)的值；(2)利用已知，结合函数单调性的定义进行证明即可；(3)根据/(4)=/(2)+/(2)=1,可得f(%)+f(x-3)/(4),然后利用函数的单调性进行求解即可.5 .(本小题12分)己知定义在区间(0,+8)上的函数/(%)满足f(?)=f(%)一/(%2),且当OVXVl时，f(y)0.2(1)求/(I)的值；(2)判断f(%)的单

8、调性并予以证明：(3)若f(3)=-l,求不等式f(2%-l)-2的解集.【答案】解：(1)令与=0。，代人得f(l)=/(右)一/(右)=0，故/1=0.(2)任取%1,%2W(0,+),且VX2、则OV。V1，2由于当OVXVl时，fx0,所以/舄)=/(/)-/(小)0，即/G)-)0，Sj(x1)(x2).所以函数/(%)在区间(0,+8)上是单调递减函数.令与=9,X2=3,由f舄)=f(右)一/(M)得/(1=/(9)-/(3),而f(3)=-l,所以f(9)=-2.由函数f(%)在区间(0,+8)上是单调递减函数，且/(2%-1)f(9),得OV2%-19,二，。代入可得f(1)

9、=0；(2)设0必。，代入即可得证.先根据/=-1,结合域)=/(9)一/(3),可得-9)=-2,进而由函数的单调性解不等式.6 .(本小题12分)定义域为R的函数f(x)满足，对任意的m,nR有f(m+n)=f(n)f(九)，且当0时，有OVf(X)V1，/(4)=求/(0)；(2)证明：f(x)在R上是减函数；(3)若%O时，不等式/(x)(ax)f(%2)恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明：令Tn=O,71=2,可得f(0+2)=/(0)/(2),当%0时，OVfa)VL则2)0,所以f(O)=L(2)证明：设0,则一0时，有OVf(X)V1,所以xR,有f(x)O恒成立，任

10、取实数与,工2R，且与0，从而可得0f(x2-X1)1,又f(必)=fl+(必一/)=f(,l)f(x2-X1)/(2)=/(x)f(OX)。2)可化为/Q)f(取)f(2)f(x2),所以f(%+ax)f(2+x2),所以X+ax0时，有v2H-i恒成立，X令g()=F=%+：，%。，易知g(%)在(0,0)上递减，在(I,+8)递增，从而可得g()min=2所以QV2I-L【解析】本题考查抽象函数，函数的单调性与单调区间，不等式恒成立问题，考查逻辑推理能力，属于较难题.(1)对于f(m+n)=f(m)f(n),令m=0,n=2,结合OVfa)O恒成立，再任取实数%1,%26R，且XlVX2

11、，利用/(%2)=f(%2-1)+%1=/(X2-X1)(X1)O时，有v2-1恒成立，求得g(%)=2=%+白的最小值，即可得到的取值范围.7 (本小题12分)已知定义域为/=(-,O)U(O,+8)的函数f()满足对任意与，X2/都有/(与小)=x1(x2)+%2(%1)(1)求证：f(%)是奇函数；(2)设g(%)=竽，且当1时，g(x)g(x)的解集.【答案】(1)证明：令石=打=1，得f(i)=o,令%1=X2=-1,得f(-l)=-(1)=0,令=XyX2=-1,得/(T)=-Z(X)+(-i)=一/， /(%)是奇函数.(2)解：(N1M)=X1(X2)+%2，(必)，.f(，X2)_)./(工2) I,XlX2M2g(1%2)=。(/)+9(%2)，设与%20，则自1， 噌V