椭圆知识点总结及经典习题练习.docx

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1、第二局部圆锥曲线（一）一椭圆知识点一”、平面内与两个定点石，E的距离之和等于常数（大于I片El）的点的轨迹称为椭圆即:IMKl+1MF21=2,（2FiF21）o注意：假设（IPE+pf2I=恒国），那么动点P的轨迹为线段耳尸2；这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.2、椭圆的几何性质：标准方程X2V2r+J=l(abO)a2b2V2X2_+_=1(aZ?0)图形yiTI9CX性质焦点K(-c,O),(Go)/7I(O-C),F2(O,c)焦距凡=2cFR=2c范围Xa,ybXb，ya对称性关于X轴、y轴和原点对称顶点(,0),(0,)(0,),(0)轴长长轴长=2。，短轴长=

2、28离心率e-(Oc）的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有（460）和e=f（Oe力0),其中，=/从；注意Sab1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2,在椭圆的两种标准方程中，都有(4人0)和C?=/-)?;3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在X轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0),(-C。)；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c),(0-c)知识点三：椭圆的简单几何性质X2V2椭圆：-+2=l(b0)的简单几何性质a-b-r2V2(1)对称性：对于椭圆标准方程二+2=l(b0):说明：0-hy把X换成一X、或把y换成一y、或把R

3、、y同时换成一工、-yI原方程都不变，所以椭圆/+=1是以X轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个AiLF1OcAM2X对称中心称为椭圆的中心。,范围：叫椭圆上所有的点都位于直线X=4和y=匕所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足卜a,yIZ?(3)顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。X2V2椭圆F+J=l(60)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为abA(-,0),A2(afi)f1(O,-Z?),生(0,份线段从4,用当分别叫做椭圆的长轴和短轴，I1A2=2,B1B2=2b.和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。(4)离心率：椭圆的焦

4、距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。二=。laa因为3c0),所以e的取值范围是(0el)e越接近1,那么C就越接近4,从而b二7越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0,C就越接近0,当且仅当=时，c=0,这时两个焦点重合，图形变为方程为/+V=*注意：椭圆片十%_=1的图像中线(Tb=ei (IP陷 1+ PM2 I =)：c从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。几何特征(如下列图)：(户耳+PF2I=20);(BF=BF2I=);(OF1=O2|=c)；=A2B=2+Z?2；(3) A1F1=A2=a-c；F2=A2F1=a+cia-c?O),(6ZC0),且=Z?2+c2)O

5、可借助右图理解记忆：显然：6,C恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、C为两条直角边。y3 .如何由椭圆标准方程判断焦点位置x511Vx椭圆的焦点总在长轴上，因此标准方程，判断焦点位置的方法是：/b.看/,V的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。一少；4 .方程加2+冷2=。(4氏0均不为零)是表示椭圆的条件方程Ar2+为2=c可化为=+上=,即I+3=,CCCC7BCCCC所以只有A、B、C同号，且AHB时，方程表示椭圆。当一一时，椭圆的焦点在X轴上；当一60)ab22共焦点的椭圆方程可设为+-b2)f此类问题常用待定系数法求解。a+mb+tn7 .如何求解与焦点三角形4

6、PFE(P为椭圆上的点)有关的计算问题思路分析:与焦点三角形aPFE有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式Sap,=(|尸用XIP周XSinNKP鸟相结合的方法进行计算解题。将有关线段IP月NP周竹周，有关角NEPF2(/耳尸6(NKBF2)结合起来，建立PF+PF2.IPMlXIP周之间的关系.9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e=(0c0f用a、b表示为e=Jl-P)?(0e1)显然：当2越小时，e(Oel)越大，椭圆形状越扁；当2越大，e(Oel)越小，椭圆aa形状越趋近于圆。(二)椭圆练习题一

7、、选择题1、与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4百的椭圆方程是()（八）+=1(B)-=1(C)-+=1(D)-+=125202025204580852、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60。角的菱形的四个顶点，那么椭圆的离心率为()1 331一百（八）-(B)-(C)-(D)7或三2 2322223、椭圆二+2=1中E、F?为左、右焦点,A为短轴一端点,弦AB过左焦点B,那么AABFz的面积为63()OC（八）3(B)(C)43(D)42224、方程一=1表示焦点在y轴上的椭圆，那么m的取值范围是()25-m16+m999（八）-16m25(B)-16m-2(C)m-25

8、、椭圆+亡=1的离心率-巫，那么m的值为()5m5（八）3(B)3或(。(D)或6、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，那么椭圆的长轴长是短轴长的()（八）6倍(B)2倍(C)倍(D)7倍27、椭圆ar2+by2+而=0(b 0)的内接矩形面积的最大值.16 .圆，+V=,从这个圆上任意一点尸向y轴作垂线段。P,求线段P尸的中点的轨迹.417 .比的两个顶点坐标分别是4(0,6)和C(0,-6),另两边力反力。的斜率的乘积是-上，9求顶点A的轨迹方程.18 .(本小题总分值15分)椭圆的焦点在X轴上，短轴长为4,离心率为手.(1)求椭圆的标准方程；(2)假设直线/过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且M2V=-5,求直线/的方程.