泰勒公式的证明及应用.docx

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1、摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成局部，是一种非常重要的数学工具。它集中表达了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用绪论随着近代微积分的开展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰

2、勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数了,设它在点不存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式称为函数/在点/处的泰勒多项式，假设函数/在点/存在直至阶导数，那么有/(X)=7；(X)+o(X-X0),即/(X)=/()+z(-)J(x-x0)2+-(x-x0)+O(X-)”).2!n称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中表达了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导

3、数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。预备知识1.1泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异。定性的余项如佩亚诺型余项。(X-XO),表示余项是比(X-与)(当x与时)高阶22的无穷小。如/=l+x+O(X3),表示当0时，/用l+x+工近似，误差(余项)2!2!是比V高阶的无穷小。定量的余项如拉格朗日型余项一尸”钊(G(X-/)(W)(S也可以5+1)!写成玉)+夕(X-Xo)O泰勒公式的定理(1)带有佩亚诺(PeanO)余项的泰勒公式如果函数/*)在点/存在直至！阶导数，那么有/(X)=U)+O(X-陶)”

4、)即/(x)=(/o)+/(Xo)(X-XO)+，)(X-XO)2+f，)(冗一XO)+o(x-yo)2!！(2)带有拉格朗日(Lagrange)余项的泰勒公式如果函数/*)在“上存在直至阶的连续导函数，在(,b)内存在5+1)阶导函数，那么对任意给定的X,/,M,至少存在一点4(,6),使得/*)=(X)+()(X7)+(X7)2+特别的，XO=O时，/(x)=/(O)+,(O)x+x2+/?/+%(),此时上式称之为2!n麦克劳林(MaCIaUrin)公式，根据”(九)的不同，麦克劳林公式又分带有佩亚诺余项的麦克劳林公式和带有拉格朗日余项的麦克劳林公式。泰勒公式的意义我们在学习导数和微分概

5、念时知道，如果函数在一点处可导飞，那么有在这点附近用一次多项式去逼近函数/),其误差为的高阶无穷小量H(X-与)。再用二次多项式或高于二次多项式去逼近。我们可以看出二次切线或者高次切线与曲线的接近程度比一次切线要好，当然次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度越来越高。泰勒公式的意义就是，用一个次多项式来逼近函数/(),而多项式具有形式简单，易于计算、近似程度高等优点。二、泰勒公式的证明泰勒公式的证明两种余项的泰勒公式所表达的根本思想都是怎样用多项式来逼近函数，带有佩亚诺余项的泰勒公式是反映了极限性质的渐进等式，所以这个公式在求极限时很有用，对余项可以提供充分小的估计值。带有拉格朗日余项的

6、泰勒公式有确切的表达式，当然也有像中值这样不确定的因素，但是并不阻碍定理的使用，为近似计算的误差估计提供了理论依据。定理1：(带有佩亚诺型余项的泰勒公式)假设函数fMX。存在直至y阶导数，那么()=,+t)(x-0)P(x)=(0),(0)(-X0)+-(-0)2+.+,%一/)+。(一%)。2!nl证明：设R=f(x)-Ttl(x)fQn(x)=(x-x0)n，现在只要证由/叫XO)=7*(/),A=O,12,可知，E(XO)=R(XO)=用)*。)=0,并易知因为/(XO)存在，所以在点飞的某邻域U(A0)内/(%)存在-1阶导函数/(幻。于是，当xU(与)且x0时，允许接连使用洛必达(L

7、rHospital)法那么次，得到所以定理1成立。定理2：假设函数/)在,U上存在直至阶的连续导函数，在(凡勿内存在5+1)阶导函数，那么对任意给定的x,勿，至少存在一点r(,8),使得/(X)=/(/)+/(XO)(无一为)+J(x-Xo)2+3一/)+F(x-%)S“2!n5+1)!证明：作辅助函数F(0=f(x)-lf(t)-(-r)+.+(X-t)n,GQ)=(I严tv.所以要证明的(1)式即为不妨设与，那么尸与G在K,灯上连续，在(,x)内可导，且ff二一)nlG(z)=-(7+l)(x-r)rt0又因b(x)=G(x)=O,所以由柯西中值定理证得其中4*o,x)u(,Z?)所以定理

8、2成立三、泰勒公式的实际应用例求极限IimCoSX;e-XToX4分析：此题可以用洛必达法那么来求解，但要用四次，比拟繁琐，这里我们就可以用带有佩亚诺余项的泰勒公式求解。由于极限式的分母为一,我们用麦克劳林公式来表示极限的分子(取=4)解：因而求得例2设y=arccotx,求严)(O)解：y=(arccot)=-(-x2+X4x6H1-(-l)x2),xl0)*在用比拟判定法来判定，但是在实际应用中比拟困难的问题是如何选M=IM=I取适当的汽J(p0中的P值)？w=l如：当p=2,此时4收敛，但是些牛=+8M=In2但是当P=I时，此时丈L收敛，但是lin#=0念n1n在这种情况下我们就无法判

9、定才的敛散性，为了更好的选取之J中P的值，使得n=l11=1IimqL=I且010)进行比拟，在此通过研究无穷小量(X)I(Xf+8)的阶来有效地选十八中的P值，从而简单地判定|/(刈公的敛散性(注意到：如果|/(必得收敛，那么/(XWX得收敛)。例5广义积分(行行+7724)dr的敛散性.解：(l+x)a=+ax-st-x2+o(x2)2!因此，1岬：)=:，即/(x)0是J(X+8)的!阶,而rx2以收敛,故|/*粒X2收敛，从而(x+3+yx-3-2x)dxO例6广义积分XSinX公是否收敛?Jarctanx-xvsinx=x-X3+o(x4)3!1.(幻是Lx0+)的一阶无穷大量，又.

10、发散，.fXSinXdxXjXjoarctanx-x也发散。例7设/a)在S(vOv)上二阶连续可微，那么在这个区间上存在一个，使得证明：令F(X)=J：/(Z)力，将尸在X=r(0,那么因为/(%)在3,b(v0v)上连续,由介值定理知三，,使得所以f/(x)公=S)叭)工商+(/_/)/)Ja2!3!在定积分证明的方面，泰勒公式对于求被积函数有二阶或二阶以上的连续导数的问题来说十分的好用，主要是通过作辅助函数，对有用的点进行泰勒公式展开并对余项作适宜的处理。关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号

11、来得到函数的单调性,从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例8设f(x)在0,1二次可导，而且F(O)=f(l)=0,limf(x)=7,试求存在J(0,1),0xl使/e)8证：由于F(X)在0,1的最小值不等于在区间端点的值，故在0,1内存在不，使/(xi)=-1,由费马定理知，(xl)=O.又=-+x-x)(介于X与占之间)由于/(0)=(l)=。，不令X=。和x=l,有所以当lvxg时，2x1-28,而当g大J,假设zWy,有/“(X)=z-y-)“oz-y我们在数学分析课文中学习知道了有些函数是有界的，有的有上节，而有的有下界，再结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们探讨泰勒公式关于界的估计，这里通过例题来分析界的估计.例10设义幻