微专题3 凹凸反转.docx

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1、微专题3凹凸反转【知Ii只拓展】1 .凹函数、凸函数的几何特征图象上任意孤段位于所在 弦的上方的函数为凸函数图2图象上任意瓠段位于所在 弦的卜.方的函数为凹函数图12 .凹凸反转很多时候，我们需要证明但不代表就要证明yu)mmo,因为大多数情况下，Ia)的零点是解不出来的.当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转.如要证明yo,可把正幻拆分成两个函数g(x),/),放在不等式的两边，即要证g(x)%(x),只要证明了g(x)min%(x)max即可,如图3,这个命题显然更强,注意反过来不一定成立.很明显，g(x)是凹函数

2、，/Z(X)是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求问题的，两种方法互为补充.凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较.当然我们要非常熟练地掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合的函数的图象与最值.3.六大经典超越函数的图象和性质(基本储备知识)(DX与方的组合函数的图象与性质函数

3、J(x)=xexex-)=7-)=图象定义域R(一8,0)U(0,+)R值域T+8)(8,0)Ue,co)(-8,；单调性在(一8,1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增在(一8，0),(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减最值)mn=K1)=-7V当X0时，Ax)min=_/(1)=ex)max=D=(2)X与InX的组合函数的图象与性质函数/(x)=JdnX、InXyu)一X朋FX图象定义域(0,+8)(0,+8)(0,1)U(1,+)值域V+8)(-8,(8,O)Ue,+)单调性在(0,在增3上单调递减，+g)上单调递在(0,

4、e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减在(0,1),(1,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增最值TWmin=七)=Tx)max=e)=V当l时，yU)min=(e)=e【类型突破】类型一化为咪In占意型例1已知函数U)=l+m+l)x+lnx,证明：对任意x0,1(1+a)xJ(x).2e2证明把段)代入化简，得V-即证丫呼o).2ev2令g)=-o),rll2ex2(X2)贝Ug,(x)=p.当x(0,2)时,g(x)O,g(x)单调递减；当x(2,+8)时，gO,g(x)单调递增.，g(x)最小=g(x)做小=g(2)=,g(x)2今当且仅当x=2时取等号.InY令(x)=-(xO

5、),rITnx贝h,(x)=F,当x(O,e)时，hf(x)OtMX)单调递增；当x(e,+),(x)-(x0).设fix)=XInx(x0),/(x)=Inx+1,当x(,时，/(x)o,/U)单调递增,X21X设机(X)=最一(XO)，则机任)=一3一，当x(o,1)时，Ma)o,Wa)单调递增，当x(l,+),Ma)m(x)恒成立,X2即JdnX亘成立.12即对一切x(0,),InX晟一嬴恒成立.类型二化为ax吟型例2已知函数r)=eAlnX+与一，证明：(x)l.2eIV2丫证明要证明於)=eAlnX+1一1,两边同乘以I，得XInX+/*VVCzY2即证明xlnx.aX2(x)=xl

6、nX,g(x)=晟一由l(x)=lnx+l知，力(X)在(0,上单调递减，在(土，+8)上单调递增,所以力%1 Y而g(x)=f知，g(x)在(0,D上单调递增，在(1，+8)上单调递减，所以g(x)g(l)=一5所以有幽尢)2(：)=一=g(l)2g(x),又等号不同时取到，所以有h(x)g(x)9即y(x)l得证.21训练2(2023湛江模拟节选)设凡)=。2；1,证明：y(x)+x2-x+lO.37X证明把兀0代入化简得eH2詈+l0,37r即证ex-1+-1,当x0时,左边OVeAW1,37右边=-2+-1-1,O37X此时er-2+g-l恒成立，O37r当x0时，要证ex-1,O日r

7、v已(I1137即证/一卜+口+0，ev(IA37令g(x)=I，=-+J+y,rtlex(%1)贝”gf(x)=p，在(O,1)上，g(c)g2力(x),37r故当x0时，ex-2+W-I成立，O21综上，/(x)+2-10成立.类型三先放缩、再反转例3已知函数fix)=axnxx2,若0W1,求证：x)ev-sinx+1.证明：/(x)=adnx+/,所以待证不等式为adnx+x20时，sinxxi，只需证x2+axnxex-x+1,即证宁号+1.令g()=呼+1，g3=(mx)(0Otg(x)单调递增；当x(e,+),gf(x)O,g(x)单调递减，易得g(x)最大=g(x)仅大=g(e

8、)=?+1+1,ev-x1(er+1)(-2)令力。)=-p-，Ia)=p，当x(O,2)时，,(x)O9(x)单调递增，e21易得(x)最小=%(X)机小=h(2)=-.由于中_+1)=_4：故式成立，原不等式得证.规律方法1.先放缩，再利用凹凸反转法证明不等式，实质是证明了强化了的不等式，即证明了原不等式成立的充分条件.2 .常用到的放缩(l)evx+1(当x=0时取到等号)；(2户2ex(当x=l时取到等号)；(3)lnxW-l(当x=l时取到等号)；(4)乎;(当x=e时取到等号)；(5)0sinxxtanx,.,(X-H)(1-inx)，f训练3已知/(%)=-,求证：Xx)x+l,

9、即kl，所以yU)vl+e-ErHy(X+1)(1-nx),即要证/l+e2,只需证1-x-xlnx0),则f(x)=In-29当x(0,e-2),f(x)O,XX)单调递增,当x(e,+8)时，)o,心:)单调递减，易得f(x)ma=f(x)根大慎=e2)=l+e2,所以有1xjdnxl+e-2,从而有x)0),求正实数m的取值范围.解不等式等价于er(mr2+x+z)W-Inx,令g(x)=er(w2+x+zn),h(x)=xnxfg(x)=ex(-)(-mx+m-1),令g(x)=O,解得x=l或x=l5，V0,11.m当om时，一o,所以g(x)在(O,1)上单调递增，在(1,+8)上

10、单调递减，故g(x)ma=g(l)=e,(2w-F1),欲使不等式恒成立，则g(l)(l)e1(2n+l)l,e1解得0时，0151存在g(l)z(l),从而不等式evlnwx2(1er)x+nO不恒成立.e1综上，当00),若7U)有两个零点，则的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1(11-C.T,eD.二，eIeLeJ答案(I)C(2)A解析法一取=e,则yU)=xeg(x)=e(l+亭力，得y11)=g(l)=e,知两函数图象至少有一个交点.由fix)=XP得/(x)=+1)T,当xvi时,/(x)一1时，f()o9y单调递增，当f+8时，y()+.由g(x)=el+-付g(x)=F，当OO,g(x)单调递增，当XfO时，g(x)-8,当xe时，g(x)O,当X-+8时，g()-0.根据以上信息，画出U)=xeSg(x)=e(l+曲的图象如图所示.因为yu)=g(l)=e,/(l)=g(l)=2e,所以两曲线在点(1,e)有相同的公切线.由g(x)=al+2阴与y=e(l+2曲图象间的伸缩关系，易知，当e时，两个函数图象有两个交点.故选C.法二取。=2e,同法一可知两函数图象有两个公共点，故选C.(2次x)有两个零点，等价于aerx