重难点06求直线方程的十四大方法汇总（解析版）.docx

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1、重难点06求直线方程的十四大方法汇总题型解读/ESi满分技巧!技巧一.由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个,写出形式适当的方程即为直接法。技巧二.由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程,再求解方程，称为公式法。技巧三.过两直线交点的直线系方程过直线A：A+By+C=0:A2x+B2y+C2=O,交点的直线方程为Ax+By+C+入(A2+B2y+C2)=0(为参数，不包含h)技巧四.当所求直线与已知直线+By+C=0平行时,可设所求直线为4v+By+A=0(/1为参数目l。，再结合其他条件求出A,即得所求直线方程.技巧五.当所求直线与已知直线X+By+C=O垂直时，可设

2、所求直线为Bx-Ay+=O(为参数)，再结合其他条件求出入即得所求直线方程.公勤题型提分练/题型1直接法【例题U(2023秋高二课时练习)已知直线，在y轴上的截距为4,倾斜角为且COSQ=|.求直线的方程.【答案】y=3+4【分析】根据三角函数的转换求出直线的斜率，带入点斜式即可求解.【详解】解：由题意得：3Va0,7r),cos=-4sina4sna=,tana=-5cosa3设斜截式方程为y=+b4k=tana=-,b=4故直线方程为y=g%+4【变式1-11.(2022秋甘肃嘉峪关高二统考期末)三48C中,8。边上的高所在的直线的方程为久-2y+1=0,角4的平分线所在直线的方程为y=0

3、,若点8的坐标为(1,2).(1)求点4的坐标.(2)求直线BC的方程.【答案】Q)(T,0)(2)2X+y-4=0【分析】(1)通过联立方程组求得4点坐标.(2)利用点斜式求得直线HC的方程.【详解】(1)由广黄：二解得仁工，则4(T0).(2)直线X-2y+l=O的斜率为I所以直线BC的斜率为-2,所以直线BC的方程为y-2=-2(x-1)=-2x+2,2x+y-4=0.【变式1-12.(2020浙江高二统考期末)已知48。的顶点A(5,l),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,NB的平分线BN所在直线方程为-2y-5=0.求：顶点B的坐标；直线BC的方程.【答案】Q)B(T

4、,-3)(2)6x-17y-45=0【分析】(1)设BaO,y0),由AB中点在2x-y-5=0,B在直线X-2y-5=0,联立方程求出B的坐标；(2)求出A关于-2y-5=0的对称点为4(HV)的坐标,即可求出BC边所在直线的方程.【详解】(1)设8(%o,yo),由AB中点在2%-y-5=。上，可得2X-5=0BP2x0-y0-1=0,Xx0-2y0-5=0,联立管匚二；1S，解得二；，即B(T-3)；(2)设A点关于X-2y-5=0的对称点为H(N,y),(a2l=.1(/=竺则有力息.5=。解得/二即225-三+3-BC边所在的直线方程为y+3=79-(x+1),即6xVly-45=0

5、.T+1【变式I-1】3.(2023春重庆沙坪坝高一重庆南开中学校考期末)已知A8(2,5)在直线Lt.Q)求直线/的方程；(2)若直线2】倾斜角是直线/倾斜角的2倍，且与/的交点在y轴上，求直线匕的方程.【答案】Q)2-y+l=0(2)y=-x+l【分析】(1)首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程；(2)设直线/的倾斜角为8,则tanJ=2,利用二倍角公式求出tan28,再求出直线，与y轴的交点,再由斜截式得到直线匕的方程.【详解】(1)因为-1,-1)、8(2,5)在直线/上，所以以8=右=2，所以直线，的方程为y-5=2(x-2),SP2x-y+l=0.(2)设直线I的倾斜角为8,

6、则tanJ=2,所以tan28=与嚓=当=-,l-tan2I-Z23所以直线。的斜率=tan20=-g,对于2%-y+l=0,令X=0得y=1,即直线,与y轴交于点(0,1),所以直线/】的方程为y=-+l.【变式1-14.(2023江苏高二专题练习)直线I的倾斜角是直线5x12y-l=0倾斜角的一半，且直线I与坐标轴所围成的三角形的面积为10,则直线I的方程可能是()A.5x+y-10=0B.y=-gx+1c+1D.5%-y-l=0【答案】C【分析】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】5%+Yly-I=O=y=-%+)所以直线5x+12y-l=0的斜率为负值，因此直

7、线5x+12y-l=。的倾斜角为钝角，设直线I的倾斜角为。，则(0曰).因为tan2=；=-3所以tana=5或tana=，(舍去).设直线I的方程为y=5x+t,则直线I与坐标轴的交点分别为(-g,0),(0,0,由与一/Vl=10,得t=10，故直线I的方程可能是y=5x10.,显然ABD不符合，y=5x10=2+=1,或竟=1,故选：C题型2截距式法【例题2(2020秋黑龙江高三黑龙江实验中学校考期末)已知直线过点(1,2),且纵截距为横截距的两倍，则直线I的方程为()A.2xy=0B.2x+y-4=0C.2xy=0或X2y2=0D.2xy=0或2%+y4=0【答案】D【分析】考虑截距是

8、否为0,分两种情况求解，求出直线斜率，即可求得答案.【详解】由题意设直线与X轴交点为(。,0),则与y轴交点为(0,2),当=0时，直线过原点，斜率为三=2,故方程为2%-y=0;当Q0时，直线的斜率然=-2,0-故直线方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0f故选：D【变式2-11.侈选)(2023秋高二课时练习)已知直线，过点P(4,5),且直线，在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线/的方程为()A.Sx-4y=0B.xy+l=0C.x+y-9=0D.x+y+l=0【答案】ABC【分析】分直线过原点，直线截距相等，直线截距互为相反数三种情况设直线分别为y=匕，；+?=1,：一：=1

9、,结合过点P(4,5)可得答案.【详解】当直线/过原点时，设直线方程为y=kx,因过点P(4,5),则直线/的方程为y=%,即5x-4y=O,故A正确；当直线/截距相等时,设直线方程为:+?=1，因过点P(4,5)，则3=I=Q=9,则直线/的方程为X+y-9=0,故C正确；当直线1截距互为相反数时，设直线方程为三-：=1,因过点P(4,5),则=I=Q=-1,则直线Z的方程为X-y+l=0,故B正确.故选：ABC.【变式2-12.(2023秋福建莆田高二莆田华侨中学校考期末)直线1过点P(3,2)且与短由、y轴正半轴分别交于4B两点.若直线，与2%+3y-2=0法向量平行，写出直线，的方程；

10、(2)求A408面积的最小值；【答案】Q)3x-2y-5=012【分析】(1)利用两直线垂直设出一般式，代入点P即可求出直线方程；(2)设直线截距式为?+(=l(,b0),代入点P得到:+2=1,利用基本不等式即可求出面积最小值；【详解】(1)解：由题设直线h3x-2y+C=0,将点(3,2)代入得9-4+C=0,C=-5,故直线上3x-2y-5=0；(2)设直线/的方程为:+=l(a,b0),将点(3,2)代入得:三=12Jpl=20,则b24,所以S08=bi24=12r当且仅当?=/即=6,b=4时等号成立.所以4。8的面积最小值为12.【变式2-1】3.(2023全国高二随堂练习)直线

11、1与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为2,两截距之差为3,求直线1的方程.【答案】X+4y4=0或4x+y-4=0【分析】设好+看=130,b0),分别讨论Q-b=3和b-=3的情况，利用三角形面积构造方程求得结果.【详解】由题意可设直线/方程为：；+(=l(0,b0),若a-b=3,则gab=a(a-3)=2,解得：a=-1(舍)或a=4,.b=1,直线，：；+y=1,即+4y-4=0;若b-a=3,则Tab=a(a+3)=2,解得：q=-4(舍)或q=1,.b=4,直线x+=l,即4x+y-4=0；综上所述：直线，方程为+4y-4=。或4x+y-4=0.【变式2-14.(2022秋山东

12、青岛高二山东省青岛第五十八中学校考阶段练习)已知直线，过点P(-3,4)(1)它在y轴上的截距是在X轴上截距的2倍,求直线，的一般式方程.(2)若直线，与X轴负半轴、y轴的正半轴分别交于点4,B,求4408的面积的最小值.【答案】Q)2x+y+2=。或4%+3y=0(2)24【分析】(1)用截距式设出，的方程，根据，经过点P,解方程即可；(2)设出截距式方程，根据/经过点P列出等式，用基本不等式得出三角形面积公式中乘积的范围即可得到面积最小值.【详解】(1)设1的方程为升方=1,”过点P(-3,4),.代入方程得=-1,.的一般式方程为2%+y+2=0,当/经过原点时，设L：y=H,将点P代入

13、直线得k=-，综上的一般方程为2%+y+2=0或轨+3y=0；(2)设吟+”1(q0),一过点P(-3,4),-3.4Y三+=1,-ab2JS-当且仅当5=巳即=-6,b=8时等号成立,-QD,-ab48,SAAoB=4IaiIbl=Wa匕，Sf08min=24.【变式2-15.(2023秋全国高二期中)过点2(2,1)作直线/分别交汇/的正半轴于48两点.(1)求4480面积的最小值及相应的直线Z的方程;当I。川+|。Bl取最小值时，求直线Z的方程.【答案】4,+2y-4=0(2)x2y-2-2=0【分析】(1)由题意可设直线，的方程为:+f=l,又点P(2,l)在直线，上,所以;+/1,注

14、意到SMBo=ab.结合基本不等式进而求解.(2)fi(l)中分析可好+3=1,且注意到|。川+0B=+力，由乘T法结合基本不等式即可求解.【详解】(1)显然直线，斜率存在且不过原点，由题意可设直线/的方程为:+=Kalb0),又点P(2,l)在直线/上，所以;i=lf由基本不等式可得:+3=1N2患，即Qb8,当且仅当Q=4,b=2时取等，注意到S“so=0A0B=ab,所以SAA8o=0A0B=ab8=4,当且仅当Q=4fb=2时取等,此时相应的直线/的方程为X+2y-4=0.(2)由(1)可知;+；=l(,b0),又注意到|0川+0B=+b,所以|0川+0B=+=(b)Q+=3+j,对其利用基本不等式得|0川+0B=3+3+22f当且仅当Q=2+2,fc=2+1时取等，此时相应的直线1的方程为K+2y-2-2=0.题型3点斜式法【例题3(2021秋陕西渭南高一统考期末)已知圆C过点(2,6)且与y轴相切,圆心C在线段y=2x(1x4)上,过点4(1,0)的直线I与圆C相交于M,N两点.求圆C的方程；若IMNl=23,求直线I的方程.【答案】Q)(X-2)2+(y-4)2=4(2)x=1或