蒙日圆的定义、证明及其几何性质（解析版）.docx

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1、蒙日圆的定义,证明及其几何性质微点1蒙日圆的定义、证明及其几何性质【微点综述】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆、双曲线两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆,所以这个圆又被叫做“蒙日圆本微点主要介绍蒙日圆的定义、证明及其几何性质.1 .人物简介加斯帕尔蒙日（GaspardMonge,17461818）,法国数学家、化学家和物理学家.生于博恩的平民人家.蒙日的一生励志又传奇，蒙日出身贫寒，但他自幼聪颖好学，自强不息、，少年时在家乡一所天主教开设的学校学习，后转学里昂，14岁时就能造出消防用的灭火机，16岁毕业，留校任物理学教师.接着被推荐到梅济耶尔皇家军事工程学院学习，年仅22岁就初创“画法几何

2、学”，23岁时任该校教师.26岁时被巴黎科学院选为通讯研究员.29岁时任皇家军事工程学院皇家数学和物理学教授”.34岁时当选为科学院的几何学副研究员.38岁时被任命为法国海军学员的主考官.46岁时任海军部长8个月.51岁时任法国著名的综合工科学校校长.72岁在巴黎逝世.蒙日所处的时代，人们在设计工程时由于计算失误而导致工程不符合要求，只好把已建成的工事拆毁重建，而蒙日的画法几何方法就轻而易举解决了这类问题，不止如此，他的、画法几何学”还推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴.此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就.

3、蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，创立了偏微分方程的特征理论，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴.此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就.他的大炮制造工艺在机械制造界影响颇大.主要著作有：曲面的解析式（1755I静力学引论（1788画法几何学（1798代数在几何学中的应用(18021分析在几何学中的应用(1805)等.2 .蒙日圆定义及其证明先来看一道高考题：例1(2014年高考广东理20)已知椭圆C：5+=l(ab0)的一个焦点为(6,0),离心率为q.(I)求椭圆C的标准方程；(H)若动点P

4、(M，%)为椭圆外一点，且点/到椭圆C的两条切线相互垂直,求点。的轨迹方程.【解析】(I)可知c=6,y,e=-=-=.a=3,h2=a2-C2=9-5=4,故椭圆Caa3（三）设两切线为44,当/Jx轴或轴时，对应/X轴或，2轴，可知P(3,2)或P(3,2).当4与工轴不垂直且不平行时，/工3,设4的斜率为攵，则ZWOd的斜率为一;，4的方程为y-%=MX-Ai),联立/+=,得(9+4)x218(y0-)x+9(y0-)2-4=0,直线与椭圆相切，=(),得(1弘)2(%-也)2-36(先-5)2-4侬2+4)=0,.4(刈-5)2-4(%2+4)=(),整理得-9)2-2xo3+-4=

5、O(*),./是方程(*)的Y根，同理是方程(*)的另一个根，其中x#3,，点P的轨迹方程为f+y2=13(x3),又P(3,2)或P(3,2)满足上式.综上知：点P的轨迹方程为-+V=?.【点评】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.例1中的圆是蒙日的画法几何学中有一个有趣的结论(可以形象的称为筷子夹定理)：【定理1】在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心,半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根,这个圆叫蒙日圆，如图1.如图1,设

6、椭圆的方程为5+=l（ab0）,则椭圆两条互相垂直的切线附,PB交点尸的轨迹是蒙日圆：2+V+6.证明：证法一（解析法+韦达定理）：当题设中的两条互相垂直的切线PA,PB斜率均存在且不为。时，可设?（天,为）（/且）/人），过P的椭圆的切线方程为丫-%=（。%）,丁-%=Mxf）（AWO）,由/2得a2k2+b1x2-2ka2（kx0-y0）x+a2（-y0）2-a2b2=0,由其判别式值为。，得（片一万）依一2Ao%+解一/=0（片-12O）,MA，即8是这个关于左的一元二次方程的两个根，即A即B=2二，由已知PA上PB,:*=-1,.军名二T,.片+4=/+从，,点尸的坐标满足方g2+y2

7、=2+2.当题设中的两条互相垂直的切线PA,PB有斜率不存在或斜率为。时，可得点尸的坐标为（土即。）或（,士力），此时点尸也在圆d+y2=+从上综上所述：椭圆5+/=1（。0）两条互相垂直的切线处/8交点尸的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2+h2.证法二（椭圆的切线方程+切点弦方程+点在公共曲线上）:当题设中的两条互相垂直的切线PA,PB斜率均存在且不为。时，设P（0，%）(3a且工方),切点A(X,),B(w,%XyrV20)，则切线PAM+浮=1,电警+岑=1.a-ba-b-P（AO，%）在切线PAJB上，.竽+等=1,竽+竽=I,由两点确定T直线得直线A8的方程为学+挈=1.a-b-即A%

8、=Y一=，七也8=21匹=，一（G%）（%L）=,（ay2）XH玉/XM2a（%/乂，=1,2）即在圆的方程为4+鸟=1,又在直线.：学+等=1上，（Tb-ClD.。营=（沪豹，可得/（），：_）|+22以0为目+叩;_力0,丁跖/（一）/（,一。2）克-从/4高一所询一通询TeAJ/一下又(ft%?)(404%08)=/；,kpkpB=由已知尸W6T-Y+N*t.点P的坐标满足方当题设中的两条互相垂直的切线PA,PB有斜率不存在或斜率为。时，可得点尸的坐标为（土即。）或（,士力），此时点尸也在圆d+y2=+从上综上所述：椭圆5+/=1（。0）两条互相垂直的切线处/8交点尸的轨迹是蒙日圆：x2

9、+y2=a2+b2.先给出几个引理，然后给出证法三蒙日圆的几何证法.【引理1】（椭圆的光学性质）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上（如图2所示）.证明：如图3所示，设。为椭圆（其左、右焦点分别是）上任意给定的点，过点。作NKP鸟的外角平分线所在的直线/（N3=N4）.先证明/和相切于点。,只要证明/上异于P的点产都在椭圆的外部，即证尸&+P6W+P国.在直线”上选取点尸，使IPM=IP用，得ApP尸二ApPEg因，.PF=PH,可得P6+P闾=PK+PF山/I=旧H+I尸尸1=|尸制+|朋|再过点P作NKPV的平分线PA（NI=N2）,易得尸A3,入射角

10、等于反射角，这就证得了引理1成立.【引理2】过椭圆（其中心是点O,长半轴长是。）的任一焦点F作椭圆的任意切线/的垂线，设垂足是H,则|。川=.证明：如图4所示，设点尸,尸分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的切线上的切点，又设直线可,UA交于点3.由引理1,得NfAN=NSk=NBA”（即反射角与入射角的余角相等）,进而可得AEA”且MiAH,，点H是FB的中点，得OH是BFF的中位线.又IAFI=I蜴，oM=J（F4+AM）=y尸到+A尸）=.【引理3】平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和.证明：这里略去过程（可用余弦、可作垂线、可用坐标）.【弓I理4】设点。是矩形ABCD所在平面上一

11、点，则PA1+PC2=PB2+PD2.证明：如图5所示，设矩形ABC拉的中心是点。.由引理3,可得尸T+R72=2(Q42+0尸)=2(.2+0尸)=?出+尸,即欲证成立.把引理4推广到空间彳导到的结论就是:底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等.下面给出定理1的证法三.证法三(几何法)：不妨设.当=时，易证成立.下面只证明/，的情形.如图6所示.设椭圆的中心是点O,左、右焦点分别是J鸟，焦距是2c,过动点P的两条切线分别是PM,/W.连结OP,作OGPMQHj.PN,垂足分别是G,”.过点A作PM,垂足为。，由引理2得IOq=.再作K，。G于K.记NoKK=J,得IDGI=I6K=8ose

12、.由RtAa)G,得IoG=|oDfTDGl2=-c2cos2j又作F2EPN,F2LlOH垂足分别为EL.在Rt田/中，同理可得：O2=|O|2-|H|2=a2-c2sin.(1)若PMlPN,得矩形OGP”,JIoPl2=OG2+OH2=(2-c2cos2)+(a2-c2sin20)=a2+b2(2)若Iaf=/+从,得IOpI2=2-cW6)+(2-c2sin)=2+O72,由OGj_PM,得IOH2=|凶2+1GPl2IGPI=IOHI.同理，有IOq=I期，四边形OGP”是平行四边形，进而得四边形OGP”是矩形，；PM工PN.由(1)(2)得点P的轨迹方程是.r2+V+2,以上过程中

13、的%b,分别是椭圆长半轴、短半轴长.证法四(高等几何法)：蒙日圆的另一种叙述：中心为。的椭圆外切矩形ABC。的外切圆圆心也为。，作椭圆的两条平行切线分别交圆。于A,。,C则蒙日圆性质可以表示为Ab及CD与椭圆相切.证明：A。，*C与椭圆相切且平行,由对称性知四边形AEcD也为矩形.设M,N,K,Q均为矩形ABC。与AbCTy的边边交点(如图7),BtA1DA=P.逆推：要证ATr与椭圆相切U六边形NDQWK*的布列安桑定理UB1QKDMN=SU一对红色三角形笛沙格定理UBDHKQ(KM/DN,MQHENu一对绿色三角形笛沙格逆定理(KQHBIyHBD)UBBPM/DD=Nl=N2=N3(成立)

14、.3.蒙日圆的几何性质：【定理2过圆Y+y2=a2+b2上的动点/，作椭圆%营=(ab0)的两条切线P,PB,则必_1尸6.22工+匕=1证明：设P点坐标(AO,%),由a2M,得y-%=MXrO)(a2k2+b2)x2-Ika2(kxQ-y0)x+a2(-y0)2-a2b2=0,由其判别式的值为0,得(片-/*-2/)，#+呼-/=O(W-a?#0),%,原6是这个关于k的一元二次方程的两个根，./=亭与，片+=/+/,正一从kpA%=N-=-,PAVPB.【定理3】设。为蒙日圆O：/+/=/+02上任一点过点尸作椭圆捺+m=的两条1.2切线，交椭圆于点儿从。为原点，则OPjB的斜率乘积为定

15、值%.L=.【定理4】设。为蒙日圆O:V+y2.+o2上任一点过点尸作椭圆捺+m=的两条切线，切点分别为人，从。为原点，则OA,幺的斜率乘积为定值从A原A=-4，且ah2。乩PA的斜率乘积为定值坛B/,=一发(垂径定理的推广).【定理5】过圆/=Ir上的动点P作椭圆5g=l(8O)的两条切线，O为原点，则Po平分椭圆的切点弦A8.证明：P点坐标伍，%)直线OP斜率=资，由切点弦公式得到AB方程警+挈=1,h2g=-高L,由点差法可知，OP平分AB,如图M是中点.【定理6】设。为蒙日圆O2=、上任一点，过点P作椭圆5+2=l(bO)的两条切线，切点分别为4，B,。为原点，延长PA,PB交蒙日圆O