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1、第02讲二次函数的图像与性质一一顶点式课程标准学习目标二次函数y=4(X-)2的图像与性质二次函数N=Or2+左的图像与性质二次函数y=ax-A)2的图像与性质1 .掌握y=q(x-)2、y=02+%y=a(x-h)2+k的函数与性质。2 .能够利用三种函数的图像与性质进行解题。知识点01J=(x)2(a)的图像与性质1 .歹=(xz)2的图像与性质:由函数的平移可知,可将y=?向左右平移h个单位得到函数y=4(xz)2.由y=a/的图像与性质可得到函数y=(X土)2的图像与性质如下:y=a(xh)2(a0)a0QVo大致图像h0(向右平移)0(向右平移)开口方向开口向上开口向下顶点坐标(/7
2、,0)(力,0)对称轴X二hX=h增减性对称轴右边y随X的增大而增大。对称轴左边y随X的增大而减小。对称轴右边y随X的增大而减小.对称轴左边y随X的增大而增大。最值函数轴最小值这个值是一O函数轴最大值这个值是_0_。题型考点:二次函数y二(x-)2的图像与性质,【即学即练1】2 .抛物线歹=(x+l)2的对称轴是()A.直线y=-lB.直线y=lC.直线X=-ID.直线X=I【解答】解:抛物线y=Ql)2的对称轴是直线X=-I,故选:C.【即学即练2】3 .同一坐标系中,二次函数歹=(-)2与一次函数歹=+q的图象可能是()【解答】解:4、由一次函数歹=。+然的图象可得:qVO或0,此时二次函
3、数y=(x-)2的顶点(,0),V0,矛盾,故错误;B、由一次函数y=+的图象可得:ao,矛盾,故错误;C、由一次函数y=+”的图象可得:V0或0,此时二次函数y=(x-a)2的顶点0),0,此时二次函数y=(X-)2的顶点(,O),fl0,故正确;故选:D.【即学即练3】4 .对于二次函数y=-2(x+3)2的图象,下列说法正确的是()A.开口向上B.对称轴是直线X=-3C.当x-4时,歹随X的增大而减小D.顶点坐标为(-2,-3)【解答】解:由y=-2(x+3)2得抛物线开口向下,对称轴为宜线X=-3,顶点坐标为(3,0),XW-3时歹随X增大而增大,x-3时y随X增大而减小.故选:B.知
4、识点02y=ax2+%(。0)的图像与性质1.y=2+M4)的图像与性质:由函数的平移可知,可将y=ax1向上下平移k个单位得到函数y=OX2左。由=2的图像与性质可得到函数=。(工)2的图像与性质如下:y=ax2+ka0)a0a0大致图像k0(向上平移)ZVO(向下平移)k0(向上平移)十L7T开口方向开口向上-JL口向下顶点坐标(O,k)(0,k)对称轴V轴V轴增减性对称轴右边y随X的增大而增大。对称轴左边y随X的增大而减小。对称轴右边y随X的增大而减小。对称轴左边y随X的增大而增大。最值函数轴最小一值这个值是一k。函数轴最大值这个值是一k。题型考点:二次函数y=2+A的图像与性质。【即学
5、即练1】4 .抛物线的解析式歹=-2f-1,则顶点坐标是()A.(-2,-1)B.(2,1)C.(0,-1)D.(0,1)【解答】解:抛物线的解析式y=-2x2-L则顶点坐标是(0,-1),故选:C.【即学即练2】5 .若抛物线y=2xTL3+(ZW_5)的顶点在X轴下方,则打的值为()A.?=5B.w=-1C.6=5或?=-1D.m=-5【解答】解:.J=2m2-4什3+(zw-5)的图象是抛物线,tw2-4m-3=2,解得:m=5或-1,又Y抛物线的顶点坐标是(0,顶点在X轴下方,:.m-5O)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()【解答】解:力、由抛物线可知,a0,bV0,由直线可知,q
6、0,b0,故本选项不可能;B、由抛物线可知,a0tb0f由直线可知,V0,b0,故本选项不可能;C、由抛物线可知,a0,由直线可知,a0,b0,故本选项不可能;、由抛物线可知,0,b0,由直线可知,a0,b0时,y随X的增大而减小【解答】解:二次函数y=2+3,,该函数的图象开口向下,故选项力正确;对称轴是宜线x=0,故选项8错误;顶点坐标为(0,3),故选项C正确;当x0时,y随X的增大而减小,故选项。正确;故选:B.知识点03=小-4+上的图像与性质1.y=(x-z)2+的图像与性质:由函数的平移可知,可将y=a?先向左右平移六个单位,再向上下平移左个单位得到函数N=q(x)2%。由y=0
7、的图像与性质可得到函数=。()2%的图像与性质如下:y=a(x-4P+k(a0)a0QVO开口方向开口向上开口向下题型考点:二顶点坐标,k)0, k)次函数对称轴x = hx = hy = (x-/?)2 +k对称轴右边y随X的增大对称轴右边y随X的增大的图像与性质。而增大 。而减小【即学即练1】增减性对称轴左边y随X的增大对称轴左边y随X的增大8.抛物线y= (x而减小 。而增大 。-2)2+3的顶点函数轴最小一值函数轴最大.值坐标是()最值这个值是k 。这个值是k 。A. (2, 3)【解答】解:yB.=(-2)2+3是抛物线的顶点式方程,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(2,3).故
8、选:A.【即学即练2】9.关于y=2G-3)2+2的图象,下列叙述正确的是()A.顶点坐标为(-3,2)B.对称轴为直线y=3C.当x23时,N随彳增大而增大D.当x23时,歹随4增大而减小【解答】解:顶点坐标为(3,2),故力选项错误;对称轴为直线x=3,故选项8错误;因为二次项系数为20,故函数图象开口向上对称轴为直线x=3,故当xN3时,y随X增大而增大,故C选项正确;。选项错误,故选:C.【即学即练3】10 .关于二次函数y=2(-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是()A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值6【解答】解:Y二次函数y=2(-4)2+6,a=20
9、,该函数图象开口向上,有最小值,当x=4取得最小值6,故选:D.【即学即练4】11 .二次函数y=2(x+2)2-1的图象是()【解答】解:Z=20,抛物线开口方向向上;Y二次函数解析式为y=2(x+2)2-1,,顶点坐标为(2,-1),对称轴x=-2.故选:C.题型Ol二次函数的性质【典例1】二次函数y=2(x1)25的图象的开口方向,对称轴和顶点坐标为()A.开口向上,对称轴为直线X=-1,顶点(1,-5)B.开口向上,对称轴为直线x=l,顶点(1,5)C.开口向下,对称轴为直线X=1,顶点(1,-5)D.开口向上,对称轴为直线x=l,顶点(1,-5)【解答】解:=20,抛物线开口向上,V
10、对称轴为直线X=/?,,对称轴为直线x=l,一顶点坐标(,女),顶点坐标(1,-5),故选:D.【典例2】由二次函数歹=2(-3)2+1可知(A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为x=-3C.其最大值为1D.当V3时,y随X的增大而减小【解答】解:=2(X-3)2+1,.抛物线开口向上,对称轴为x=3,顶点坐标为(3,1),函数有最小值1,当V3时,歹随X的增大而减小,故选:D.【典例3】已知二次函数歹=-2(x+3)2+.下列说法:其图象的开口向下;其图象的对称轴为直线x=3;其图象顶点坐标为(3,1);当x3时,y随X的增大而减小.则其中说法正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【
11、解答】解:V-2V0,图象的开LI向下,故正确;图象的对称轴为直线X=-3,故本小题错误;其图象顶点坐标为(-3,1),故本小题错误;当XV3时,y随X的增大而减小,正确:综上所述,说法正确的有共2个.故选:B.题型02函数图像【典例1】二次函数y=(x+l)2-2的图象大致是(【解答】解:在y=(x+l)22中由=l0知抛物线的开口向上,故X错误;其对称轴为直线x=-l,在),轴的左侧,故8错误;由y=(x+l)22=x2+2X-I知抛物线与y轴的交点为(0,-1),在y轴的负半轴,故O错误;故选:C.【典例2】在平面直角坐标系中,二次函数y=(x)2(0)的图象可能是().&hc.Xd.5
12、【典例3】已知二次函数y= (X-I) 2 - c的图象如图所示,XBC. ID【解答】解:根据二次函数开口向上则0,则一次函数y=x+c的大致图象可能是(), g 、I斗根据-C是二次函数顶点坐标的纵坐标,得出c0,故一次函数y=ax+c的大致图象经过一、 故选:A.【典例4】在同一平面直角坐标系中,一次函数y=- 必 X、二、三象限,xl与二次函数y=+%的大致图象可以是()XA.B.【解答】解:二次函数y=(x)2(0)的顶点坐标为(九0),它的顶点坐标在彳轴上,故选:D.【解答】解:由y=f+A可知抛物线的开口向上,故8不合题意;:二次函数歹=/+上与y轴交于负半轴,则左V0,-0,,
13、一次函数歹=-履+1的图象经过经过第一、二、三象限,力选项符合题意,C、。不符合题意;故选:A.题型03二次函数的最值【典例1】关于二次函数y=-(x-4)2+3的最值,下列说法正确的是()A.有最小值3B.有最小值4C.有最大值3D.有最大值4【解答】解:Y二次函数y=(x-4)2+3,=lV0,该函数图象开口向下,有最大值,当x=4取得最大值3,故选:C.【典例2】已知二次函数y=(X-力)2(人为常数),当自变量X的值满足2Wx5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则人的值为()A.3或4B.1或6C.1或3D.4或6【解答】解:当人V2时,则x=2时,函数值y有最大值,故-(2-r)2=-1,解得:Ai=L42=3(