恒成立与存在性问题（学生版）.docx

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1、恒成立与存在性问题恒成立与存在性问题专题阐述：无论是不等式的证明、解不等式.还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.考法一：不等式恒成立问题【规律方法I不等式恒成立问题常见处理方法：分离参数”(x)恒成立(x)g可)或(x)恒成立(x)mm即可)；数形结合(y=x)图象在)，=g(x)上方即可)；最值法：讨论最值/()而0或/(XLXo恒成立；讨论参数.例1.已知函数/(M=Inxq若“力VY在(l,o)上恒成立厕。的取值范围是【答案】a-【解析

2、】恒成立的不等式为Inx-qf,便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法Xlnx-x2xlnx-ax3xlnx-x3,其中Xe(I,+00)只需要八卜也工-丁)、，(x)=xnx-x3(x)=llnx-3x2(导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将InX变为1,所X以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定g(x)的符号，不妨先验边界值)0)=-2,g(x)_6x=上更0,(判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化XX判断的过程)g(力在(l,+)单调递减，g(x)vg(I)Vong(力在(Lgo)单调递减g(x)g=T.a-【点睛】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函

3、数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点(边界点，零点)等确定符号.2-x-2x4例2.已知函数/(x)=，若存在2私MwR,且XX2W,/(x1)=(2)=(3),使得中2(w)()恒成立,则实数。的取值范围是glog223,+O,所以g(r)在口,2)上单调递增，所以当问时，3g(f)ax,求a的取值范围.【解析】(1),(x)=2cosx-sx+xsin%-l=cosx+xsinx-1令g(x)=8sx+xSinX-I,则g(x)=-SinX+sinx+XCoSX=XCoSX当Xt(O,乃)时，令/()=0,解得：x=j当le(0,

4、J时，(x)0;当.g()在(Om上单调递增；在(/)上单调递减又g(0)=lT=0,g(9qg(%)=一1一1=一2即当时，g(%)0,此时g(x)无零点，即(“无零点g图gO,h,()0加e停乃)，使得K)=O()在MX)上单调递增，在(%,同上单调递减又(O)=O,(乃)=2Sin乃一万COS万一(+l)乃=-drO(x)0在0,句上期立,即/G)3立当0一时，/0,图=W-。f),使得“(%)=。.(x)在0,2)上单调递减,在卜2卷)上单调递增.X(0,%)时,A(x)A(O)=O,可知f(%)欧不恒成立当4一时，(Ha=(x)在(Oe)上单调递减(x)力(O)=0可知/(x)之以不

5、恒成立综上所述：6(-oo,0【针对训练】1 .已知关于X的不等式/cosX2-/在F釜)上恒成立，则实数，的取值范围为A.3,+oo)B.(3,+oo)C.2,+)D.(2,+oo)2 .已知函数/0)=1若不等式/(x)，.恒成立，则实数，的取值范围为X-JX+ZlX0).(1)当斫1时，求曲线)可(x)在点(1,7(1)处的切线方程；(2)若关于X的不等式/(x)0恒成立，求实数。的取值范围.考法二：不等式(方程)有解(能成立)问题规律方法根据导数的方法研究不等式能成立问题，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可

6、根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.例4.已知函数“)=Cge+半J-X若存在实数m使得不等式/(z)2f成立，求实数n的取值范围为()A.f,-3UL+)B.(-,-lu-,+JC.(-oo,0up+D.(-co,-gU0,+【答案】A【解析】由/(X)=皿/+半/_工，求导，r)=d+(0)x-l,当=时，r()=r()+(o)-1,则”0)=1,当X=O时=纳=1,则,=e,e.(x)=et+2-x,则r(x)=e11,令MX)=e+x-1,JJ(j/x)=e+l0,函数MX),即/。)单调递增，令r)=o,解得：=o,当r(x)O时,解得：

7、x0,/(x)单调递增；当尸(力0时，解得：x0,/(X)单调递减，当X=O时，可取得极小值，极小值为0)=1,J()的最小值为1,若诙实数n1使彳环等式/(m)2，贝!|22“(x)min=l,则2/一一io,解得：zz或.;,即实数n的取值范围是(yo,.l,+),故选：A.例5.已知函数”x)的导函数为(力，且对任意的实数X都有/(x)=eT(2x+3)-x)(e是自然对数的底数)，且0)=1,若关于X的不等式/U)-，0得-2xvl,止匕时/(x)单调递增，由广(力0得X2或Ql,此时/(x)单调递减，所以X=I时，/U)取得极大值为/=*,e当=-2时，取得极小值f(-2)=-0,-

8、3)=0,且l时，/(x)0,/(x)()的解集中恰有两个整数等价于/(X)=+；+在V=根下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则/(T)mW0,解得一em0,所以一evm0时，/(x)0的解集中恰有两个整数-1，-2,故实数，的取值范围是(w,0故选：C【点睛】/(-相。的解集中恰有两个整数，需求出丸)解析式，所以对已知条件/(x)=*(2x+3)-/(x)变形可得卜=2x+3即打(X)=X2+3+c结合0)=1可求出/O)=,?+1,/()-m!在ee丁二，下方的图象只有2个横坐标为整数的点,对“力求导数形结合即可求出实数，的取值范围.例6.已知函数f(x)=-fllnx

9、-+ax,aeR.x(1)当a0时，讨论f(x)的单调性；2(2)设g(x)=/(X)+?(幻，若关于X的不等式g(x)-+y+-l)x在1,2上有解,求的取值范围.【解析】(I)由题意知，/(幻=，_空4+/_卞_1),XXX令(X)=(Or-力*-1),当v时，or-，l时，F(x)O;当OVXVl时，F(x)Olff,(x)O;，函数/在(O,D上单调递增,在。，S)上单调递减.IxClXX_X、(2)因为g(x)=/(X)+才(X)=FInX+ax+x；Fa-anx-ex+2ax-atXXJr2由题意知，存在小或2,使得出。)泊+争(4-1区成立.2即存在XOW1,2,使得一nXo+(

10、+l)Xo-。成立；2r-令?(X)=FlnX+(+l)x-,x1,2,、-a,(x-)(x-1)rc,.h(x)=Fa+1X=,Xw1,2lXX当时，对任意y,2,都有*)of函数心)在工2上单调递减，(x)mini=-ln2+0成立，解得O,.O;当l“O,解得lv;令(x)VO,解得f(M有解，则实数，的取值范围为()A.(-1,0)(0,+oo)B.(-2,0)l(0,-kx)C.(；.(0,+)D.(_g_ln2,0)_(0,+oo)5 .已知函数g(x)=Vg4xe),e为自然对数的底数)与v)=31n1的图象上存在关于X轴对称的点，则实数。的取值范围是()A.1,-+3B.1,/-3C,+3,e33D./-3,+OO)26 .已知函数/(x)=-+nx(o0)X(1)若函数.V=/(X)图像上各点切线斜