刘蒋巍:2道函数不等式题的命制——听教育专家黄厚忠先生专题报告后而命制.docx

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1、2道函数不等式题的命制听教育专家黄厚忠先生专题报告后而命制文/刘蒋巍2023年4月14日,镇江市教育科学研究院高中部部长、高中数学教研员、镇江市学科带头人、镇江市政协常委、市农工党教育支部主任黄厚忠先生,在“江苏省2023年高中数学新高考研讨活动”中作专题报告。在专家报告环节,黄厚忠先生指出:“基本初等函数(一次函数、二次函数、三次函数、分式函数、绝对值函数为主)、指数函数、对数函数、三角函数,这四种函数相互间组合运算、叠加、复合,衍生出多种新函数,探讨这些新函数的性质。”同时,黄厚忠先生也提到:“有些高考题,命题者出题意图是让学生用导数处理。实际上,也可以用不等式处理。”笔者在学习教育专家黄

2、厚忠先生专题报告后,研读教材,命制了2道函数不等式题。下面将试题命制过程及参考解答呈现给大家。请批评指正。问题1【命制过程】【命题背景】函数/(x)=(l+与在(0,+o)为增函数,且当x0时,lim(l+-)x=eXXfMX基于此背景,命制如下问题1【问题1已知数列%的通项公式为:an=(l+-),l9Nn(1)当x0时,求证:ln(l+x)x1+x(2)判断数列勺的单调性,并证明(3)求证:2ane问题1【参考解答】(1)证明略。1Il1+(1+)+.+。4)1(“La+-r=d+-).(i+-)(严nnnl+n(l)1=(F)用=(l+)用=4M故,数列”为单调递增数列。注:也可构造函数

3、,运用不等式上ln(l+x)0)证明.1+x(3)由(2)知:cxan9即:2an当X0时,g(x)=x-ln(l+x),gf(x)=1O,故g(x)g(O)=0(x0)1+x即:当x()时,ln(l+x)x;用!替换A得:ln(l+-)0),XXX即:ln(l+-)x0),亦即:(l+-)v)XX故,an=(l-)nen综上,2alle问题2【命制过程】【教材题源】(苏教版必修1教材第134页“思考运用”第7题)已知函数f(=,对于任意的和马。”),试比较八“);/(为2)与“土产)的大小.【命题背景1】/(x)=x(cosX+sinx),f,(x)=2vcosx,*(x)=2ex(cosx

4、-sinx)当2x包时,cosxsinx,Jt1Jff,(x)O;则f(x)在(乙,2)是上凸函数4444当OX&或xsin%,则/(x)0,44则在(0,马5红,24)是下凸函数。44取“”段函数图像,则/()+/(.)%,则(/O-7(XO)(X-Xo)O即:/(x)/(x0)+/(X0)(X-X0)若/为严格上凸函数,则(在/上严格单调减少。因此,当且仅当X=RO时,等号成立。由上述定理,可知:经过点(工,j)(&(,区)的切线一定在曲线y=(x)的4444_R上方。即:f(x)=ex(cosX+sinx)+(1-)4据此,命制第(2)问。【问题2给出定义:若函数/(x)在区间I上可导,

5、即/(为存在,且导函数(X)在区间I上也可导,则称/(X)在区间I上存在二阶导函数,记尸(X)=CT(X),若/(x)0在区间I上恒成立,则称/(幻在区间I上为下凸函数.对于任意工,%2,其中wN*,n29若/(x)在区间I上为上凸函数,则有./(内,+/(W)+-(Z)(*+句;若fQ)在区间I上为下凸函虬nn则有/(X)+f*2)+fXt)/(XI+32+%)nn已知/(x)=ex(cos%+sinx),JLx1x2”、y或“二”);22若e*(cosx+sinx)ax+(-)a恒成立,则0的最小值为问题2【参考答案】(1)小/(G)(J);(2)的最小值为:j22【总结】教师要研究命题的背景试题的“源”,据此,我们可取种种具体的函数,乃至抽象函数,源源不断地产生相应的函数不等式题。2022全国新高考I卷作文提示语:对于初学者而言,应该从本手开始,本手的功夫扎实了,棋力才会提高。一些初学者热衷于追求妙手,而忽视更为常用的本手。本手是基础,妙手是创造。一般来说,对本手理解深刻,才可能出现妙手;否则,难免下出俗手,水平也不易提升。对于教师而言,你未必需要自己下出“妙手”;你需要的是“把握基本,参选变化”o知晓“试题的变化”,会训练学生,让学生练好“本手”,创造出“妙手”!课堂的基本在于“预设”,课堂的创造在于“生成”!

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