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1、平行四边形的性质及判定典型例题平行四边形的性质及判定(典型例题)1(平行四边形及其性质例1如图,O是ABCD对角线的交点(?OBC的周长为59,BD=38,AC=24,则AD=若?OBC与?OAB的周长之差为15,则AB=ABCD的周长=.O根据平行四边形对角线互相平分,所以OB=TBD,OC=i分析:AC,可得BC,再由平行四边形对边相等知AD=BC,由平行四边形的对角线互相平分,可知?OBC与?OAB的周长之差就为BC与AB之差,可得AB,进而可得ABCD的周长(r-j解2BeD中OA=OC=gAC,OB=OD=JBD(平行四边形的对角线互相平分)?OBC的周长=0B,0C,EC=D+AC
2、BC22=19,12,BC=59?BC=28口ABCD中,?BOAD(平行四边形对边相等)?AD=28?OBC的周长-?OAB的周长=(0B,0C,BC)-(0B,OA+AB)=BC-AB=15?AB=13?ABCD的周长=AB,BC,CD,AD=2(AB,BC)=2(13,28)=82说明:本题条件中的“?OBC占?OAB的周长之差为15,用符号语言表示出来后,便容易发现其实质,即BC与AB之差是15(例2判断题(1)两条对边平行的四边形叫做平行四边形()(2)平行四边形的两角相等()(3)平行四边形的两条对角线相等()(4)平行四边形的两条对角线互相平分()(5)两条平行线中,一条直线上任
3、一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离()(6)平行四边形的邻角互补()分析:根据平行四边形的定义和性质判断(解:错“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边,而不是两条对边(如图四边形ABCD,两条对边AD?BC(显然四边形ABCD不是平行四边形(错平行四边形的性定理1,“平行四边形的对角相等(”对角是指四边形中设有公共边的两个角,也就是相对的两个角(错平行四边形的性质定理3,“平行四边形的对角线互相平分(”一般地不相等(矩形的两条对角线相等)(对根据平行四边形的性质定理3可判断是正确的(错线段图形,而距离是指线段的长度,是正值正确的说法是:两条平行线中,一条直线上任一点到另
4、一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离(对由定义知道,平行四边形的对边平行,根据平行线的性质可知(平行四边形的邻角互补(口例3(如图1,在ABCD中,E、F是AC上的两点(且AE=CF(求证:ED?BF(分析:欲址DE?BF,只需?DEC=?AFB,转证二?ABF?CDF,因ABCD,则有ABCD,从而有?BAO?CDA(再由AF=CF得AF=CE(满足了三角形全等的条件(口JL证明:?AE=CFAE+EF=CF+EF?AF=CE口在ABCD中AB?CD(平行四边形的对边平行)?BAC=?DCA(两直线平行内错角相等)AB=CD(平行四边形的对边也相等)?ABF?CDE(SAS)?AFB
5、=?DCE?ED?BF(内错角相等两直线平行)说明:解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理(例4如图已知在?ABC中DE?BC?FG,若BD=AF、求证;DE,FG=BC(分析1:要证DE,FG=DC由于它们是平行线,由平行四边形定义和性质(考虑将DE平移列BC上为此,过E(或D)作EH?AB(或DM?AC),得到DE=BH、只需证HC=FG,因AF=BD=EH,?CEH=?A.?AGF,?C所以?AFG?EHC(此方法称为截长法(分析2:过C点作CK?AB交DE的延长线于K,只需证FG=EK,转证?AFG?CKE(A证法1:过E作EH?AB交于H?DE?BC?四边形DBHE是平行
6、四边形(平行四边形定义)?DB=EHDE=BH(平行四边形对边也相等)又BD=AF?AF=EH?BC?FG?AGF=?C(两直线平行同位角相等)同理?A=?CEH?AFG?EHC(AAS)?FG=HC?BC=BH+HC=DE=FG即CE+FG=BD证法2:.过C作CK?AB交DE的延长线于K.?DE?BC?四边形DBCK是平行四边形(平行四边形定义)?CK=BDDK=BC(平行四边形对边相等)又BD=AFVAF=CK?CK?AB?A=?ECK(两直线平行内错角相等)?BC?FG?AGF=?AED(两直线平行同位角相等)又?CEK=?AED(对顶角相等)?AGF=?CEK?AFG?CKE(AAS
7、)FG=EKDE+EK=BC?DE+FG=BC口例5如图ABCD中,?ABC=3?A,点E在CD,CE=I,EF?CD交CB延长线于F,若AD=L求BF的长(分析:根据平行四边形对角相等,邻角互补,可得?C=?F=45?进而由勾股定理求出CF,再根据平行四边形对边相等,得BF的长(解:在ABCD,AD?BC口?A,?ABC=I80?(两直线平行同旁内角互补)??ABC=3?A?A=45?,?ABC=I35?C=?A=45?(平行四边形的对角相等)?EF?CD?F=45?(直角三角形两锐角互余)?EF=CE=I在RtACEF中,CF=JcE2+EF)=(勾股定理)VAD=BC=IBF=CF-BC
8、=2-i0例6如图1,ABCD中,对角线AC长为IOCnb?CAB=30?,AB长为6cm,求ABCD的面积(口解:过点C作CH?AB,交AB的延长线于点H(图2)?CAB=30?CH=AC=10=5-22ZZ7?SABCD,AB?CH,65=30(cm2)口答:ABCD的面积为30cm2(口说明:由于二底X高,题设中已知AB的长,须求出与底AB相应的高,由于本题条件的制约,不便于求出过点D的高,故选择过点C作高(口例7如图,E、F分别在ABCD的边CD、BC,且EF?BD求证:S?ACE=S?ABF分析:运用平行四形的性质,利用三角形全等,将其转化为等底同高的三角形(证明:将EF向两边延长分
9、别交AD、AB的延长线于G、H.口ABCDDE?AB?DEG=?BHF(两直线平行同位角相等)?GDE=?DAB(同上)AD?BC?DAB=?FBH(同上)?GDE=?FBH?四边形BHED是平行四边形?DE=BH(平行四边形对边相等)?GDE?FBH(ASA)?S?GDE=S?FBH(全等三角形面积相等)?GE=FH(全等三角形对应边相等)?S?ACE=S?AFH(等底同高的三角形面积相等)?S?ADE,S?ABF口说明:平行四边形的面积等于它的底和高的积(即S=a?ha(a可以是平行四边形的任何一边,h必须是a边与其对边的距离(即对应的高,为了区别,可以把高记成ha,表明它所对应的底是a(
10、口例8如图,在ABCD中,BE平分?B交CD于点E,DF平分?D交AB于点F,求证分析BF=DE(目标)tBEDF为O理ADETZ2=Z3tN3ZI=Z2ttDEFBNB=NDNl=(42=1Bt22口ABCD证明:?四边形ABCD是平行四边形?DE?FB,?ABC=?ADC(平行四边形的对边也平行对角相等)?1=?3(两直线平行内错角相等)而N1=;NADC,Z2=ZABC?1=?2?2=?3?DF?BE(同位角相等两条直线平行)?四边形BEDF为平行四边形(平行四边形定义)?BF=DE(平行四边形的对边相等)说明:此例也可通过?ADF?CBE来证明,但不如上面的方法简捷(例9如图,CD的R
11、t?ABC斜边AB上的高,AE平分?BAC交CD于E,EF?AB,交BC于点F,求证CE=BF(分析作EG?BC,交AB于G,易得EG=BF(再由基本图,可得EG=EC,从而得出结论(证明:过E点作EG?BC交AB于G点(?EGA=?B?EF?AB?EG=BF?CD为Rt?ABC斜边AB上的高?BAC,?B=90?(?BAC,?ACD,90?B=?ACD?ACD=?EGABAC?AE平分??1=?2又AE=AE?AGE?ACE(AAS)?CE=EG?CE=BF(说明:(1)在上述证法中,“平移”起着把条件集中的作用(2)本题也可以设法平移AE(连F点作FG?AE,交AB于G)口ABCD的周长为
12、32cm,AB?BC=5?3,例10如图,已知AE?BC于E,AF?DC于F,?EAF=2?C,求AE和AF的长(分析:从化简条件开始口?由ABCD的周长及两邻边的比,不难得到平行四边形的边长(Z=ZABCD的周长=32IAB=IOAB:BC=5:3BC=6?EAF=2?C告诉我们什么,AFIFCl*FAE+NC=180。AE1BCjEAF=2ZCC=60这样,立即可以看出?ADF、?AEB都是有一个锐角为30?的直角三角形(于是有DF=AD=BC=3再由勾股定理求出口解:ABCD的周长为32CnI即AB+BC+CD+DA=32?AB=CDBC=DA(平行四边形的对边相等)AB+BC=32=1
13、62又AB?BC=5?3AB=-5=105+3BC=7X3=653?EAF+?AFC+?C+?CEA=360?(四边形内角和等于360?)?AE?BC?AEC=90?AFC=90oAF?DC?EAF+?C=180?EAF=2?C?C=60?AB?CD(平行四边形的对边平行)?ABE=?C=60?(两直线平行同位角相等)同理?ADF=60?在RtZABE中,NBAE=30BE=-AB=5.AE=AB3=BE2=53(cm)在RtADF中,NDAF=30。DF=BAD=BBC=3.,.AF=AD3-DF2=33(Cm)说明:化简条件,化简结论,总之,题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始,这是一
14、种常用的解题策略,我们把这种解题策略称为:从最复杂的地方开始(它虽简单,却很有效(2(平行四边形的判定例1填空题如图1,四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形,则四边形AEFD是理由是(2)如图2,D、E分别在?ABC的边AB、AC,DE=EF,AE=EC,DE?BC则四边形ADCF是理由是四边形BCFD是理由是分析:判定一个四边形是平行四边形的方法较多,要从已知条件出发,具体问题具体分析:(1)根据平行四边形的性质可得AD平行且等于BC,BC平行且等于EF,从而得AD平行且等于EF,由判定定理4可得(2)由AE=EC,DE=EF,由判定定理3可得四边形ADCF是平行四边形,从而得AD?CF即BD?CF,再由条件,可得四边形BCFD是平行四边形(解:(1)平行四边形,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(2)平行四边形,对角线互相平分的四边形是平行四边形,平行四边形,两组对边分别平行的四边形是平行四边形(说明:平行四边形的定义(两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,既是平行四边形的一个性质,又是