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1、专题12立体几何专题(新定义)一、单选题1. (2022秋.内蒙古赤峰.高二赤峰二中校考阶段练习)已知体积公式V=砂中的常数A称为“立圆率”.对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱),正方体,球也可利用公式V=WL求体积(在等边圆柱中,。表示底面圆的直径;在正方体中,。表示棱长,在球中,。表示直径).假设运用此体积公式求得等边圆柱(底面圆的直径为。),正方体(棱长为。),球(直径为。)的“立圆率”分别为勺,k2,%,则勺:内:&3=()C.3:2万:2【答案】A【分析】根据体积公式分别求出“立圆率即可得出.【详解】因为%,桂=万XqWlfxI2因为KE方体=2。3,所以左2=1,az、3rav.7
2、4a.3因为=X=k3a,所以&二一,32)6所以K,.k2,.ky=:1:.46故选:A.2. (2022秋江苏南京高二统考期中)我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体,在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面,其余各面叫做拟柱体的侧面,两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高,过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为V=,力(S+4S什S)其中S,S分别是上、下底面的面积,So是中截面的面积,力为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料,其两底面是矩形且对应边平行(如图),下底面长20米,宽10米,堆高1米,上底长、宽比下底长、宽各少2米.现在要彻底
3、运走这堆建筑材料,若用最大装载量为4吨的卡车装运,则至少需要运()(注:1立方米该建筑材料约重1.5吨)A. 63 车B. 65 车C. 67 车D. 69 车【答案】B【分析】根据所给条件先计算上底面和中截面的长、宽,进而求出各个面的面积、体积以及重量,进一法求出所需要的车次.【详解】解:由条件可知:上底长为18米,宽为8米;中截面长19米,宽9米;则上底面积S=18x8,I514中截面积SO=I9x9,下底面积=20x10,所以该建筑材料的体积为g:xlx(144+684+200)=一立方63米,5143所以建筑材料重约宁x=257(吨),需要的卡车次为2574=64.25,所以至少需要运
4、65车.故选:B3. (2022全国高三专题练习)胡夫金字塔的形状为四棱锥,1859年,英国作家约翰泰勒(JohnTgIor,1781-1846)在其大金字塔一书中提出:古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例(U手=1.618),泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载:胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方.如图,若fi2=as,则由勾股定理,as=s2-a2,即(-1=。,因此可求得士为黄金数,已知四棱锥底面a)aa是边长约为856英尺的正方形(24=856),顶点P的投影在底面中心O,为BC中点,根据以上信息,PH的长度(单位:英尺)约为().BA. 611.6B. 481.4
5、C. 692.5D. 512.4【答案】C【解析】由24=856和PH=S=可得2【详解】解:PH =s = +I a 2a = 856 2故选:C【点睛】读懂实际问题,把实际问题转化为数学问题进行计算;基础题.4. (2023辽宁沈阳统考一模)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.则正八面体(八个面均为正三角形)的总曲率为()【答案】B【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.
6、【详解】正八面体每个面均为等比三角形,且每个面的面角和为兀,该正面体共6个顶点,因此,该正八面体的总曲率为62-8=4r.故选:B.5. (2023全国高三专题练习)将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为6,b为此时太阳直射纬度(当地夏半年取正值,冬半年取负值),。为该地的纬度值,如图.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间,即b-23o26,23o261.北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米,北京天安门广场的纬度为北纬39。5427,若某天的正午时刻,测得华表的影长恰好为9.57米,则该天的太阳直射纬度为()A.北纬5。527B.南纬5。527”C.北纬5。5,33D.南纬5。
7、533【答案】D【解析】首先根据题意理解太阳高度角、该地纬度、太阳直射纬度的概念,然后由太阳高度角bcdC. badc【答案】B【分析】根据题意给的定义,结合图形【详解】对于正四面体,其离散曲率为 对于正八面体其离散曲率为+ 对于正十二面体,其离散曲率为C = I-二 对J正二十面体,其离散曲率为d = l 则L ! L2 3 6 10所以0bdc.故选:B.O辂 正十二面体正二十面体B. abdcD. cdba分别求出a、b、c、4的值即可比较大小.11 / a I一茱(丁3) = 5L(%3) = LU 5101 /万人 1(5) = -,2 368. (重庆市2023届高三第七次质量检测
8、数学试题)如图,生活中有很多球缺状的建筑.球被平面截卜.的部分叫做球缺,截面叫做球缺的底面,球缺的曲面部分叫做球冠,垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球冠面积公式为S=2R?H,球缺的体积公式为V=g(3R-)”2,其中R为球的半径,H为球缺的高.现有一个球被一平面所截形成两个球缺,若两个球冠的面积之比为1:2,则这两个球缺的体积之比为().【答案】C【分析】根据已知条件求得=彳,也=不,代入体积公式计算即可.【详解】设小球缺的高为九,大球缺的高为力2,则4+A2=2R,由题意可得:警*=;,即:32kZnKrl1L所以由得:1=y,A2=竿,所以小球缺的体积M=+卜火-竿竿j=4f,
9、大球缺的体积K=X3R一鄂(竽J=喈28兀一所以小球缺与大球缺体积之比为空=决=二.Vz2Ov7l112081故选:C.9. (2021秋江苏南通高三统考阶段练习)碳60(Co)是一种非金属单质,它是由60个碳原子构成,形似足球,又称为足球烯,其结构是由五元环(正五边形面)和六元环(正六边形面)组成的封闭的凸多面体,共32个面,且满足:顶点数一棱数+面数=2,则其六元环的个数为().A. 12B. 20C. 32D. 60【答案】B【分析】根据顶点数一棱数+面数=2求出棱数,设正五边形有X个,正六边形有y个,根据面数和棱数即可得关于无,的方程组,解得y的值,即可求解.【详解】根据题意,碳60(
10、Co)由60个顶点,有32个面,由顶点数一棱数+面数=2可得:棱数为60+32-2=90,设正五边形有X个,正六边形有y个,则41nn解得:”,所以六元环的个数为20个,5x+6y=902y=20故选:B.10. (2018春四川成都高三成都七中校考阶段练习)设“,定义区间力、3,勿、团的长度均为在三棱锥A-Ba)中,AB=BC=CA=I,ADlBD,则8长的取值区间的长度为A.3B.2C.23D.4【答案】B【解析】由题意画出图形,得到三棱锥A-88存在时。的范围,则答案可求.【详解】如图,ABC是边长为2的等边三角形,取48中点O,连接CO,可得CO=L因为LB仅当AQ=B。时,0。最长为
11、1,则当等腰直角三角形。在平面A8C上时,C。的最小值为6-1,最大值为5+l,则要使三棱锥4-BCO存在,CD(3-,3+1),所以CD长的取值区间的长度为(6+1)-(G-I)=2.故选:B【点睛】本题考查由立体几何图形成立限制边长范围问题,属于较难题.二、多选题11. (2022全国高三专题练习)用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱,若两个截面都是椭圆形状,则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱.这两个截面称为斜圆柱的底面,两底面之间的距离称为斜圆柱的高,斜圆柱的体积等于底面积乘以高.椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的4倍,已知某圆柱的底面半径为2,用与母线成45。角的两个平行平
12、面去截该圆柱,得到一个高为6的斜圆柱,对于这个斜圆柱,下列选项正确的是()A,底面椭圆的离心率为立2B,侧面积为24标C.在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36;TD.底面积为4缶【答案】ABD【分析】不妨过斜圆柱的最高点。和最低点B作平行于圆柱底面的截面圆,夹在它们之间的是圆柱,作出过斜圆柱底面椭圆长轴的截面,截斜圆柱得平行四边形,截圆柱得矩形,如图,由此截面可得椭圆面与圆柱底面间所成的二面角的平面角,从而求得椭圆长短轴之间的关系,得离心率,并求得椭圆的长短轴长,得椭圆面积,利用椭圆的侧面积公式可求得斜椭圆的侧面积,由斜圆柱的高比圆柱的底面直径大,可知斜圆柱内半径最大的球的直径与圆柱底面直径相等,从而得其表面积,从而可关键各选项.【详解】不妨过斜圆柱的最高点。和最低点5作平行于圆柱底面的截面圆,夹在它们之间的是圆柱,如图,矩形ABeO是圆柱的轴截面,平行四边形跳DE是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面,由圆柱的性质知ZABF=45,则B7=48,设椭圆的长轴长为2”,短轴长为2,则2=J20,a=0b,c=yja2-b2=Ja2a)2=a所以离心率为e=也,A正确:a2EGA.BF,垂足为G,则EG=6,易