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1、专题12三角恒等变换1同角三角函数的基本关系式：Sin2。+CoS2。=1,tan6=吗，COSe2正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)3和角与差角公式sin(cr=sinacoscosasin;cos()=cosacos-snasin;tan()=-(sinacosa)=l2snacosa1+tanatan-sin+Z?COSa=Ja2+sin(+0(夕由点(。力)的象限决定，tanp=&).a3二倍角公式及降幕公式sin2=2SinaCOS.l-tan2a4三角函数的周期公式_2TT函数N=Sin(x+),(A,3,夕为常数，且A0)的周期7=;JTJT函数P=tan(GX+8)
2、,xobr+,ZZ(A,3,0为常数，且A0)的周期T=.2重难点题型突破1和差公式的化简及求值例1.(IX(2022辽宁东港市第二中学高一阶段练习)Sin77.cos43.+sinl30cos47的值为()1D3c1n3A.-B.C.D.2222【答案】B【分析】由诱导公式及正弦和角公式求解即可.32【详解】sin77o=sin(90a-13)=cos13ojcos43=cos(900-47c)=sin47,则sin77cos43+sinl3cos47=cos13sin47+sin13cos47=sin60=故选：B.(2)、(2024浙江台州统考一模)若CoSa=COS仁+斗则的取值可以为
3、()A.-B.-C.635C2D.63【答案】C【分析】根据两角和的余弦公式，结合辅助角公式进行求解即可.【详解】FhCOSa=COS(g+),得gcos+*Sina=0,即sin(+胃=0,Tr所以+-=E,kZ,即=而,AeZ,66当左=1时，a=,6故选：C.【变式训练11】、（2022下甘肃高二统考学业考试）SinI2。COSI8+COSI20SinI8的值等于（）A.7B.C.走D.1233【答案】A【分析】直接利用两角和的正弦公式求解即可.【详解】sin12ncosl8+cosl2sinl8o=sin（12o+18o）=sin30o=.故选：A.【变式训练12】、（2023上宁夏吴
4、忠高三吴忠中学校考阶段练习）已知a为锐角，cos+yj=,则cosa=.3【答案】S【分析】先求出sin（a+0）,再利用COSa=CoSa+展开计算即可.【详解】va,2(.(.I146后13.Cosa=Cosa+=cosa+cossna+-sin-=M：.33)【3J3V3j372721413故答案为：314例2.(1)、(2023上重庆高三西南大学附中校考期中)已知0a兀夕冗，且COSa=T，cos(a+m=-；,则cos=.答案上逅21【分析】先通过角所在象限求出Sina,sin(a+0,再利用cosP=cos(a+-a)展开计算即可.【详解】/0a,cosa=-=cos,724r;-
5、4*73:.a,sn=l-cosa=，427C：a一,p,422”.曰+6与，又cos(a+4)=-；1 I 1 2E I,32G(To)，当年二+夕兀时，-1COS（6Z+/?）,当冗+p当时，-lcos(+)2【答案】AB【分析】根据题意，由三角函数的和差角公式，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】cos22osin52o-sin22cos52o=sin(52-22o)=sin30o=1,所以A正确：=tan(24o+36o)=tan60o=3,所以B正确；l-tan24otan36o7cos150-sinl50=y/2(cos45cosl5o-sin45osinl5o)=-V
6、2cos(45o+15o)=，所以C错误;sinl5osin30osin75o=sinl5osin30osin(90o-15o)=sinl5ocosl5osin30o=sin30osin30o=1,所以D错误.故选：AB.【变式训练21】、(2023全国模拟预测)已知Sina-COS,CoSa+sin4=；,则sin(-4)=()【答案】C【分析】利用同角三角函数的平方关系，结合正弦的差角公式计算即可.【详解】由题意得(Sina-COS=sin2a+cos2-2sincos=_9cos+sin4=COS2a+sin24+2COSaSin4=一,411两式相力口得22(SinaCoSS-CoSa
7、SinB)=，3613BJ2-2sin(-/?)=-,3659解得sin(-P)二天.故选：C【变式训练22】、（2023上江苏连云港高三校考阶段练习）（多选题）下列式子的运算结果为赵的是（）A. sin35ocos25o-cos35sin25B. cos35ocos5 + sin35osin502ltan15o l-tan150tanD.-1，1-tan6【答案】BD【分析】利用两角和与差的正弦，余弦，正切公式化简及特殊角的三角函数求值，即可判断选项.【详解】对于A,sin35ocos25o-cos35osin25=sin(35o-25o)=si1110o,不符合题意;对于B,cos350c
8、os50+sin350sin50=cos(35o-5)=cos30o=,符合题意;,1.1+tan15otan45+tanl5o一LC,人皿*对于C,=tan(45o+15o)=tan60o=3,小%1-tan15o1-tan450tan150对于D, tan 636 L3厂=J-=在Y)2 I 2符合题意.故选:BD.重难点题型突破2二倍角公式与半角公式的顺用与逆用例3、（1）、（2023山东统考一模）己知角（0,兀），且cos2。=；,则Sina的值为（）A.逅B.3C.巫D.一直6363【答案】B【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.【详解】因为cos2a=l-2sin2。=；,所以Si
9、na=，3因为(0,),所以Sina=-故选：B.(2)、(2023下福建泉州高二校联考期末)若Sina=I,则cos2=【答案展【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】cos2a=1-2sin2cr=1-2故答案为：卷.【变式训练31】、(2023上天津河西高三天津市新华中学校考阶段练习)己知(0,),sin+CoSa=-*,则cos2a=()【答案】B【分析】由Sina+cosa=-J平方得到sin2。，再利用平方关系求解.【详解】解：因为e(,兀)，sin+cosa=-%,所以j?,由Sin+cosa=-两边平方得1+2SinaCoSa=；,即sin20=2sinacosa-2,c
10、os2a=Vl-sin22a=故选：B.【变式训练32】、(2023下广东深圳高一深圳市建文外国语学校校考期中)已知w(,),sin=1,则cos2a=7【答案】-/-0.28【分析】根据余弦二倍角公式与平方公式结合求解即可.【详解】因为会兀卜ina=S,所以cosZaucosNa-si/afsin%=1一2x(?)=一.7故答案为：*重难点题型突破3辅助角公式的应用与三角函数的图像之间的关系例4、(1)、(2023上湖北高三校联考阶段练习)将函数/(x)=Si政+版。Sr的图像向左平移930)个单位长度后，所得函数是奇函数，则少的最小值为.【答案】y【分析】先根据辅助角公式化简得x)=2Si
11、n(X+),平移e30)单位长咬后函数是奇函数得出=q+E,kwZ,计算出最值即可.详解:/(x)=sinxV3cosx=2sinx+y,图像向左平移夕(90)个单位长度后得到y=2sin+8+。)是奇函数，+y=-y+AZ,.0,.。的最小值为g故答案为：y(2)、(2022河北保定高三阶段练习)(多选题)已知函数/(x)=sinx卜inx+5cosx),则()A.力的最大值为2B./(%)的最小正周期为兀C./(x)的图象关于直线x=5对称D./(%)的图象关于点(工,)对称【答案】BC【分析】将/(%)解析式经过恒等变换后化为/(x)=Sinl2x-)+；,再结合正弦函数的性质对其性质逐
12、一判断即可.【详解】因为/(x)=SinX(SinX+VJcosx),所以/(x)=sin，+5sinxcosx=!+sin2x，所以/(X)=sin2x-cos2x+-=Sirf2x-1J,八222V6J2所以/U)的最大值为I，故A错误.(x)的最小正周期7=亨=兀，故B正确.令2%-=女乃+W，AeZ,化简得X=竺+f,ZeZ,取M=O可得x=1,所以函数/(%)的图像关于直线62233X=W对称，故C正确.令2x-%=k,kwZ、化简得X=+=，keZ,取左=1可得X=二，当=时，/(x)=l所以/(x)621212122的图像关于点(，；)对称.故D错误.故选:BC.【变式训练41】
13、、(2023全国模拟预测)将函数/(X)=抬sin函-CoS3(O06)的图象向左平移今个单位长度得到函数g(x)的图象，且g(j=2,则下列结论中正确的是()A.g(x)为奇函数B.当收p时，/(x)的值域是c.g()的图象关于点卜弓可对称D.g(x)在0,y上单调递减【答案】B【分析】根据三角函数的平移变换求出g(x)的表达式，然后依次判断各个选项即可.【详解】因为/(X)=百sin(x-COS6r=2sin(oXq),所以g(X) = 2sin HX +讣/c . =2sm 姐+I 6 6,由gf；=2sin(第一二=2,f-=-+2k,AeZ,则&=2+64,%Z,又06,所以=2,6J136/362所以/(x)=2sin(2xjg(x)=2si
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