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1、专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点3阿波罗尼斯圆与向量专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点3阿波罗尼斯圆与向量【微点综述】涉及线段定比的有些平面向量题,或是涉及数量积的等式,可以转化成三点共线问题,构造阿波罗尼斯圆,建立平面直角坐标系,利用阿波罗尼斯圆解决问题.【典例刨析】例11.已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量C满足则o+力-c+2c-Zil最小值为.【答案】I【分析】建立坐标系,设A(I,B(0,1),设OA=,OB=b,贝匕+方一。|+2|。一|=。)+23。,构造相似三角形,设七(I?),可得AAECSacD,所以|。+一4|+2花-ZH=Co+28C=2(BC+CE).24E=T.
2、【详解】如图,A(l,0),8(0,1),设OA=,O6=力,则向量C满足IlaI=J,设OC=c,所以点C为以A为圆心,以!为半径的圆上的一点,所以|。+一Cl=IC)|,同理2c-b=26C,则K = F,又因 NCAE = ND4C,AC AD所以AECsaCZ),CF1所以=5,即CD=2CE,所以+h-c+2c=CD+28C=2CE+2BC=2(8C+CE),由三角形的三边关系知2(8C+CE)2BE=2.【点睛】本题考查向量的坐标运算,向量的模,向量模的几何意义,考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意构造相似三角形等知识,属于难
3、题.2y?2 .已知Be=6,AC=2AB,点满足AD=7J他+2(1+(AC,设/(兑y)=卜日,若/(“,”/&,),0)恒成立,则/优,为)的最大值为.【分析】将已知但系AB +点寸C变形为京R网+工AB至点、F,使得IAq=2AB,取AC的中点E,并通过本+大=1得出点。在E尸上,再通过与已知条件得出/(%,yo)=An=AG,设IAM=m,再通过面积法与正、余弦定理得出IAGI即可利用一元二次方程最值与根式性质得出答案.【详解】延长48至点凡使得4F=2AB,取AC的中点E,连接EF,2VV则3耳所帚产,2A8)+x + y -AF +x+y x+yx+yx+y点。在EF上,过点A作
4、AGJ.EF于点G,E由“边角边公理可得:ZAM=ZXABC,:.EF=BC=6,./(为用=卜4,且/(,y)(M,%)恒成立,.(0,y0)=ADLin=AG,设A8=m,根据面积法知:2msinA+ 144-12 = 4, 3m + 4m - 361m 2m当且仅当m=25时等号成立,(%,%)a=4,故答案为:4.例3(2022浙江省宁波市邺州中学高三其他)3 .已知向量。也C满足IaI=Bgl=ICl=I,。乃=1,则c+1+glj的取值范围是.【答案】7【解析】根据几何关系,设点4B,。的坐标,点C在单位圆上,故M=ca+lc-,=l(EC+BC),当8,EC三点共线时,即点C在C
5、l处时,取最小值,以及数形结合分析出最大值,计算得到答案.【详解】因为Ial=IJbl=2,ab=1,所以&方=?,设QA=,OB=bOC=c即4(1,0),B(l,3),D(-,0),点C在单位圆x2+=l,因为c+a+1c-Z?|=IOC-0D+1OC-OB=IDC+11BC,设ICI=fEC,C(x,y),E(m,),即J*+g)2+y2-1y(一m)2+(y一Uy,故E(-2,0),所以M=卜+引+*_*1忸。卜|明),如图,(I)当凤旦C三点共线,即点C在G处时,取最小值.因为M=卜+1+/C叫=名用+1叫)加国=G所以Mgn=G(2)当C位于G处时,取最大值,=(EC2+C2)=7
6、,因为2(EeF+BC2)=(2CCl)2+(EB)2(4)2+(23)2=28,pEC2+c2i4,所以|C|;3C|J型y8Cf,当且仅当IECI=IBCl取等号,故答案为:a【点睛】关键点点睛:本题考查向量模的最值问题,主要考查转化分析,数形结合分析,属于中档题型,本题的关键是根据根据条件设出定点和动点的坐标,根据数形结合分析,转化为点C位置讨论的问题.例44 .已知等边ABC的边长为2,点尸在线段AC上,若满足尸AP8-2l+l=0的点尸恰有两个,则实数/1的取值范围是.31【答案】24oZ【详解】分析:设QA=MOX2),根据PAPS22+1=0得到关于4的函数,由题意可得该函数在区
7、间口2上有两个不同的零点,然后根据二次函数的相关知识可得实数4的取值范围.详解:如图,设QA=Mox2),则PC=2-冗,则PB=PA+AB=AC+ABy又ACAB=2x2xcos600=2,:,papb=-ac-ac-ab=-ac2-acab=x2-x.2I2)42;满足?4,8-22+1=0的点尸恰有两个,关于X的方程f-2l+l=0在区间0,2上有两个不同的实数根.设f(x)=x2x-2/l+l,则函数/(x)在区间0,2上有两个不同的零点,=l-4(-2+l)0/(0)=-2l0,/(2)=3-20,解得3V%5.0-0jl)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗
8、尼斯圆,简称阿氏圆,在平面直角坐标系中,A(-2,0),8(2,0),点P满足保=3,则点P的轨迹方程为.(答案写成标准方程),R4P8的最小值为./、2【答案】x-+y2=-3【分析】设点P坐标,然后用直接法可求;根据轨迹方程和数量积的坐标表示对EVPB化简,结合轨迹方程可得X的范围,然后可解.【详解】设P点坐标为,),则由黑=3,得WX+2):+:=3,化简得IPSlJ(X2)2+.X2+y2-5x4=0,BP(x-)2+y2=.HPA=(-2-xi-y)yPB=(2-x,-y),x2+y2=5x-4所以PAP4=J2-x)(2-x)+y2=炉+),2_4=5x_8因为点P在圆(x-)2+
9、y2=W上,1X4所以-3A4P812,故PAPB的最小值为-3.故答案为:fx-j+V=,一3(2022江苏高邮一中高二期末)8 .阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆是他的代表成果之一:平面上动点P到两定点A,8的距离之比满足g=r(rO且Zl,f为常数),则P点的轨迹为圆.已知在平面直角坐标系Xoy中,4-3,0),B(3,0),动点P满足钏=2,则P点的轨迹为圆,该圆方程为:过点A的直线交圆于两点CO,且AC=CD,则ICa=.【分析】设尸(,y),根据M=2可得圆的方程,利用垂径定理可求ICQI=2.【详解】设尸(,y),则Y(I+=2,整理得
10、到f+y-o+9=o,&-3丫+9即(x-5)2+r=16.因为AC=8,故C为Ao的中点,过圆心(5,0)作A。的垂线,垂足为M,则M为8的中点,3则IAM =故JT 时=Jl6 *联解得ICDI=2,故答案为:(x-5)2+y2=16,2y9 .阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数M%(U1)的点的轨迹是圆,后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为4,动点尸满足局=6,则动点尸的轨迹所围成的图形的面积为PAPB最大值是.【答案】2;T24+163【分析】以经过A,8的直线为X轴,线段AB的垂直平分线为丁轴,建立直角坐标系,求出阿
11、氏圆方程,可得半径,从而得面积.由P(X,y),利用向量数量积的坐标表示求出PAP8,结合户在圆上可得最大值.【详解】以经过A,8的直线为X轴,线段AB的垂直平分线为丁轴,建立直角坐标系,如图,则A(-2,0),8(2,0),设P(x,y),r=超,:=Gpby(x-2)+y2得:x2+-8x+4=0=(x-4)2+=12,点尸的轨迹为圆(如图),其面积为12笈.PAPB=x2-4+y2=Pi-4f如图当P位于点。时,Iopr最大,|。Pr最大值为(4+2jf=28+l6J,故P8最大值是24+16L故答案为:2g24+163.10 .在平面四边形ABCD中,NMZ)=90,48=2,AD=I.若ABAC+HABC=-CACB,则C8+的最小值为一.32【答案】返2【分析】以A5的中点O为坐标原点,以AB方向为X轴正向,建立如下平面直角坐标系.设C(X,y),根据已知条件可求得C点在以。为圆心,2为半径的圆上,取4(4,0),可得AOBCAOCB-从而有Cg=2C3,因此=;(2C8+C。)=L(Cq+CD),因此只要CB+8最小即可.【详解】如图,以AB的中点。为坐标原点,以43方向为X轴正向,建立如下平面宜角坐标系.设C(X,y),贝J48