《电磁场和电磁波》课后习题解答(第一章).docx

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1、第一章习题解答【习题Ll解】【习题L2解】【习题L3解】(1)要使ALR,则须散度A-B=O所以从Z5=T+3H8c=0可得：3b+8c=l即只要满足3b8c=l就可以使向量二和向量了垂直。(2)要使4|月，则须旋度AxB=O所以从可得b=-3,c=-8【习题14解】A=I2以+9ey+6z,B=CIeX+bey,因为3JLA,所以应有A3=0gj(12久+9ey+ezaex+Z?Gy)=12q+9/?=0(i)又因为同=1;所以病存=1；(2)一4由，解得Q=，=+W【习题1.5解】由矢量积运算规则4_B=A?Caxa2a3=(%Z-+(a3x-axz)ey+(01y-a2x)e7xyz=8

2、名+纥5+BZeZ取一线元：dl=exdx+eydy+ezdz则有dx_dy_dz则矢量线所满足的微分方程为丁二万一=Hyxyz或写成=常数）a2z-a3ya3x-alzay-a2x求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用以下方法d(qx)=(/丁)二d(%z)aia2z-aia3ya2a3x-ala2zala3y-a2aixxdx_ydy_ZdZx(a2z-a3y)ya3x-axz)z(aly-a2x)由（1）（2）式可得d(a2y)=k(a2a3x-aa2z)ydy=k(a3xy-ayz)(4)对分别求和所以矢量线方程为【习题L6解】矢量场A=(xz+x2)e+Sy+孙2)0+z

3、-z1-cxz-2xyz)ez假设A是一个无源场，则应有div=O即：divA=V4=空L+空L+空=Oxyz因为Ax=axz+X2=by+xy1Az=z-z1+cxz-2xyz所以有divA=az+2x+b+2xy+l-2z+c-2xy=X(2+c)z(a-2)+b+l=0得a=2,b=-1,c=-2【习题1.7解】设矢径r的方向与柱面垂直，并且矢径不到柱面的距离相等（r=a）所以，=fds-rds=ads=a2ahSJSJS【习题1.8解】=3x2yiA=X2yzev+3xy2e而rot(A)=Vx(以)=AVA又=巴?十3?+再等=6xyex+3jc2eyox-oyz所以+9x3y2ev

4、-lSx2y3ev+6x3y2zez=3x2y2(9X一X2)ex-9ye+4xzez【习题1.9解】所以&CyCzrotA=VXA=xyzAxAyA(-1+1)&+(4/Z-4xz)e、+(2y-2y)&=6由于场H的旋度处处等于0,所以矢量场A为无旋场。【习题1.10解】令In(x2+y2+z2)=C,x2+y2+z2=ec,产=1+4+9=14因此C=InI4x2y2+z2=14为等值面方程【习题111解】求函数0=3f-V在点M(2,3)处沿曲线y=fT朝X增大一方的方向导数解：=L=6盯1(2,3)=36OX在L取一点(x,y)y=x2-l(x2)沿L的方向的方向余弦为:x2Arx-

5、21COSa=,:=.=r/(x-2)2+(y-3)2x2+4x5因为/t0则(x,y)(2,3)14所以cosa=-T=cos=；=77又因为无二经8Slxcos=-24【习题1.11解2】求函数0=3f-y2在点M(2,3)处沿曲线y=X2一1朝x增大一方的方向导数曲线y在M点沿所取方向的切线斜率为：所以吆丫=4因此，方向余弦为所以所求的方向导数为【习题1.12解】.标量场r.该标量为一个以直角坐标系的O点为球心的球面求切平面的方程1.1.1.该平面的法线向量为=耳4+；万4+；万根据平面的点法式方程，得平面方程为整理，得：+y+z=石【习题1.13解】【习题1.14解】矢量A的方向余旋为

6、满足题意方向导数：【习题L15解】【习题1.16解】所以【习题1.17解】【习题1.18解】（1）证明（A+）=匕导访奈+嫌）（AE+A。+A瓦+A瓦+BZJR瓦）嗓4+氏吗（A,+现+袅4+&）=（也+也+也）+（咽+也+些）GXdyeZ6XdyaZ=V+VB得证(2)V(植)=0g+0旨+工)(血)ox-oyOZ.,xa/八a八=dx-(0A)+e丁(OA)+0，三(。A)xxyyz一二雨-宓*入一/X二d3刀+A壬+vW+A)+eJ-+xox)yoy-z,zArAA.、A,6、二。（箕4+丁4+）+AQX子+济$+济$）oxyOzxoxyyz=va+Av得证【习题L19解】【习题L20解

7、】所以【习题1.21解】【习题1.22解】证明：令则左边二又由题得同理有故等式右边=一故左边=右边，得证【习题1.23解】【习题1.24解】证毕。【习题1.25解】由题意可知：左=V2（U）=V.（Vv）=VakeV0吗xxz=（詈+卜）+久Q空+U务）+6（胃+）】xoxyyozz=V.(Vv+vV/)=/VVv+VVv+vVV+VzVv=V2v+vV2+2V.Vv即证【习题1.26解】解:-=a2sinaxsinyez-=2snaxsinyezxy-sincrxsinyeyz8z4a2+2=2i(a2+2-2)Sinaxsinyez=0；满足拉普拉斯方程。(2)解：在圆柱形坐标中，拉普拉斯算子可表示为:332-n-2(r)=nrcosnrdrdr1 /2-n-2(7)=几rcosnra2=o,a2,H1a/3、1V=(f+rdrdr满足拉普拉斯方程;【习题1.27解】【习题1.28解】【习题1.29解】