2自然摆动单摆的机械能在各惯性系都成立（极坐标处理）.docx

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1、自然摆动单摆的机械能在各惯性系都成立摘要：重新解答了自然摆动的单摆机械能守恒问题,得出了在地面上和相对于地面做匀速运动的小车上,单摆的机械能都守恒的新结论.关健词：单摆；动能；势能；机械能守恒中图分类号：0313.1文献标识码：A在中学物理和大学力学中,单摆摆动过程中的摆锤的运动可以利用重力机械能守恒定律来研究,可是参考文献得出在单摆问题中机械能守恒定律不满足伽利略变换,本文就单摆在摆动过程中的机械能守恒问题作进一步研究.将摆锤质量为加,轻质摆线(摆线质量视为0)长度为L的单摆挂在与地面相固连的摆架上,将摆锤从单摆静止时的竖直下垂位置拉至摆角为o(仇00,90。时自然放手,在忽略各种阻尼时,单

2、摆就做自然摆动So为最大摆角.有一小车在地面(地球质量视为充分大,稳定地保持为惯性系)上以正常数”向右运动.求证：在地面系和小车系上观察,单摆的机械能都守恒.图1自然摆动单摆机械能守恒问通新解解：由于本题假定地球质量充分大，忽略地球能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.在地面上观察时，以单摆的悬挂点。为极点,单摆静止时与摆线重合的射线Oy为极轴,从。到摆锤的矢量r为极径,极轴和极径的夹角。为极角建立平面极坐标系如图1所示.设在地面上观察时,单摆在t=0时刻从最大摆角仇(0(Oo,9O)开始摆动(规定初始时刻的势能为O)J时刻的摆角、速度大小、切向加速度大小、动能、

3、势能、机械能分别为：仇。.反,Ep(f),E(f);在小车上观察时,单摆在t时刻的摆角、速度大小、动能、势能、机械能分别为：ft,vhik(r),E,p(0,EM；在地面上和小车上观察时.都设摆锤的最高点为零势点.则有：dsdL(-9)-LdeV=.drdrdz出=必(OWOWe0.v.n.dvdv-Lddv.n.n7gsn=ma,gsn=a=v,vav=-gLsn()a(),ve v dv=-gL dr-LdOdr-LdSind.yV2=gL(CQS8-COSo).V=2g(cOS-COSeY).-y2gL(CGSe-CoS%)二一/2菅(cos。一COSJo)=-J2号COS。一2%OSJ

4、o。，所以对于一个确定的单摆而言,只要初始状态确定,单摆的摆角是时间t的单值函数,因此我们只需证明任意摆角的机械能相等即可,在本题中是减函数.fk(O=Ekf()=mv J O COSe-CoSeo +COS00 COSeOmgL(cos，-COS 仇)+ 7 f3dcos6=j2gL Jo JCoSe-CoSjO=mgL(cos-cosa)；00EPQ)=Ep,()=-JmgLsind=-mgLJsind=-mgL(COS。一CoS仇)%E(t)=Ek(t)+Ep(t)=,k,()+Ep,()=mgL(cos-cos仇)-mgL(cosO-coso)=O.所以在地面上观察时单摆的机械能守恒,

5、守恒值为0.在地面系设初相为0,v=R,x=RcosZ/y=RSinGf将运动方程作伽利略变换,写出小车系运动方程：X1=X-Ut=RcoswZ-M/y=y=Rsin)-Ld1-Ldnnxv=I-=,dr=(OWeW仇).drdrdrva=a=gsin.ma=ma=mgsin.0-Ep(0=-EipW=J ma i Ck +ttjwa1zzcosdr + Jm usindt=L-Ldevt/。2Sinejmgsin夕(-Ld0+wwgsinOcosO+%okLTngLjsind”+泣j(gcose+2gL(CoS*cos绚出蚓;nXL)。mgLcosi+mugL-(cos+2cos-2cos)

6、/=。I0j2gL(cos6-cos%)zgL(cos6-cos仇)+勤二处2(cos6-cos仇)*+2：弘(CoSO-cosd)2coso=Z3Z31_mgL(CoS。一CoSo)+muy2gL(cos。一CoS仇卢+mu-y2gL(cosJ-cos)2cos行7gL(cos6-cos8o)+muZJCoSe-CoSeo(CoS9-cosd+cos仇)=mgL(cos-coso)+muJ2g(cos-一COSeo)cosE()=Ep,()=-mgL(cos-coso)-muy2gL(cos-cos)cos.Ela)=Ejk+Eip(。=Ejk(J)+Eip(J)=2gL(CoS。一CoSo

7、)+mu2+nuy2gL(cos-cos0)cos。+-mgL(cos。一COSo)-tnuy2gL(cos-cos)COS族yww2(常数).所以在小车上观察时,单摆的机械能守恒,守恒值为mu2.2当U二0时两个坐标系重合,守恒值相等,符合对应原理的要求.M.波恩曾经讲过：“不懂数学语言的人，常对弯曲空间表示愤怒。他说，他能理解空间里某个东西是弯曲的，但要把空间本身想象成是弯曲的则纯属胡玲。”说明：文献口和2都认为拉力F对于小球做功,造成机械能不守恒,这种观点是错误的.通过木文可以看出在单摆问题中绳子的拉力是一个保守力，可以同时改变摆锤的动能和势能,但是不改变摆锤的机械能,与直接计算重力机械

8、能得出的结果一致.狄拉克认为：必须只运用美丽的数学，才可以建立有效和相关的物理理论。数学的美丽是区分有希望的理论和混乱的死胡同最重要的单一结构。在小车系摆锤在最低点的动能和势能分别为：EIka)=E)-n(v+u)2=m(v2+u2+2uv)=nr2+mu2+muv=2222mgL(1-cos仇)+tnu2+mu42gLQ-CoSeO)Ep(t)=-mu-j2gL(lCGSeO)Ep(t)=Ep,()=TMgL(CoSO-COSj-nu,2gL(cos。一COSVO)COSo=-mgL(-coso)-tni42(l-cos)与地面系的结果不同,当=0时与地面系一致,符合对应原理的要求.Ei)=

9、-%)=EMff)+Ep,()=ZngL(I-CoS仇)+；mu2+muj2gL(I-COSeO)-mgL(-cos仇)一mu-,2gL(I-COSe)=；?(常数).因此摆锤在最低点的势能不再相等,因为势能的零点发生了变化.在上面的单摆问题中势能包括重力势能,不是严格意义上的重力势能,因为质点受到的合力不等于重力.当观察者相对于单摆静止时,利用重力机械能守恒定律得出的结果等效；当观察者相对于单摆的悬挂点匀速运动时,直接利用重力机械能守恒定律是错误的,应该利用保守力所做的功等于势能的减少来计算.在小车系看来,摆线的拉力并不始终与位移垂直,摆线的拉力也做功,同时改变了摆锤的动能和势能,不改变摆锤

10、的机械能,机械能守恒定律中的保守力应该是保守力的合力,考虑了势能就不能再计算保守力的功了，本题中如果按照重力机械能计算显然不满足力学相对性原理2叫本文的处理方法与文献口2完全相同.文献13证明了所有的惯性力都是保守力，因此当小车变速运动时测量摆锤的机械能依然守恒.在单摆问题中，是一个完整、理想、双侧束的质点，约束力不改变质点的机械能；考虑摆线质量，是具有完整、理想、双侧束的质点系，约束力也不改变系统的机械能口4.参考文献：1 .肖士绚.理论力学简明教程.北京：高等教育出版社,1983年10月.2 .蔡伯源.关于力学相对性原理与机械能守恒综述J.大学物理，1994,(13)1:2022.3 .何

11、红雨.机械能守恒定律与惯性参照系的选择J.广西物理，1997,(18)3：2729.4 .金若兴.机械能守恒定律的条件.物理教学，1985年1月：1314.5 .熊秉衡.在不同惯性系中的机械能守恒定律.物理通报，1964(6):261264.6 .施肖铮.在不同惯性系中的机械能守恒定律，常州信息职业学院学报，第1卷第2期,2002年12月：6567.7 .熊汞衡.“在不同惯性系中的机械能守恒定律”一文的更正与补充.物理通报，1965(3):116117.8 .李伟铎.对“重力机械能守恒定律在各惯性系都成立”的商榷.物理通报(增刊1),2016(5):110-112,115.9 .王开放.机械能

12、守恒定律的条件.开封教育学院学报,2003,23(4)：3839.10 .刘瑞金.有关机械能及其守恒律的研究评述.淄博师专学报，1995(12)：2226.11 .易双萍.不同惯性系中的力学规律.工科物理(现名：物理与工程)，1998年第8卷第5期：1822.12 .张翠.斜面上下滑滑块机械能守恒问港新解.物理通报，2016(9)：115117.13李学生.力的保守性具有伽利略变换的不变性.魅力中国，2020年9月：318319.14李学生,匀速圆周运动中的机械能守恒问题,论证与研究，2020年第8期：9.http:WWWThemechanicalenergyofanaturalpendulu

13、mcanbefoundineachinertialsystemAbstract：Itrefurbishedtheissueofmechanicalenergyconservationofanaturalswingingsinglependulum,whichstraightforwardlyledtoconclusion,nomatterwetakereferenceframeoftheearthitselforthecartmovinginuniformspeedtotheearth,themechanicalenergyofanaturalswingingsinglependulumisalwaysconservative.Keywords：thesinglependulum；kineticenergy；potentialenergy；conservationofmechanicalenergy