数值分析习题.docx

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1、第一章绪论习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比拟选择、误差和误差限的计算。1假设误差限为0.5x10那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）2万=3.14159具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）3=1.2031,6=0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问。+人，力有几位有效数字？（有效数字的计算）4设x0,X的相对误差为5,求InX的误差和相对误差？（误差的计算）5测得某圆柱体高度的值为力=20Cvn,底面半径的值为=5cvn,I力一0.2c机，r-r40cmf求圆柱体体积U=的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）6设工的相对误差为。,求y=

2、/的相对误差。（函数误差的计算）7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%,问度量半径厂时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）18设/“=/JXZdV,求证：0二1-MT（=0,1,2）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比拟选择）第二章插值法习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。1 /(-1)=2,/(1)=1,/(2)=1,求/(%)的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值)2 y=,0=4,x1=9,用线性插值求行的近似值。(拉格朗日线性插值)3假设勺(=(),.)为互异

3、节点，且有J(xj-)U;TI)(Xj-M-Xj+).(xz-Xj试证明S3(x)三/(2=0,1,.)。(拉格朗日插值基函数的性质)J=O4sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,ffl抛物线插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值)TFTT5用余弦函数COSX在/=O,X1=-,%=5三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式，并近似计算CoSl及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比拟。(拉格朗日二次插值)66函数值/(0)=6,/(1)=10,/(3)=46,/(4)=82,/(6)=212,求函

4、数的四阶均差/0,1,3,4,6和二阶均差/4,1,3。(均差的计算)7设/(x)=(x-x0)(x-xi)(-xzj)求/x0x1xp之值，其中pn+,而节点xi(i=0,1,+D互异。(均差的计算)8如下函数值表X0124f()19233建立不超过三次的牛顿插值多项式。(牛顿插值多项式的构造)9求一个次数小于等于三次多项式M%)，满足如下插值条件：P=2,p(2)=4,p(2)=3,p(3)=12o(插值多项式的构造)10构造一个三次多项式H(X),使它满足条件H(O)=1,H(I)=0,H(2)=l,Hf(l)=K埃尔米特插值)。311设/(乃=/,/=1/4当=l,x2=9/4。试求/

5、*)在1/4,9/4上的三次埃尔米特插值多项式H(x),使得”(乙)=/(勺),/=0,1,2,”(为)=/区)，”(x)以升累形式给出。写出余项R(X)=/(外一”(X)的表达式。(埃尔米特插值及其余项的计算)。12假设f(x)W。2侬勿J()=fS)=O,试证明：max/(x)-(Z?-)2max(x)1插值余项的应用)axb8flxb13设/(-2)=-1,/(0)=Lf=2,求P(X)使p(xi)=/(x,)(z=0,1,2)；又设|/X)I，那么估计余项x)=f(X)-P(X)的大小。(插值误差的估计)第三章函数逼近习题主要考察点：最小二乘法，最正确平方逼近，正交多项式的构造。1设/

6、(x)=sinr,求/(X)于0,1上的线性最正确平方逼近多项式。最正确平方逼近)2令f(x)=ex,-IXlf且设P(X)=4+%x,求%,a使得P(X)为f(x)于-1,1上的最正确平方逼近多项式。(最正确平方逼近)3证明：切比雪夫多项式序列Tk(x)=CoS(Aarccosx)在区间-1,1上带权P(X)=T=正交。(正交多项式的证明)l-x2xi+x2=34求矛盾方程组：,玉+2/=4的最小二乘解。(最小二乘法)XlT2=25一组试验数据422.53455.5yk44.5688.59试用直线拟合这组数据.(计算过程保存3位小数)。最小二乘线性逼近)6用最小二乘原理求一个形如y=a+bx

7、2的经验公式,使与以下数据相拟合。Xk1925313844九1932.34973.397.8(最小二乘二次逼近)第四章数值积分习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式梯开九辛甫生公式，复化求积的计算，高斯公式的构造。1给定求积公式J：J(X)公。4(-力)+打(0)+1。(雅可比迭代法的收敛性)遮223用雅可比、富斯-塞德尔迭代法，求解方程组X1+2x2-3b=0.31J|_2_(1)试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。(2)假设有迭代公式*d=x+(A幻+。)，试确定a的取值范围，使该迭代公式收敛。(雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论

8、)6给出矩阵A=I1为实数)，试分别求出。的取值范围：la1J(1)使得用雅可比迭代法解方程组AX二8时收敛；(2)使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组AX=时收敛。(雅可比、高斯-塞德尔迭代法及收敛性讨论)2117设A=,b=12J|_2_设3幻是由雅可比迭代求解方程组Ar二人所产生的迭代向量，且)=(Ll)L试写出计算2幻的精确表达式。(2)设X*是Ar=的精确解，写出误差Ika)-XHoO的精确表达式。(3)如构造如下的迭代公式XaT=X+g(A幻一加解方程组AX=从试确定&的范围，使迭代收敛。1雅可比迭代及其收敛判断)x1+2x2-2x3=18对于给定的线性方程组1x1+x2+x3=22x1+2x2+x3=3（1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。（2）对收敛的方法，取初值）=（1,O,O）T,迭代两次，求出X,工，x。（雅可比,高斯-塞德尔迭代法的计算和比拟）9证明对称矩阵1aaA=a1aaa1当一Lvi为正定矩阵，且只有当一l为方程的根）。（2）此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。（3）取与=4用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过IO-，,列出各次迭代值。（和收敛性讨论）4设=e(x),max(x)=4v1,