排列组合题型分析还有21种常用方法的整理.docx

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1、表示).解：分二步：首尾必须播放公益广告的有Az?种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22A4，=48.从而应填48.(3)对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要“完成什么样的事件”是前提。三.基此题型及方法：1.相邻问题(1)、全相邻问题，捆邦法例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有(C)种。A)720B)360C)240D)120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。(2)、全不相邻问题，插空法排列组合应用题的类型及解题策略一.处理排列组合应用题的

2、一般步骤为：明确要完成的是一件什么事(审题)有序还是无序分步还是分类。二.处理排列组合应用题的规律(1) 两种思路：直接法，间接法。(2) 两种途径：元素分析法，位置分析法。解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。例1.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，那么共有种不同的播放方式(结果用数值将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。(3) .不全相邻排除法，

3、排除处理例5.五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻,有多少排法？解：耳-或3A我A；=72例6.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是2、顺序一定，除法处理或分类法。例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（）（用数字作答）。解：5面旗全排列有8种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有4=10例8,某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完例3、要

4、排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6!,这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为四用种例4高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是（八）1800(B)3600(C)4320(D)5040解：不同排法的种数为M&=3600,应选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先例IL设集合/=1

5、23,4,5。选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数，那么不同的选择方法共有A.50种B.49种C.48种D.47种总计有49种,选B.例12将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，那么不同的放球方法有AA.10种B.20种C.36种D.52种说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。5、交叉问题，集合法（二元否认问题，依次分类）。例13、从6名运发动中选出4名参加4X100米接力赛,如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？252成后才能进行，有工程丁

6、必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是o（用数字作答）解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有&+5x8=30种不同排法。解二：*30例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（）A）210个B）300个C）464个D）600个解：g&6=300应选（B）4、多元问题，分类法例10.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个遥远地区支教（每地1人）,其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,那么不同的选派方案共有种共有600种不同的选派方案.第一个出场，另一名歌手不最

7、后一个出场，不同排法的总数是.（用数字作答）。（答：78种）说明：某些排列组合问题几局部之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。6、多排问题，单排法例17、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，假设8名学生入座（每人一座位），那么不同的座法为A）B4或C）反&D）履解：此题分两排座可以看成是一排座，故有履种座法。选（D）说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。7、至少问题，分类法或间接法（排除处理）例18.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，假设这3人中至少有1名女生，那么选派方例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六

8、门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。(1)假设第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？(2)假设要求数学、物理、化学不能排在一起(上午第四节与下午第一节不算连排)，一共有多少种不同的排课方法？例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，那么四张贺年卡不同的分配方式有(B)A)6种B)9种C)11种D)23种说明：求解二元否认问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。例16、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不（八）3O种(B)9O种(C)18O种(D)27O种说明：含“至多”或“至少”的

9、排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况。8、局部符合条件淘汰法例2L四面体的顶点各棱中点共有IO个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有(D)A)150种B)147种C)144种D)141种解：10个点取4个点共有种取法，其中面ABC内的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有6个，又各棱中点共6个点，有四点共面的平面有3个，故符合条件不共面的平面有C1-4C-6-3=141案共有（八）108种（B）186种（C）216种（D）270种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有-田二186种，选B.例19.5名乒乓球队员中,有2名

10、老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,那么入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有种.（以数作答）【解析】两老一新时，有用=12种排法；两新一老时,有CcXA；=36种排法,即共有48种排法.【点评】此题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.例20将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，那么不同的分配方案有B分配问题：随机分配，先组后排。定额分配，组合处理;例23。有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。上述问题各有多少种不同的分法？（1）此题是定

11、额分配问题，先让甲选，有C；种；再让乙选，有亡种；剩下的给丙,有c：种，共有c；CM:种不同的分法（2）此题是随机分配问题：先将9本书分成2本，3本，4本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有C；G.C：.&种不同的分法。例24：对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，假设所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，那么这样的测试方法有多少种可能？解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有C种方法，前4次中应有1件正品、3件次品，有爆亡种，前4次测试中的顺序有A：种，由分步计数原理即得：U（C值）A：=576o【评述】此题涉及一类重要

12、问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列说明：在选取总数中，只有一局部符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求Q9.分组问题与分配问题分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理例22。有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组;（2）将其分成三组，每组个数2,3,40上述问题各有多少种不同的分法？分析：（1）此题属于分组问题：先取3个为第一组，有C；种分法，再取3个不第二组，有屐种分法，剩下3个为第三组，有C；种分法，由于三组之间没有顺序，故有坐G种分法。（2）同（1）,共有C；CC:种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以国。练习：12个学生平

13、均分成3组，参加制作航空模型活动,3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？）分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三局部的球数分别为X.y.z之值（如图）OOOOOOOOOO那么隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为C；=36个。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明：技巧一：添加球数用隔板法。例27.求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。分析：注意到X、y、Z可以为零，故上题解法中的限定“每空

14、至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各一个球。这样原问题就转化练习：1。3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级,假设每人教2个班，有多少种分配方法？C-C；C；=902.将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？。2困例25某外商方案在四个候选城市投资3个不同的工程，且在同一个城市投资的工程不超过2个,那么该外商不同的投资方案有（）A.16种B.36种C.42种D.60种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个工程、2个工程，此时有GM=36,二是在在两个城市分别投资1,1,1个工程，此时有A”24,共有应选（

15、D）10,隔板法：隔板法及其应用技巧在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。见下例：例26o求方程x+y+z=10的正整数解的个数。（即：10【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、例26中的典型问题。技巧三：先后插入用隔板法。例29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，那么不同的排列方法有多少种？分析：记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例26知有C；种方法。这一步完成后就有5个节目了。再考虑需参加的B节目前后的节目数，同上理知有煤种方法。故由乘法原理知，共有CC：=30种方法。11.数字问题（组成无重复数字的整数）能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。为求xyz三13的正整数解的个数了，故解的个数为个二66个。【小结】本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型的隔板法问题。技巧二：减少球数用隔板法。例28.将20个