排列组合知识点与方法归纳.docx

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1、排列组合一、知识网络娟 合建列与窗台组合敷公式与应用娟合应用&捧列 与蛆 合埠 创可搏列应用fi拉列数公式与应用二、高考考点1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）三、知识要点一.分类计数原理与分步计算原理1分类计算原理（加法原理）：完成一件事，有n类方法，在第一类方法中有m种不同的方法，在第二类方法中有皿种不同的方法，在第n类方法中有叫种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m”种不同的方法。2分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需

2、要分成n个步骤，做第1步有皿种不同的方法，做第2步有叱种不同的方法，,做第n步有明种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2XX如种不同的方法。3、认知：上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加法原理的要害是分类：将完成件事的方法分成假设干类，并且各类方法以及各类方法中的各种方法相互独立，运用任何一类方法的任何一种方法均可独立完成这件事；乘法原理的要害是分步：将完成一件事分为假设干步骤进行，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成（在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完成这件事）。一二.排列1定义（1）从n个不同元

3、素中取出mmn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。（2）从n个不同元素中取出mm11）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记为47.2排列数的公式与性质(1)排列数的公式：埋=n(n-l)(n-2)(n-m+l)=(-特例：当m=n时，A=n!=n(n-l)(n-2)321规定：O!=1(2)排列数的性质：(I)Ar=-TZn(排列数上标、下标同时减1(或加1)后与原排列数的联系)Ar-A*1A(II)f双n-mZ排列数上标加I或下标减I后与原排列数的联系)(in)Ar展婚+4(分解或合并的依据)三.组合1定义(1)从n个不

4、同元素中取出明(ES小个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)从n个不同元素中取出用(用SM个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号G表示。2组合数的公式与性质QM_S=.(冏一1)(用-2)(.一+1)(1)组合数公式：加！(乘积表示)C=-r-ntm十二且En)ZM)m(-m(阶乘表示)特例：/=G=I(2)组合数的主要性质：(1)C：=C：F(上标变换公式)(idc*+cl(杨辉恒等式)认知：上述恒等式左边两组合数的下标相同，而上标为相邻自然数；合二为一后的右边组合数下标等于左边组合数下标加1,而上标取左边两组合数上标的较大者。3比

5、拟与鉴别由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。(1)排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。(2)注意到获得(一个)排列历经“获得(一个)组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系:四、经典例题例1、某人方案使用不超过500元的资金购置单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁

6、盘至少买2盒，那么不同的选购方式是()A.5种B.6种C.7种D.8种分析：依题意“软件至少买3片，磁盘至少买2盒”，而购得3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，只需讨论剩下的180元如何使用的问题。解：注意到购置3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购置软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法；第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法；第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；于是由分类计数原理可知，共有N=l+l+2+3=7种不同购置方法,应

7、选C。例2、集合M=T,0,1,N=3,4,5,映射/MfN,当M时，刀+/0)+引”)为奇数，那么这样的映射/的个数是()A.20B.18C.32D.24分析：由映射定义知，当xl时，/0)WN当xM时，这里的X可以是奇数也可以是偶数，但工十”乃.让乃必须为奇数，因此，对M中X的对应情况逐一分析，分步考察：第一步，考察X=T的象，当X=T时，x+fS)+MW=T(T)(T)(7)=T,此时/(T)可取N中任一数值，即M中的元素T与N中的元素有4种对应方法；第二步，考察x=0的象，当x=0时，X+“X)+球口)=/()为奇数，故只有2种取法(,()=3或/()=5),即M中的元素。与N中的元素

8、有2种对应方法；第三步，考察x=l的象，当x=l时，+W+W=i+2(i)为奇数，故/可为奇数也可为偶数，/可取N中任一数值，即M中的元素1与N中的元素有4种对应方法，于是由分步计数原理可知，映射,共有4X2X4=32个。例3、屋中有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法？解：根据题意，有相邻边的小三角形颜色不同，但“对角”的两个小三角形可以是相同颜色，于是考虑以对角的小三角形1、4同色与不同色为标准分为两类，进而在每一类中分步计算。第一类：1与4同色,那么1与4有5种涂法,2有4种涂法

9、,3有4种涂法，故此时有N=54X4=80种不同涂法。第二类：1与4不同色，那么1有5种涂法，4有4种涂法，2有3种涂法，3有3种涂法，故此时有N2=5X4X3X3=180种不同涂法。综上可知，不同的涂法共有80+180=260种。点评：欲不重不漏地分类，需要选定一个适当的分类标准，一般地，根据所给问题的具体情况，或是从某一位置的特定要求入手分类，或是从某一元素的特定要求入手分类，或是从问题中某一事物符合条件的情形入手分类，或是从问题中有关事物的相对关系入手分类等等。例4、将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，那么每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A.

10、6种B.9种C.11种D.23种解法一（采用“分步”方法）：完成这件事分三个步骤。第一步：任取一个数字，按规定填入方格，有3种不同填法；第二步：取与填入数字的格子编号相同的数字，按规定填入方格，仍有3种不同填法；第三步：将剩下的两个数字按规定填入两个格子，只有1种填法；于是，由分步计数原理得，共有N=3X31=9种不同填法。解法二：（采用“列举”方法）：从编号为1的方格内的填数入手进行分类。第一类：编号为1的方格内填数字2,共有3种不同填法：241321432341第二类：编号1的方格内填数字3,也有3种不同填法：I314234123421第三类：编号为1的方格内填数字4,仍有3种不同填法：4

11、12343124321于是由分类计数原理得共有23+3+3=9种不同填法，应选B解法三（间接法）：将上述4个数字填入4个方格，每格填一个数，共有N=4X3X2X1=24种不同填法，其中不合条件的是（1）4个数字与4个格子的编号均相同的填法有1科、（2）恰有两个数字与格子编号相同的填法有6种；（3）恰有1个数字与格子编号相同的填法有8种；因此，有数字与格子编号相同的填法共有N2=l+6+8=15种于是可知，符合条件的填法为24-15二9种。点评：解题步骤的设计原那么上任意，但不同的设计招致计算的繁简程度不同，一般地，人们总是优先考虑特殊元素的安置或特殊位置的安排，以减少问题的头绪或悬念。当正面考

12、虑头绪较多时，可考虑运用间接法计算：不考虑限制条件的方法种数一不符合条件的方法种数二符合条件的方法种数。在这里，直接法中的“分析”与间接法主体的“分类”，恰恰向人们展示了“分步”与“分类”相互依存、相互联系的辩证关系。例5、用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字4位数，其中，必含数字2和3,并且2和3不相邻的四位数有多少个？解：注意到这里“0”的特殊性，故分两类来讨论。第一类：不含“0”的符合条件的四位数，首先从1,4,5这三个数字中任选两个作排列有名种；进而将2和3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，又有“；种排法，于是由分步计数原理可知，不含。且符合条件的四位数共有4；4.36个

13、。第二类：含有“0”的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法”：首先从1,4,5这三个数字中任选一个，而后与0,2,3进行全排列，这样的排列共有舄父个。其中，有如下三种情况不合题意，应当排险：(1)0在首位的，有4城个；(2)0在百位或十位，但2与3相邻的，有2川另个(3) 0在个位的，但2与3相邻的，有42片个因此，含有O的符合条件的四位数共有濡+4年母)=30个于是可知，符合条件的四位数共有36+30=66个点评：解决元素不相邻的排列问题，一般采用“插空法”，即先将符合条件的局部元素排好，再将有“不相邻”要求的元素插空放入；解决元素相邻的排列问题，一般采用“捆绑法”，

14、即先将要求相邻的元素“捆绑”在一起，作为一个大元素与其它元素进行排列，进而再考虑大元素内部之间的排列问题。例6、某人在打靶时射击8枪，命中4枪，假设命中的4枪有且只有3枪是连续命中的，那么该人射击的8枪，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有()A.720种B.480种C.24种D.20种分析：首先，对未命中的4枪进行排列，它们形成5个空挡，注意到未命中的4枪“地位平等”，故只有一种排法，其次，将连中的3枪视为一个元素，与命中的另一枪从前面5个空格中选2个排进去,有另种排法，于是由乘法原理知，不同的报告结果菜有1母-20种点评：这里的情形与前面不同，按照问题的实际情况理解，未命中的4枪“地位平等”，连续命中的3枪亦“地位平等”。因此，第一步排法只有一种，第二步的排法种数也不再乘以国.解决此类“相同元素”的排列问题，切忌照搬计算相同元素的排列种数的方法，请读者引起注意。例7、(1)CX闵FCC；(2)假设。言.端+4/7,那么n=；(3)29I2+%+c124(2)运用杨辉恒等式，等式=C普NCL2+C?=CLHCL-c；=CL+匾,+cI=CLC：=M-切-40(*2.且e)=刀4所求n=4。根据杨辉恒等式G=CAcl原式=2C+U)+7(C：+CJ)+5(C;