1双星运行轨道的研究.docx

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1、双星运行轨道的研究摘要：文幸首先把双星运动看做二体问题，研究以一个星体为参照系，另一个星体的轨迹为圆锥曲线，以系统的质心为参照系，每一个星体的轨迹也是圆锥曲线，然后提出了行星与恒星之间也是双星现象，地球与月球之间也是双星现象，解释了困扰物理学与天文学多年的行星运行轨道的共面性、公转的同向性的难邈，指出了研究行星运行轨道时惯性质量应当用折合质量计算。关健词：双星现象：折合质量；行星运行轨道的共面性：行星公转的同向性；万有引力定律的平权性.1.问题的提出自1650年发现了第一颗双星CUMa到18世纪中期，偶然发现了约数十颗双星，引起了许多天文学家的注意。在18世纪末期，Herschel对双星进行了

2、大量的观测研究，并在此基础上先后给出了第一和第二双星星表。当时人们普遍认为这些双星是相互之间的没有物理关联的光学双星，但早在1767年，UiCheu就提出了存在相互间有某种物理联系的双星，即所谓物理双星。1803年，HerSChel认同了该观点，并且认为他所观测到的双星有些就是物理双星。此后，对双星的研究越来越多，被证认的物理双星系统的数目也不断增加，并出现了许多不同的双星星表。同时，对双星系统的轨道研究也逐步展开。近年来，随着高精度观测资料的快速积累，双星轨道拟合业已成为天体测量和天体力学的一个共同的热点课题，有关研究有了长足的进展，同时也促进了天体物理相应领域的发展。开普勒定律是关于行星环

3、绕太阳的运动，而牛顿定律更广义的是关于几个粒子因万有引力相互吸引而产生的运动。在只有两个粒子，其中一个粒子超轻于另外一个粒子，这些特别状况下，轻的粒子会环绕重的粒子移动，就好似行星根据开普勒定律环绕太阳的移动。然而牛顿定律还容许其它解答，行星轨道可以呈抛物线运动或双曲线运动。这是开普勒定律无法预测到的。在一个粒子并不超轻于另外一个粒子的状况下，依照广义二体问题的解答，每一个粒子环绕它们的共同质心移动。这也是开普勒定律无法预测到的。物理双星运动属于二体问题，早在1687年牛顿发现万有引力定律后不久，似乎已经彻底解决，但是现代物理学教材中一般只是指明双星围绕系统的质心旋转，没有说明如果以一个星体为

4、参照系，另一个星体轨迹的形状。现代天文学中双星轨道拟合业已成为天体测量和天体力学的一个共同的热点课题，有关研究有了长足的进展，同时也促进了天体物理相应领域的发展。在二体问题中，由于两个物体都不是惯性系，如果以一个物体为参照系，另一个物体的惯性质量必须用它们的折合质量（约化质量）代替，其中m和M分别为两个物体的M+m质量，这样在非惯性系中就可以利用牛顿第二定律了，万有引力的计算中只能利用物体的实际质量，因此在双星现象中，如果以其中一个星体为参照系，利用折合质量代替另一个星体的惯性质量C此时只所以出现引力质量不等于惯性质量的假象，是由于这个变换不是伽利略变换，力不再是不变的，由于假设力是不变量，才

5、导致出现出现这样的问题，这样计算是一种等效计算方法。文献没有注意到从地面系到质心参照系的变换不是伽利略变换，才得出引力质量与惯性质量不相等的错误。2.运行轨道的计算我们设星体A和星体B两个星体的质量分别为M和m,星体A中心所在位置为复平面之原点0,在时刻I,星体B位于ZQ）=W（1）所表示的点p。这里r=f）,e=6Q）均是t的函数，分别表示Z）的模和辐角。于是星体B的速度为dt dt,其加速度为d，Z（屋rM2屋。I.drdO（2）,而星体A对星体B的引力依万有引力定律,dreJ/2r（dt）j+drcltdt）mMGimMGe大小为笑V,方向由星体B位置P指向星体A的中心O,故为rO依Ne

6、WtOnmMGifftnMd2ZC-第二定律，得到M+团#（3）,将（2）代入（3）,然后比较实部和虚部，有A2如幽dt2 dt dt=O（4, 5）,这是两个未知函数的二阶微分方程组。在确定某一星体B轨道时，需要加上定解条件。我们设当E=O时，星体B正处于与星体A距离最远的位置，而此时位于正实轴上，距原点。为“，星体B的线速度为%,那么就有初始条件:%一 % 为 0=0- =oo=r=o-L=o 相比如力曲一出 r I x问题（4）（9）就是星体B绕星体A运行的轨迹的数学模型。将式（4）乘以r,即得d_f 2ddtr dt)0,从而/变=g（常数）dt(10)其中G=彳）%。这样，有向线段O

7、P在时间Af内扫过的面积等于(11)+z12de-GAf-rdt=-一J2dt2显然，这正是开普勒第二定律：从星体A指向星体B的线段在单位时间内扫过的面积相等。将式（10）改写后代入式（5）得d2r C12 (M+m)G dt2 ri r2于是我们得到了星体B运动的形式较为简单的数学模型:(M+m)G(12-16)此_n=万Tr二dC1=-rdir24=o=箝=。9L=o=为求得星体B的轨迹方程，要消去变量看,令,=，那么式（13）可以写为=C1W2(17),从而1du_1d”d6_dudtdtdtddidd2rd(duCd2ud-22d%犷=济EJ=-G/帮=Y存将上式代入式（12）,简化后

8、为d2u（18）,其中，c：。式（18）是一初pP（M+m）G1个二阶常系数非齐次微分方程，引进4二4一一，P立即可以求出一=ACOs（夕一耳），这里A和%是待定的常数。记e=Ap,P上式可写为r_P（19）,这就是星体B的轨道方程，是一条平面二1+ecos-%）次曲线。由于星体B绕星体A运行，故必有OevL这样我们得到了开普勒第一定律:星体B的轨道是以星体A为一个焦点的椭圆。由于在f=0时取到最大值W（星体B与星体A距离最远的点），而6=0,这意味着此时函数cos（-6）取到最小值-1,于是就有%=7，e=l-,从而星体B轨迹的方程为r=-。1-ecos。从上面的推导可以看出在双星现象中由于

9、以其中一个星体为参照系另一个星体的轨迹都是圆锥曲线，所以两个星体的轨道共面。3 ,星体运行速度的计算设星体B的运行周期为T,那么利用开普勒第二定律即式（11）,我们有J%Gr（2。）jo2dt2,上式左端为星体B轨迹椭圆所围的面积，记为S,由于椭圆的半长轴Q=上方，l-e22半短轴。=从而有S=Trab=,将上式代入式（20）,解得E（1一再T_2加（21）G（I-4由于星体B的运行满足开普勒第二定律即式（11）,而该式可改写为r1d=Ct-（22）,从而可得心P2m（23）一（产如果我们要求t=Tx时相应的。和广，则意味着首先要解方程尸二印(24),其中一M(jcose)2叱在求出了.=看时

10、的e=)P2后，立即可以由式(19)得到相应的r，再用式(13)求出此时星体B的角速度继而得到线速度。4 .以双星系统的质心为参照系在忽略了其他对于双星的作用时，只考虑双星构成的孤立系统，则质心将做匀速直线运动或静止。星体B为P,星体A为S,质量分别是m和M,质心在C点，星体B距质心为】，星体A距质心为与,相距为r,如图所示。Ad2r,mk2rYYl=可将质心看作惯性系。在惯性系中，对于星体B应用牛顿第二定律有：力2产，d2nmk2rm-7-=y-变形有dr储+3)-，应用质心的定义，上式还可以变形为d2rk2tnM21rfn=99dr(M+m)-r(25),所以星体B绕质心做圆锥曲线运动。同

11、理，可以推导出星体A也绕质心做圆锥曲线运动。(注：上面的推导也可以利用折合力，在此从略)各星体都可当做一个电中性的粒子。两个星体的封闭系统间相互引力与彼此旋转运动，按引力与离心力平衡，两者必在此确定平面上围绕它们的质量中心彼此旋转运动。两个星体各自质量中心的距离设为：r(2)l线矢=rjl基矢+n2基矢,有：r(2)12r22,满足:(r1/r(2)2+(r2r(2)2=1,令：rr(2)=xa,r2r(2)=yb,即表明是椭圆：(xa)2+(yb)2=1,设：a为长轴，b为短轴，两粒子(星体)分别处于X轴两端时，即可由质量中心的关系式得到：其长轴/短轴;其小质量/大质量。几年来部分高考题开始

12、研究双星问题，由于中学生的数学水平有限，为了简化问题，把圆锥曲线运动简化为匀速圆周运动，文献7进一步研究了地月双星系统，其实地太系统严格讲也是双星系统，只是由于它们质量差别太大，把太阳按照恒星计算比较简单。5 .天文学中的应用5.1 重新认识日心说和地心说物理学是研究物质的结构和物质运动即机械运动、热运动、电磁运动和微观运动的科学。物理学家们在探索自然界的物质结构和物质运动形式过程中，提出了简单性原理,在物理学研究的过程中起到了非常重要的作用，极大的推动了物理学发展。创立物理学经典时空观的主要代表人物是波兰天文学家哥白尼、意大利数学家和力学家伽利略以及英国物理学家、数学家和天文学家牛顿。而牛顿

13、的绝对时空观是经典时空观的集中反映。是将对宇宙的认识由“太阳中心说”代替了“地球中心说”。理论上的这一变更，从物理学中运动学的角度说，不过是对太阳系内行星运动描写时，参照系的一个变更（将参照系由地球移向了太阳），从而对太阳系内行星运动的描写极为简单。按哥白尼的描述，各行星均绕太阳沿不同的圆形轨道运动。摆脱了“地心说”中“均轮”、“本轮”那一套复杂的描述。所以只从运动学角度，还看不出“日心说”比“地心说”本质上的优越性。“日心说”显示了以太阳为惯性系描述太阳系内行星运动的优越性，从而展现了宇宙的这一层次太阳系结构的本来面目，也为牛顿在动力学方面的研究（万有引力定律及牛顿定律的发现）铺平了道路。所

14、以，从物理学的动力学角度说，“日心说”比“地心说”有本质上的区别。“日心说”的缺点是：仍然是宇宙中心论。并承认太阳的绝对静止；行星运动仍沿用了圆形轨道的说法；限于当时的观测及认识，认为恒星不动。哥白尼是将对宇宙的认识由“太阳中心说”代替了“地球中心说”。理论上的这一变更，从物理学中运动学的角度说，不过是对太阳系内行星运动描写时，参照系的一个变更（将参照系由地球移向了太阳），从而对太阳系内行星运动的描写极为简单。按哥白尼的描述，各行星均绕太阳沿不同的圆形轨道运动。摆脱了“地心说”中“均轮”、“本轮”那一套复杂的描述。所以只从运动学角度，还看不出“日心说”比“地心说”本质上的优越性。爱因斯坦在我的

15、自述中提出科学法则的客观标准：任何理论，必须符合逻辑法则，必须符合经验事实。“日心说”显示了以太阳为惯性系描述太阳系内行星运动的优越性，从而展现了宇宙的这一层次一一太阳系结构的本来面目，也为牛顿在动力学方面的研究（万有引力定律及牛顿定律的发现）铺平了道路。所以，从物理学的动力学角度说，“日心说”比“地心说”有本质上的区别。“日心说”的缺点是：仍然是宇宙中心论。并承认太阳的绝对静止；行星运动仍沿用了圆形轨道的说法；限于当时的观测及认识，认为恒星不动。最先受影响的哥白尼总结前人的观测资料提出日心说，结束了神学统治的地心说，解放了人们的思想，科学解释自然规律的思想深入人心。紧接着开普勒从简单性出发，结合弟谷多年积累的观测资料，提出了开普勒三大定律，将抽象的日心说理论利用数学语言表达的形象具体。牛顿认为：“除那些真实而已足够说明其现象者外，不必去寻求自然界事物的其他原因。因此哲学家说，自然界不作