几何概型的经典题型与答案解析.docx

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1、几何概型的常见题型及典例分析一.几何概型的定义1 .定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.2 .特点:(1)无限性,即一次试验中,所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;(2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性均相等.、十篁八中尸(八)二构成事件4的区域长度(面积或体积),试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).说明:用几何概率公式计算概率时,关键是构造出随机事件所对应的几何图形,并对几何图形进行度量.4.古典概型和几何概型的区别和联系:(1)联系:每个基本事件发生的都是等可能的.(2)区别:古典概型

2、的基本事件是有限的,几何概型的基本事件是无限的;两种概型的概率计算公式的含义不同.二.常见题型(一)、与长度有关的几何概型例1、在区间上随机取一个数X,CoS巴的值介于O到L之间的概22率为().解:在区间上随机取一个数X,即xT,l时,要使COSg的值介于r2t1-1Af/+TtTCXTC_P,Tt冗XTC0到一之间,需使-一一-一或一一-2223322777Tx-W或xl,区间长度为,333由几何概型知使COSR的值介于0到-之间的概率为P=符合条件的区间长度二屋.故选A.所有结果构成的区间长度23例2、如图,A,B两盏路灯之间长度是30米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯C,D,

3、问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少?ACDB解:记E:“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”,把AB三等分,由于中间长度为30X二10米,3AG11.P(E)=.303(二)、与面积有关的几何概型例1、ABC。为长方形,AB=ZBC=If。为48的中点,在长方形48CO内随机取一点,取到的点到。的距离大于1的概率为()A.-B.1-C.-D.1-4488解:长方形面积为2,以。为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半4L圆)面积为因此取到的点到。的距离大于1的面积为2-T,则取A到的点到。的距离大于1的概率为取到的点到JO的距离大于1的面积长方形ABCQ的面积故选B.例

4、2、在平面直角坐标系XOy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随意投一点,则落入E中的概率为0解析:如图:区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界),而区域E表示单位圆及其内部,因此P=注=3。答案C441616(三)、与角度有关的几何概型b._7例1、在圆心角为90的扇形中,以圆心为起点做射线。C,aVz/求使得ZAOC和N3OC都不小于30的概率?解:记事件4是“做射线OC,使得ZAOC和NBOe都不小图2于30”,ZAON=ZLBOM=ZMON=30,则符合条件的射线OC例2、如图所示,在等腰直角.ABC中,过直

5、角顶点。在NACB内部做一条射线CM,与线段AB交于点M,求A/AC的概率。解析:在48上取A。=AC,连接8,则ZACD=18045(=67.5,记“在内部作2一条射线CM,与线段48交于点例,AMVAC”为事件A,则75aaP(八)=HL=4,所以,所求概率为士。9044点评:本题所求事件的本质是在NAC3内部做一条射线CM,所构成的区域是一个“角”域,故应属于几何概型中的角度之比类型;本题极易易犯的错误是,用长度的比得出Xil=I-也这一错误结果。(四)、与体积有关的几何概型例1、在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大?解:“取出1升水,其中含有病毒”这一事件

6、记作事件A,则P(八)=取出的水的体积所有水的体积-=0.2.5从而所求的概率为0.2.(五)、会面问题中的概率例1、某码头接到通知,甲、乙两艘外轮都会在某天9点到10点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位,早到的外轮要在该泊位停靠20分钟办理完手续后才离开,求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。解析:设事件A表示两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待,两艘外轮到的时间分别为9点到10点之间的X分、y分,则-yW20,0W-20X-y20X,y60,即4=(刘y),0x60,以0y609点为原点,建立平面直角坐标系如图所示,事件A所对应的区域如图中阴影区域所示:所以,其概率P(八)=阴影面积/ABCD面积二5/9。例2、两对讲机持有者张三、李四,为卡尔货运公司工作,他们对讲机的接收范围是25km,下午3:00张三在基地正东30km内部处,向基地行驶,李四在基地正北40km内部处,向基地行驶,试问下午3:00,他们可以交谈的概率。解:设羽y为张三、李四与基地的距离X0,30,j0,40,以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对(x,y),表示区域总面积为1200,可以交谈即/+y22525万192-725241200

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