1.1空间向量及其运算典型例题.docx

《1.1空间向量及其运算典型例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.1空间向量及其运算典型例题.docx（16页珍藏版）》请在优知文库上搜索。

1、1.1空间向量及其运算典型例题考点1：空间向量的有关概念1 .在平行六面体48C。-AIAGA中，与向量4。相等的向量共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】由图形及相等空间向量定义可得答案.【详解】由图，与向量Ao大小相等，方向相同的向量有AA,6,8C共3个.2.下列关于空间向量的说法中正确的是（）A.方向相反的两个向量是相反向量B.空间中任意两个单位向量必相等C.若向量I祠西满足网CD,则A8COD.相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误;单位向量指的是模为1的向量，方向未定

2、，故B错误；向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确；故选：D.3.（多选）下列说法错误的是（）A.空间的任意三个向量都不共面B.空间的任意两个向量都共面C.三个向量共面，即它们所在的直线共面D.若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面【答案】ACD【分析】A画图举例判断；B.利用相等向量判断；C.画图举例判断；D.画图举例判断;【详解】A如图所示:a he三个向量共面,故错误;B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确;C.如图所示:D.如图所示:故选：ACD考点2：空间向量的加减运算4. ：(4 + 26-33)-3(-27-Ci)

3、=()5 r, 35-9C. a+b+-c D. a-5bc55彳，CA. 。一4。B. a + 4b -2c22【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】；（a + 2Z?-3c） 3（a 26c） = ；a + 7 + ；c .故选：C5 .设A、B、C、O为空间中的四个点，则AO=4B+AC”是4、B、。、。四点共圆”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】D【分析】根据共面的性质，结合空间向量的加法和减法的几何意义、充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由 AD = AB+ACAD-AB = AC = BD= AC当A、B

4、、C、。四点在同条直线上时，A, 3, C。四点不共圆，若A、B、。、。四点共圆，当ABC。是矩形时，此时AC BD为圆的宜径,满足AO= 48+AC，而当ABCO不是矩形时，显然4C，8。不是圆的直径，此时4）wA8+AC故选:D考点3:空间向量的加减运算的几何表示6 .如图，在四面体048C中，0A = a OB = b，Od = 点M在OA上，且满足OM=3M4, N为BC的中点，则MN=（）【答案】D【分析】根据空间向量的加法和减法的三角形法则得到.【详解】如图，连接ON,QN是BC的中点，ON = TB + gC,3OM =3MA - OM -OA ,41113.311. MN =

5、ON-OM =-0B+-0C-0 = -a+-b+-c .224422故选：D7 .如图，在平行六面体ABC。ACTy中，设A6 = , AD = b, AAf = c 则下列与向量Ae相等的表达【答案】DD. a + b-c【分析】利用空间向量的运算法则计算即可.【详解】对选项 A： -a + + c、= 8A+4O + AA = 8D+O = 8Z5，错误：对选项 B： d-b + c = AB-AD+AA, = DB+BB, = DB, 错误；对选项 C： a-b-c = AB-AD-AAf = DB-DDt = DfB，错误；对选项 D： d+b-c = AB + AD-AA, = A

6、,A + AB+BC = A,C 正确.故选：D考点4：空间向量的共线的判定8 .下列命题中正确的是（）A.空间任意两个向量共面B.向量d、b、3共面即它们所在直线共面C.若ab, 6c，则d与C所在直线平行D.若则存在唯一的实数/，使d =【答案】A【分析】根据共面向量，共线向量的定义判断.【详解】空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确：空间三个向量指能平移到同一平面内，而不是指表示它们的直线在同一平面内，B错；若4/，力/c，但当加=G时，与C不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行,它们所在的直线也可能是同一直线，不一定平行，C错；若&/，当 =O时

7、，不存在唯一的实数2,使 = , D错.故选：A.9 .（多选）如图，在三棱柱A8C- AqG中，P为空间一点，且满足BP = 4BC+4%, ,l,则（）A.当2 = 1时，点P在棱上B.当 =1时，点P在棱BC上C.当义+ = 1时，点P在线段5。上D.当4 = 4时，点P在线段BG上【答案】BCD【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解【详解】当2 = 1时，BP = BC+BB所以CP = 期，则CP/g，即P在棱CG上，故A错误；同理当 =1时，则B/8C,故P在棱BC上,故B正确；当4 + = 1 时，-y 所以 BP = NBC+（1九）BB-即 BlP = AB0,故点P在线

8、段8。上，故C正确；当；I = 时，BP = BC+Bi）BC.,故点P在线段8G上，故D正确.故选：BCD.考点5:空间向量共线求参数或值10 .若空间非零向量印耳不共线，则使2七-与4 +2伏+ 1）共线的A的值为【答案】-05【分析】由题存在实数J使得Mq - %= % 弓+2（% +1） 4，解相应方程可得答案.【详解】由题意知，存在实数7使得2h -4 = e +2（2 + 1）42k = ,1即24八1） = 一1 = 4公+软+】=0，解得* = 一1故答案为：-;APA1C31111.在平行六面体ABC。AqG。中，点尸在AC上，AP = -AAy+-AB + -ADf贝IJ

9、4441312A. -B.-C.-D.3443【答案】C【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可.311111【详解】因为AP = AA+ AP = 44 + 1AAA3 +WAo = WAA+ A8 + aAO,A,C =AyA +AB+BC =AiA +AB+AD,所以有AP =因此算=J, 4AiC 4故选：C考点6：空间向量的共线定理的推论与应用12.如图，在ABCo中，点、M,N分别是棱ARC。的中点，则加力+网TBQ+ 3Cj化简的结果是（）A. CAB. ACC. NMD. MN【答案】C【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案.【详解】如图所

10、示，连接BM,BN,因为M,N分别是棱ARCD的中点，所以*BD+ BA）一;（BD+ BC）= BM - BN = NM .故选：C.13 .向量。=（4，%生）与非零向量=（也也）平行的充要条件是（）a _ hal ay aia PrMb彳下孩C.存在实数上使 + kB = OD.存在实数上使Q = Ab【答案】D【分析】利用反例或共线向量定理可得正确的选项.【详解】如果 = (2,2,2)* = (-2,-2,-2),则由= (IJI),而= (TTT), a hR 二 M不成立，故A错误,如果 = (2,2,0),A = (IJO),贝必=,故&。平行，但产治 二 不成立, 因为？无意

11、义，故B错误.对于C, a + k = O不成立，因为a +女是向量，而。是实数，故C错误.对于D,由向量共线定理可得: 向量 = (,生)与非零向昂力=伍也也)平行等价于存在实数A,便 =奶,故D成立，故选：D.考点7：判定空间向量的共面14 .下列条件能使点M与点A8,C 定共面的是()A. OM =OA-OB-OCB OM =OA + OB + OCC. OM =-OA-OB + -OC2D. OM = -OA-OB + 3OC【答案】D【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.【详解】设OM=XoA+yO4 + zOC,若x+y + z = l,则点KAsC共面

12、.对于 A, OM =OA-OB-OC 由于 1 一IT = TW1，故 A 错误；对于 B, OM=OA+ O8 + OC，由于 1 + 1 + 1=31,故 B 错误；对于 C, OM =-OA-OB + -OC ,由于-1一1+ = 工1,故 C 错误； 222 对于 D, OM =-OA-OB + 3OC 由于T-l + 3 = l,得M,A,8,C共面，故 D 正确.故选：D.15.如图，在长方体ABCD-AFCTy中，向量AQ，AzX，而是 向量（填共面或不共面）.【答案】共面【分析】根据空间向量的运算法则化简得到AB, + BD = Ao，即可得到AB AD BD是共面向量.【详

13、解】由空间向量的运算法则，可得49 + 8Ty = AD,又由 8O = 3Z,可得 AH +BD = 4。，所以A*, AD BD是共面向筑.故答案为：共面.考点8：空间向量的共面求参数16.已知点。在确定的平面内，O是平面A8C外任意一点，实数满足。=XoA +），08-0。，则W + /的最小值为（）4 O /sA. -B.C. 1D. 25 5【答案】D【分析】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.【详解】因为OO = XoA+ .yOB-OC,点。在JlBC确定的平面内，所以x+y-l = ,即x = 2-y,所以2+y2=（2-y）2 + y2=2y2-4y + 4 = 2（

14、y-l）2+22,所以当y = l时，f + y2的有最小值2.故选：D17 .已知向量，b，。是空间向量的一组基底，AB = 2a + b，AC = a + c AD = b + c，若A, B, C, D 四点共面.则实数/1的值为.【答案】-2【分析】根据点共面可得向量共面，进而根据平面向量基本定理即可列等式求解.【详解】由于A, B, C,。四点共面，所以存在唯一的实数对x,y,使得A。= XAB+ yAC,即b + Ac = x2a+b + y(a + c) = (2x + y)a + xb+yc ,2x + j = 0所以 = -2 , = y故答案为：-2考点9：空间向量共面定理的推论与应用18 .已知。为空间任意一点，A8,C,尸四点共面，但任意三点不共线.如果5P = QA + OA + OC,则机的值为()A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】A【分析】由题设条件推得。P =m。4 + 2O8 + OC