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1、第2章习题2-1求以下齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应(1)4XO+3-y+2X0=0；给定：y(o_)=3,gMOj=2；drdtdt(2) X0+4r)=0;给定：y(OJ=1,4y(0_)=1；dtdt(3) 4y(r)+2fy(r)+2)C)=0;给定：y(0_)=1WyQ)=2；dtdtdt(4) 4yQ)+2fy()+y(f)=O;给定：MOJ=l,y(O_)=2；dt-dtdt(5)y)+24y(f)+y(f)=0；给定：y(0_)=l,y(0_)=l,y(0_)=2。dtdtdtdtdtjjJy+4fy(f)=0;给定：MOD=LfyQ)=2。drdtdt解：(1)
2、微分方程的特征方程为：2+3+2=0,解得特征根：4=-l,%=-2.因此该方程的齐次解为：yh(t)=Ae-1由y(0)=3,y(0)=2得:A+5=3,-4-25=2.解得:A=8,B=-5.dt所以此齐次方程的零输入响应为:y(t)=Se-,-5e-2t.(2)微分方程的特征方程为：+4=0,解得特征根：1i2=2/.因此该方程的齐次解为：%(f)=Acos(2r)+8sin(2f).由y(0)=1,且Mo)=1得:A=I,23=1,解得:A=I,B=Ldx2所以此齐次方程的零输入响应为:y(f)=cos(2f)+gsin(2f).(3)微分方程的特征方程为：2+2+2=O,解得特征根:
3、42=-1，因此该方程的齐次解为：(0=(Acos)+5sin(f).由y(0)=l,-y(0)=2得:A=l,8-A=2,解得:A=I,8=3.dx所以齐次方程的零输入响应为:y)=eT(cos)+3sin).(4)微分方程的特征方程为：22+22+1=O,解得二重根：4,2=-L因此该方程的齐次解为：yh(t)=(At+B)e,.由MO)=1,Ao)=2得：3=LAB=2,解得:A=3,8=Ldx所以该方程的零输入响应为:y()(3/+)e-t.(5)微分方程的特征方程为：3+22+=O,解得特征根：4,2=T,4=0因此该方程的齐次解为：yh(t)=A+(Bt+C)e-1.由y(0)=1
4、,y(0)=1,y(0)=2得:A+C=1,B-C=LC-2B=2.dxdt解得:A=5,3=-3,C=T.所以方程的零输入响应为:XO=5-(3/+4)e-t.(6)微分方程的特征方程为：2+4=0,解得特征根:4=0,4=-4.因此该方程的齐次解为：yh(t)=A+Be-41.由MO)=l,-(0)=2得:A+8=1,T8=2.解得:A=3,b=-L.dx2231所以此齐次方程的零输入响应为：)=5-/64.2-2系统的微分方程和鼓励信号，求系统的零状态响应。121(I)-TT丁+5vM)+6)0=3x(f),x(r)=e,u(t；drat(2)4Ty(t)+y(r)+2y(t)=-x(r
5、)+4x(r),x(r)=e2,u(t)；dratat日y(f)+3y(t)=gx(0+M0削=2zw(0；atat今y+42y+8Ay(r)=33x)+8x),x(t)=u(t)。解：(1)：将x(t)带入到原方程得到：y)+54X0+6y(f)=3e-tu(tdrdt特征方程为：2+5+6=0,解得特征根1=-2=-3.因此该方程的齐次解为：yh(t)=Ae-2t+Be3t.可设其特解为:yp(t)=CeT,将为)=CeT代入上述微分方程,有：12JO(CeT)+$_(CeT)+6(ce)=3,解得特解为：4(/)=.dt2dtp2可得完全解:XO=e-2f+Be31+e-根据冲击函数匹配
6、法，系统在Svrv0.时的微分方程：214y)+5；y(t)+6y(t)=3w(r),得到：drdtUH上o+)=o-)+=o从而有：.Oy(0+)=y(0-)+6=0将y(t)=elt+Beyt+1婷代入得：故系统的零状态响应为：y(f)=(-e-,+e-3f-3e-2,)u(t)?2L将x(z)=e-2zw(r)带入原方程得到：?y(t)+3&y(t)+2)C)=(t)+2e2,u(t)微分方程的特征方程为：22+3+2=0,解得特征根4=-1，4=一2,该方程的齐次解为:yh(t)=A+Ben可设其特解为:yp(t)=kte-2t代入上述微分方程,解得特解为：yp(t)=-2te-21.
7、可得完全解:y(t)=Ae21+Be,-Ite1根据冲击函数匹配法，系统在0_vtv0+时的微分方程：-JTy)+3；y+2y(r)=3)+2w(r),得到：dtdt将W)=Ae3+BeJ2代入得J(+)=-B-2=lJ=-3J(0+)=4A+B+8=-l3=3系统的零状态响应为：y(t)=-3疔”+3/-Itelt(3)将x(t)带入到原方程得到：XO+3y(0=(t)-e-2,u(t)特征方程为：2+3=0,解得特征根2=-3.因此该方程的齐次解为：“)=Ce-可设其特解为：%(Z)=Ke-，代入上述微分方程，解得特解为：yp(t)=-e-2t.可得完全解:y(t)=(Ce-3t-e-2t
8、)u(t).根据冲击函数匹配法，系统在0_vrv0,时的微分方程:y(r)+3y(0=(t)-w(0,得到:dt从而有:Mo+) = Mo-)+1=1y(0+) = (0-)-4 = -4O 将 y(f) = CeT代入得：C = 2故系统的零状态响应为：y(t)=(2e-31-e-2,)u(t)(4)将 x(r)带入到原方程得到：, y(r) + 4y(r)+8y(t) = 3J(r)+8w(r)特征方程为：234228=0,解得特征根 4=0,4=-2 + 2，4=一2-2,因此该方程的齐次解为：yh(t) = A + Be2t cos(2r) + C2/ sin(2r).可设其特解为:y
9、p(t) = Dt,代入上述微分方程,解得特解为：yp(t) = /.可得完全解:y(r) = A + Be cos(2r) + Ce 2t sin(2r) +1.根据冲击函数匹配法，系统在0_，v0+时的微分方程:6+懵刈+8%= 3%) + 8A(),得到:从而有：泉-4，%值)=?。将 y(t) = A + Be2t cos(2r) + Ce 2, sin(2r) + f 代入得：A=-, B = 8由于方程不包含y)项，C无法求出。13故系统的零状态响应为：(r) = H*(-cos(2r)一一sin(2r)+ + C882-3系统的微分方程为4y(f)+2y(f)=jv(f),求以下
10、鼓励信号下系统的零状态响应。dt(1)x(t)=e2,u(t)(2)x()=e3lu(t)(3)x(t)=ae2,u(t)-e3,u(t)(4)x(t)=e2(,Tu(t-T)解：(1)：带入后微分方程为：-y(t)+2y(t)=e-2,u(tdt特征方程为4+2=0,解得特征根;1=一2。因此该方程的齐次解为：yh(t)=Ce-2t设特解为yp(t)=kte-2t,带入得yp(t)=te-2t,零状态响应为:y(t)=(Ce-2t-te-2t)ut由于系统的微分方程右侧没有冲击函数可以知道系统在从0-到0+时刻没有发生跳变，将y(0+)=0带入得到C=O。故系统的零状态响应为:y(t)=te
11、-(4)：带入后微分方程为：* y(0 + 2y(0 = e2if-%(t- T)特征方程为;1+2 = 0,解得特征根;I = 2。因此该方程的齐次解为：yh(t) = Ce2tu(t)(2)：带入后微分方程为：(0+2y(0=G)dt特征方程为4+2=0,解得特征根;I=2。因此该方程的齐次解为：)%(z)=Ce-2,设特解为yp(t)=总a,带入得为=一/3,零状态响应为:),=(Ce-2,-e-3t)u(t)由于系统的微分方程右侧没有冲击函数可以知道系统在从O-到0+时刻没有发生跳变，将y(0+)=O带入得到C=Io故系统的零状态响应为:y(t)=(e-2r-e-3,)u(t)(3)带
12、入后微分方程为：+Wf)+2)C)=ae-2,u(t)+e-3tu(t)先求出系统的冲激响应，易知y)=Ae-21在Ovr-2(5,零状态响应为:XO=Ce-2,ut+(/-T)e-20-yu(t-T)由于系统的微分方程右侧没有冲击函数可以知道系统在从T-到T+时刻没有发生跳变，将y(T+)=0带入得到C=Oo故系统的零状态响应为:y(t)=(t-T)e-2i,-yu(t-T)2-4给定系统微分方程、起始状态以及鼓励信号，首先判断起始点是否发生跳变，再求系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。:XO+y(t)=x(t)9y(j=1,x(r)=w(r)；at:X0+3y(f)=gx(0+2x(y
13、(0_)=2,Mf)=W)；atat4MD+5VX06y)=23x(t)+3x(r),y(0_)=2；MO)=0,x(r)=3e,u(t)；atatatat(4)4y(r)+6；y()9y()=x(t)+x(r),y(j=l,-y(j=1,x(r)=e2,u(t)；atatatat4ND+2gy(0+5y(f)=3gx(r)+5x(r),y(j=l,-y()=1,x(r)=w(r)。atatatat解：(1)易知系统的齐次解：Ml(F)=A/.零输入响应:y(OJ=y(0+)=Ae=1.解得：为=/.零状态响应:设yp(t)=B,代入得:3=1.所以%(f)=Ae-,+1,在0_f一力.零输入响应:y(o)=+B=2Wy(O)=-2A-3B=0.解得:y
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