第22章向量自回归和误差.ppt

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1、1 联立方程组的结构性方法是用经济理论来建立变量之间关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明。并且，内生变量既可以出现在等式的左端又可以出现在等式的右端使得估计和推断更加复杂。为解决这些问题产生了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型，就是这一章所讲述的向量自回归模型（Vector Auto regression,VAR）以及向量误差修正模型（Vector Error Correction,VEC）的估计与分析。同时也给出一些检验几个非稳定变量之间协整关系的工具。2 向量自回归（VAR）常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动对变量系统的动态

2、影响。VAR方法通过把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而回避了结构化模型的需要。一个VAR(p)模型的数学形式是：(22.1)这里 yt 是一个k 维的内生变量，xt 是一个 d 维的外生变量。A1,Ap 和B是待估计的系数矩阵。t 是扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关。ttptpttBxyAyAy 113ktttttktttkttktttBXyyyAyyyAyyy2122221211211121 由于仅仅内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不出现同期性问题，并且OLS能得到一致估计。即使扰动向量 t 有同

3、期相关，但OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，所以其与GLS是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的 yt 滞后项而被调整（absorbed），所以扰动项序列不相关的假设并不严格。4212122222112111122211211111CCMIPbbbbMIPaaaaMIPtttttt 作为VAR的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供应量（M1）联合地由一个双变量的VAR模型决定，并且让常数为唯一的外生变量。内生变量滞后二阶的VAR(2)模型是：(22.2)其中，aij,bij,ci 是待估计的参数。也可表示成：ttttttCMbIPbMaIPaIP,1121221

4、111211111ttttttCMbIPbMaIPaM,222222211221211115 为了详细说明一个向量自回归模型，必须创建一个VAR对象，选择Quick/Estimate VAR或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口中键入VAR。下面的对话框便会出现：6 在对话框内添入适当的信息。选择无约束向量自回归（Unrestricted VAR）或者向量误差修正（Vector Error Correction）。前面例子中的VAR是无约束VAR，会在下面详细解释VEC 模型。在相应的编辑栏中输入适当的内生及外生变量。系统通常会自动给出常数c作为外生变量。如果所列的

5、序列太长，我们可以先建立一个包含这些序列的组对象，然后直接输入组的名字。7 这一信息将会告诉EViews哪个滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这一信息应成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例如，滞后对：1 4 告诉EViews用系统中所有内生变量的一阶到四阶滞后变量作为等式右端的变量。可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如：2 4 6 9 12 12 表示：用 2 4 阶，6 9 阶及第 12 阶滞后变量。前面例子对话框中的VAR模型。取IP、M1和TB3三个内生变量，这个模型用了1 2 阶滞后变量并且仅仅常数是外生变量。其余两个菜单（Cointegration 和 Rest

6、rictions）仅与VEC模型有关，将在后面介绍。8 表中的每一列对应VAR中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估计值、估计系数的标准误差及 t-统计量。例如在TB3方程中IP(-1)的系数是0.087563。(VAR02包含外生变量)一旦设定了VAR，单击OK。EViews将会在VAR窗口显示估计结果(VAR01)：9 两类回归统计量出现在VAR估计输出的底部：输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。分别计算每个方程的结果（使用各自的残差项），并被显示在对应的列中。第二部分是VAR系统的回归统计量。10 一旦估计一个VAR模型，EViews会提供

7、关于被估计VAR模型的各种视图。这一部分仅讨论与VAR模型有关的特定的视图。其它的视图和过程可参考第21章：系统估计。在VAR窗口的View/Lag Structure和View/Residual Tests菜单下将提供一系列的诊断视图。这些将有利于检验被估计VAR模型的合适性。如果被估计的VAR模型所有根的模小于1并且位于单位圆内，则其是稳定的。如果模型不稳定，某些结果将不是有效的（如：脉冲响应标准误差）。共有 kp 个根，其中 k 是内生变量的个数，p 是最大滞后阶数。前面的例子中存在一个根大于1，所以模型是不稳定的(VAR01)。将IP、M1差分得到的VAR模型是稳定的(VAR03)。1

8、1 残差的协方差的行列式值由下式得出：(22.3)其中 p 是VAR每一方程的参数个数，t 是 k 维残差向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布计算对数似然值：(22.4)两个信息准则由下面两式算出：其中 n=k(d+pk)是VAR中被估计的参数的总数，k 是内生变量数，T 是样本长度，这些信息准则可被用于模型的选择，例如决定VAR的滞后长度；信息准则的值越小模型越好。值得注意的是，一些参考文献通过不同的方法来定义AIC/SC，如在似然函数中忽略常数项或不除以T，请见附录F中关于各种信息准则的附加讨论。tttpT1detlog22log12TTklTnTlAIC22TTnTlSClog2(22

9、.5)12 原假设2统计量自由度p-值R方程实际M1外生于实际利率3.7830.286实际GDP外生于实际利率9.0030.029实际M1、实际GDP同时外生于实际利率16.860.010Log(M1)方程实际利率外生于实际M12.6530.449实际GDP外生于实际M16.03 30.110实际利率、实际GDP同时外生于实际M117.6360.007Log(GDP)方程实际利率外生于实际GDP1.4930.684实际M1外生于实际GDP2.8430.418实际利率、实际M1同时外生于实际GDP4.38 60.62513 显示VAR在指定的滞后数的条件下的被估计的残差交叉相关图（样本自相关）。

10、交叉相关图能以三种形式显示：有两种表格形式，一种是以变量来显示（Tabulate by Variable），另一种是以滞后阶数来显示(Tabulate by Lag)。曲线图（Graph）显示交叉相关图的矩阵形式。点线代表滞后的相关系数加减两倍的渐近标准误差的曲线图（以 计算）。计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量Q统计量。同时计算出Q统计量和调整后的Q统计量（即：小样本修正）。在的条件下，两个统计量都近似的服从自由度为的 2 统计量，其中p为VAR滞后阶数。T1)(2phk14 计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量LM检验统计量。滞后h阶数的检验统计量是通过关于原始右侧回归量残差

11、 ut 和滞后残差 ut-h 的辅助回归运算计算得到的，这里 ut-h 缺少的前h个值被赋予0。参考Johansen(1995a.p.22)LM统计量的计算公式。在的条件下，LM统计量渐近的服从自由度为 k2 的 2 统计量。计算残差的J-B正态检验，这种检验主要是比较残差的第三、第四阶残差矩与来自正态分布的那些矩。对于多变量检验，必须选择一k维残差分解因子，使其与其他的每一个残差都是正交的（参考脉冲相应函数对正交的详细讨论）。设 P 是如下的 因子分解矩阵：（22.7）其中 ut 是不符合要求的残差序列。),0(kttINPuv kk15定义第三、第四阶矩向量为：则在的条件下，有：因为每一个

12、组成部分之间是相互独立的，所以对任意的这些第三、第四阶矩平方求和可形成一个 2 统计量。EViews为每一个正交分量（标明残差1、残差2等等）和整体检验都提供检验统计量。对于单个分量，被估计的偏度(skewness)和峰度(kurtosis)被列出在前两块中，J-B统计量列在第三块。这些检验是针对系统方程的Whites检验的扩展。这个回归检验是通过残差序列每一个回归量交叉项乘积的回归来实现的，并检验回归的显著性。ttTvm33ttTvm44kkIINmm24006,034316 No Cross Terms 选项仅仅用于原始回归量的水平值及平方项检验。With Cross Terms 选项包括

13、被检验方程中原始回归变量所有的非多余的交叉乘积检验，回归方程还包括一个常数项作为回归量。输出的第一部分显示每一个被检验的回归方程除常数项之外的回归量的显著性。可以把每一个回归方程的检验作为残差协方差矩阵的每一个元素独立的不变性检验。在的条件下，非常数回归量不是联合显著的。在输出的最后一行显示被检验方程系统的所有回归量的 LM 2 平方统计量的联合显著性。系统的 LM 统计量服从自由度为 mn 的 2 分布，其中 m=k(k+1)/2，是系统残差交叉乘积的个数；n 为检验回归方程中通常形式下右边的变量个数。17 一旦已经估计了VAR模型，EViews会提供很多方法利用已估计的VAR来进行进一步的

14、分析。在实际应用中，VAR的主要用处是脉冲响应分析，方差分解和 Granger 因果检验。用时间序列模型来分析影响关系的一种思路，是考虑扰动项的影响是如何传播到各变量的。以下先根据VAR(2)模型来说明脉冲响应函数的基本思想。(22.8)其中，是参数，扰动项为 ，假定是具有下面这样性质的白噪声向量：ttttttttttttzdzdxcxczzbzbxaxax222112211122112211iiiidcba,),(21tttv18 现在假定上述系统从期开始活动，且设 ，又设于第期给定了扰动项 ，并且其后均为，即 ,t，称此为第期给 x 以脉冲，下面讨论 xt 与 zt 的变化，于第期0212

15、1zzxx0,120100,100zx将其结果代入(22.8)式，第1期1111,czax再把此结果代入(22.8)式，第2期 112112cdcacz,112212cbaax021ttstvvtvvvVartvsttttt,0)(,00)()(,0)(222119 继续这样计算下去，设求得结果为 称为由 x 的脉冲引起的 x 的响应函数。同样求得称为由 x 的脉冲引起的 z 的响应函数。当然，第期的脉冲反过来，从 出发，可以求出由 z 的脉冲引起的 x 的响应函数和 z 的响应函数。因为以上这样的脉冲响应函数明显地捕捉对冲击的波动及效果，所以和计量经济模型的冲击乘数分析类似。,43210 x

16、xxxx,43210zzzzz1,02010 将上述讨论推广到多变量VAR模型上去(22.9)也可改写为 这里 yt 是一个k 维内生变量向量，t 是协方差矩阵为 的扰动向量。tptpttyAyAy11ttppyLALAI)(120 假如VAR(p)可逆，我们可以得到VMA()的表达式:(22.10)VMA表达式的系数可按下面的方式给出：VAR的系数A和VMA的系数 必须满足下面关系：(22.11)其中，。关于 的条件递归定义了VMA系数：ILCLCI221021CC11A2112AAttpptLLILALAIy)()(22111ILLILALAIpP)(2211从而可知VMA的系数可以由VAR的系数递归得到。qCpqPqqqAAA.221121 考虑VMA()的表达式 设 ，y 的第i个变量 可以写成：其中k 是变量个数。仅考虑 2个变量(k=2)的情形：ity)(3,32,21,1,01jtijjtijjtijjtijkjity 现在假定在基期给 一个单位的脉冲，即：2 1 0 1 2 3 4 5 t1yelsett,00,11ttLLIy)(2210)(,ijqq2,22,122