第13次行列式及其性质.ppt

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1、第三节第三节 行列式及其性质行列式及其性质 1.3.1 行列式的定义1.3.2 行列式的性质1.3.3 行列式的计算 1.3.1 行列式的定义 二阶行列式与三阶行列式二阶行列式二阶行列式定义abadbccdabcd主对角线元素之积减去副对角线元素之积根据定义算一算6253cossinsincos主对角线元素之积减去副对角线元素之积6(3)6(3)6(3)2(5)6(3)2(5)6(3)2(5)8 2cos2(sin)1二阶行列式在解二元一次方程组的应用1112121222a xb xca xb xc1 21 211 212cbbcxabba1 21221 212a cc axabba11221

2、122cbcbabab1DD11221122acacabab2DD三三 阶行列式阶行列式的定义111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132112332122133132231a a aa a aa a aa a aa a aa a a对角线法则11a12a13a21a22a23a31a32a33a根据定义算一算5143212025 2 2 1(1)(2)4 3 0 4 2(2)1 3 2 5(1)0 32计算计算abbbab2111231112a9n n阶行列式定义阶行列式定义设方阵nnnnaaaaA1111nnnnaaaaD1111则称行列式为A

3、所对应的行列式，或A的行列式,记作AAD det称n为行列式D的阶数。余子式：元素 的余子式记为514321202元素5的余子式112102M元素0的余子式1.3.2 行列式的性质行列式的性质ijMija代数余子式ijA(1)ijijijAM 514321202元素5的代数余子式1 11111(1)AM 21023 23232(1)AM=？3 阶行列式的余子式定义阶行列式的余子式定义111213212223313233aaaaaaaaa222321232122323331331112133132aaaaaaaaaaaaaaa111211121313aaMaMM111211121313aaAaA

4、A 三阶行列式的值等于它的第一行元素乘以各自的代数余子式再相加112233a aa122331a aa132132a a a112332a aa122133a a a132231a aa212122331112132333aaaaaaaaa21231 2123133(1)aaAaa 2123123133aaMaa111211121313aaAaAAn 阶行列式的定义阶行列式的定义212211221112nnnnnnaaaaaaaaa1112111121nnAAaaAa111njjja A首行展开首行展开行列式的展开定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的行列式等于它的任一行（列）的各

5、元素与其对应的代数余子式乘积之和。代数余子式乘积之和。111212122212nnnnnnaaaaaaaaa1212iiiniiinAAaaAa1nijijia A(1,2,in）1212jjnjjjnjAAaaAa1nijijja A(1,2,jn）1030200131000012根据定义算一算11 1(1)001100012 31 3(1)2013100021 1(1)31 411u 行列式转置后，其行列式转置后，其值不变值不变。此性质表明行与列是对等的，行具有的性质，列也具有TDDu互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：如果行列式推论：如果行列式D D有两行（列）相同，则有两行（列）

6、相同，则D=0D=0u 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数 k，等于 用数 k 乘此行列式。推论2：如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则D=0。推论3：如果行列式D有两行（列）的元素成比例，则D=0。推论1:行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面。111211212niiinnnnnaaaDaaaaaa1112111212niiinnnnnaaaDkakakakDaaa 推论4：设A为n阶方阵，则AAn性质性质 设设D为任一阶的行列式，为任一阶的行列式，则则按行（列）展开得按行（列）展开得D,串行（列）展开得零串行（列）展开得零。1212kkikniina

7、aAAaA()0()Dikik1212ssjnsjnjaaAAaA()0()Djsjsu如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列式之和。aabbababcdcdcdu 把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数 后，加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的 值不变。11121211122nnnnniijnijjnaaaaaDaaaaaaa11111211122122jijijniiinninnnnnakaakaakaaaDaaaaaaa1DD消 元 变 换消元变换消元变换行的运算 row列的运算 column交换i,j两行数乘第 i 行数乘第 i行加到第

8、j 行ijrrikr交换i,j两列数乘第 i 列数乘第 i 列加到第 j 列ijccikc变号变号K 倍倍等值等值变号变号K 倍倍等值等值ijkrr ijkcc 注意与矩阵的初等变换的区别。性质性质BAAB BAAB 推广推广1.3.3 1.3.3 行列式的计算行列式的计算 例例 计算行列式 D=解解 按定义，有D=5A11+1A21+0A31+0A41 =5(-1)1+1M11+1(-1)2+1M21 =5 =2 =2011012000001002501112000001112000201121122000000000nnaaa证明1122nna aa1122000000000nnaaa11

9、a 11a 1 1(1)2233000000000nnaaa1122aa11221 1(1)aa 330000nnaa1122nna aa主对角线行列式下三角形行列式11222112000nnnnaaaaaa1122nna aa利用首行展开法可以证明下三角形行列式之值等于主对角线元素之积计算计算abcd44ab000000abcd00000000abababba例例111111aaa121cc 131cc 2112121aaaaa111(2)1111aaa21(1)rr 31(1)rr 111(2)010001aaa2(2)(1)aa311251342011153313121534021151

10、3312cc21(1)rr 1312021151330846131208460211415rr01621313120211084601621323rr324rr1312021100 1621308242(8)rr 利用消法变换化行列式为三角形1312021100 1621308242(8)rr 131202110082004354rr51 2 8()2 40 1312021100820010505211111111111131113113113111111111(3)1111113(3)(1)11110100(3)00100001计算计算证明证明1231230123aaabbbccc142311424211423114242112)2(rr13)3(rr240380421322cc 20032041014行列式的计算方法 按定义 化为三角阵 归纳法 递推法 加边法