离散随机变量及分布律.ppt

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1、定义定义 若随机变量 X 的可能取值是有限个或可列个,则称 X 为离散型随机变量描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,2,1,)(kpxXPkkX kxxx21P kppp21或离散随机变量及分布律即分布律的性质分布律的性质q,2,1,0kpk非负性q 11kkp归一性X 或kxxx21kppp21 F(x)是分段阶梯函数,在 X 的可能取值 xk 处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度 pk.离散随机变量及分布函数)()()(1kkkkxFxFxXPp)()()(xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(其中 .kkxx1 01234xF(x)oo1ooo(1)0

2、 1 分布分布1,0,)1()(1kppkXPkk是否超标等等.常见离散常见离散r.v.的分布的分布凡试验只有两个结果,常用0 1分布描述,如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗X=xk 1 0Pk p 1-p0 p 1应用场合或(2)二项分布二项分布n 重Bernoulli 试验中,X 是事件A 在 n 次试验中发生的次数,P(A)=p,若nkppCkXPkPknkknn,1,0,)1()()(则称 X 服从参数为n,p 的二项分布，记作),(pnBX01 分布是 n=1 的二项分布二项分布的取值情况二项分布的取值情况设),8(31BX.039 .156 .273 .273 .

3、179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4 5 6 7 8 8,1,0,)1()()()(8313188kCkXPkPkkk0.273由图表可见,当 时，32或k分布取得最大值273.0)3()2(88 PP此时的 称为最可能成功次数kxP01234567824680.050.10.150.20.25设)2.0,20(BX.01 .06.14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 xP13579024681020由图表可见,当 时，4k分布取得最大值22.0)4(20P0.2

4、2 51015200.050.10.150.2二项分布中最可能出现次数的定义与推导二项分布中最可能出现次数的定义与推导可取的一切值若XjjXPkXP),()(则称 为最可能出现的次数knkppCkXPpknkknk,1,0,)1()(记1)1()1(1knpkpppkk1)()1)(1(1knpkpppkkpnkpn)1(1)1(当(n+1)p=整数时,在 k=(n+1)p与 (n+1)p 1 处的概率取得最大值对固定的 n、p,P(X=k)的取值呈不 对称分布固定 p,随着 n 的增大，其取值的分布趋于对称 当(n+1)p 整数时,在 k=(n+1)p 处的概率取得最大值,则对固定的 k,2

5、,1,0!)1(limkkeppCkknnknknn0nnp设Possion定理定理Poisson定理说明若X B(n,p),则当n 较大，p 较小,而 适中,则可以用近似公式np,2,1,0,!)1(kkeppCkknkkn问题问题 如何计算？)2500(XP类似地,从装有 a 个白球，b 个红球的袋中不放回地任取 n 个球,其中恰有k 个白球的概率为pbaaba,当时，knkknnbaknbkappCCCC)1(对每个 n 有nbaknbkaCCC/结结 论论超几何分布的极限分布是二项分布二项分布的极限分布是 Poisson 分布解解 令X 表示命中次数,则 5 np令.9933.01)1

6、(5eXP 此结果也可直接查 附表2 泊松 分布表得到，它与用二项分布算得的结果 0.9934仅相差万万分之一.利用利用Poisson定理再求例例4(2)X B(5000,0.001)在实际计算中,当 n 20,p 0.05时,可用上述公式近似计算;而当 n 100,np 10 时,精度更好 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015 按二项分布 按Possion 公式 k n=10 p=0.1n=20 p=0.05n=40 p=0.025n=100 p=0.01=np=1(3)Poisson 分布分布若,2,1,0,!)(kkekXPk其中0是常数，则称 X 服从参数为的Poisson 分布.或)(X)(P记作在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；应用场合放射性物质发出的 粒子数；