第一章空间解析几何与向量代数.docx

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1、第一章空间解析几何与向量代数第01讲空间直角坐标系（一）本章重难点与考点分析重点：1 .向量的各种运算2 .平面、直线、柱面、旋转面及一些常见二次曲面的标准方程及其图形难点：1 .向量的运算2 .空间曲线在坐标面上的投影考点：选择题、计算题，分值在10分左右学习目标：本章内容既是学习多元微积分的预备知识，同时其自身也是十分重要的数学工具，在很多后续课程中有广泛应用.由于向量的表示、运算及处理方法与数量有很大区别，初学者比较生疏，而掌握空间图形也要求有较强的空间想象能力，这都给初学者带来一定困难，因此自学时要注意掌握重点，多做习题.特别要掌握运用向量建立平面、直线方程的方法，以及常用的曲面、曲线

2、的方程和图形，这是学习后续内容必需的基本知识.第一节空间直角坐标系知识点1空间直角坐标系的建立三维空间中几何问题空间图形形式一点，线，面，体知识桥梁空间直角坐标系代数理论表达一坐标，方程（组）经过空间定点0作三条互相垂直的数轴，它们都以点0为原点，具有相同的单位长度.这三条数轴分别称为X轴（横轴）、y轴（纵轴）、Z轴（竖轴），统称为坐标轴，并且各坐标轴正向之间的顺序要求符合右手法则，即以右手的拇指对准X轴的正向，食指对准y轴的正向，顺势伸出中指，此时中指的指向与Z轴的正向一致；或者以右手握住Z轴，让除大拇指外的四指从X轴的正向以90的角度转向y轴的正向，这时大拇指所指的方向就是Z轴的正向.这样

3、组合的三条坐标轴构成一个空间直角坐标系.3()知识点2空间直角坐标系的定义定义1三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面，称为坐标面，它们是由X轴及y轴所确定的平面OXy平面；由y轴及Z轴所确定的OyZ平面；由X轴及Z轴所确定的OZX平面.这三个相互垂直的坐标面把空间分成八部分，每一部分称为一个卦限.位于X轴、y轴、Z轴正半轴的卦限称为第一卦限，从第一卦限开始，在OXy平面上方的卦限，按逆时针方向依次称为第二、三、四卦限；第一、二、三、四卦限下方的卦限依次称为第五、六、七、八卦限.知识点3空间点的坐标定义2在建立空间直角坐标系之后，对于空间中任意一点1,过点M分别作垂直于X轴、y轴、Z轴的平面

4、，它们与三条坐标轴分别相交于点A,B,C.设这三点在X轴、y轴、Z轴上的坐标依次为X,y,z,则点M唯一确定了一组有序数x,y,z.这样，空间中的点M就可与一组有序数X,y,Z之间建立一一对应关系.这时，有序数组X,y,Z称为点M的坐标，记为M(x,y,z),其中x,y,Z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标.第02讲空间直角坐标系（二）知识点4特殊点的坐标 坐标原点0（三项为零） 坐标轴上的点（三类）PQR（两项为零） 坐标面上的点（三类）ABC（一项为零） 卦限上的点，如：第一卦限的点，各分量全为正例1在空间直角坐标系中，点（2,-1,-9）在（）.A.第一卦限B.第四卦限C.第五卦限D.

5、第八卦限正确答案D答案解析参见教材P27。例2在空间直角坐标系中，点(一2,0,19)在().A. Oxy平面上B. Oxz平面上C. Oyz平面上Dy轴上正确答案B答案解析J参见教材P27。知识点5空间中两点间的距离公式给定空间中两点Pl(X1,y,zl),P2(x2,y2,z2),求它们间的距离IPRI.过这两点各作三个平面分别垂直于三条坐标轴，形成如图所示的长方体，这两点间的距离就是该长方体的对角线长度.由于该长方体的三个棱长分别是=l-h6=如2-HLc=zz-zj所以俏马I=d3+3+?=5(x2-)a+0a-(-.(1)例3在X轴上求点P,使得它与点Q(4,1,2)的距离为技.解：

6、设P(,0,0),由H2=而，得J(4-x)2+(1-0)2+(2-0)2=50解得X=-I或x=9故所求的点有两个：P1(-1,0,O),P2(9,0,0)例4求两点P(1,2,3)与Q(2,-1,4)的距离PQ.解由公式(1)得HQ=(2-1)3+(-l-2)5(4-3)3=H.例5给定三点拙(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3),证明：/XMMW是等腰三角形.证只需证明品中两条边的长度相等即可.我们有I=7(7-4)2+-3)i+(2-D3=.IM2Af5I=(5-7)a+(2-1)j+(3-2)a=瓜IM3MxI=(4-5)a+(3-2)a+(l-3)a=6由于IM2A

7、Z3I=IA3Af1,所以AMMNh是等腰三角形.例6在Z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点.解：设该点为M(0,0,z),由题设IMAl=IMB,J(Y-0)2+(1-0)2+(72)2=J(3-0)。+(5-0)。+(-2-Z)*1414解得Z=,即所求点为M(O例7求与两定点A(1,-1,2)和B(2,1,-3)距离相等的点的轨迹.解：由于IM4=MB从而有7)2+S+/+(”2)2=J(D2+g)2+(z+3)2化简得点M的轨迹为x2y-5z-4=0.第03讲向量代数(一)第二节向量代数知识点1向量的概念定义1既有大小，又有方向的量称为向量.向量的表示法记有向

8、线段的起点A与终点B,从点A指向B的箭头表示了这条线段的方向，线段的长度表示了这条线段的大小.向量就可用这样的一条有向线段来表示，记为向量也简记为.瓦或瓦瓦知识点2特殊的向:(1)单位向量:模为1的向量；与向量W同方向的.模为1的向量称为单位向量.通常用i,j,k分别表示X轴、y轴和Z轴正向的单位向量，并称其为基本单位向量.知识点3向量的关系(1)向量平行对于两个非零向量五了,若它们的方向相同或相反，则称这两个向量平行或共线,记作aHb(2)向量相等若两个向量万1的模相等且方向相同，则称这两个向量相等，记作8=B注：零向量与任何向量都是平行关系；若某向量可以在空间中平行移动，所得向量与原向量相

9、等，则称该向量为自由向量.知识点4向量的加法一I苜星相接I1平行四边影法则磨弓7(.Ax?0时，入的方向与的方向相同；当0数乘法运算律：结合律(ta)=XS)=a分配律(+)=+(+)a=aa若向量5*例1根据向量的加法和数量乘法的运算规律，化简(3a+b)+(2a-b)-(4a-3b).解(3a+b)+(2a-b)-(4a-3b)=3ab2a-b4a3b=(3a2a-4a)+(b-b3b)=(3+2-4)a+(1-1+3)b=a+3b.定理1设向量W0,则向量B平行于的充要条件是，存在实数入，使得B=a.证充分性设B=入.当人#0时，由数量乘法的定义知B平行于a.当人=0时，必有B=O.由于

10、零向量的方向可以看作是任意的，因此我们可认为零向量与任何向量都平行.IRI必要性设B与a平行，此时B与a的方向要么相同，要么相反.取入I=E且B与a同向时人取Ial正值，反向时入取负值.于是，B与入a同向，并且有I徊二|川IaI=%I(II=IPl因此，两个向量B与入a方向相同，大小相等.根据向量相等的定义，知B=Aa.知识点7向量的夹角定义3设有两个向量5k,平移致使始点重合，且交于点S.把一个向量绕点S在两个向量所确定的平面上旋转，直到方向和另一个向量的方向重合，则称所旋转的角度为向量的夹角，记作=(a,b)f(读音：fai)其中特殊的向量夹角(1)9=Oo向量彳5平行，且方向相同；(2)

11、0=；TQ向量彳不平行，且方向相反；(3)o=o向量万万垂直，记作albi知识点8向一的投影给定向量a=荏及数轴u,过点A,B分别向数轴U作垂线，设垂足依次为A,B,这两个点在数轴U上的坐标分别为5,Uh.称N,B,分别为点A,B在数轴U上的投影点；称向量A#为冠在数轴U上的投影向量；记PiJU=Ub-Ua,称之为AB在数轴U上的投影.由于a,b=IPa次卜因此P门U屈在一定程度上反映了向量次在数轴U上投影的“大小”困1-15第04讲向量代数(二)知识点9向量的投影计算定理2对于任意非零向量,有Pnel=|aIcos其中夕是a与数轴U的夹角.注：(1)当投影轴与向量成锐角时，向量的投影为正；当

12、投影轴与向量成钝角时，向量的投影为负；当投影轴与向量成直角时，向量的投影为零.(2)相等的向量在同一数轴上的投影相等.定理3投影的线性性质0国(。士P)=加aPvli师l(a)=秋;*a关于投影向量的证明例2己知一个向量的模为5,它与投影轴的夹角为求该向量在数轴上的投影.4解：PrtIcos=Scos,52知识点10向量的坐标定义4设向量；，分别为与X,y,Z轴同向的单位向量，则称其为空间直角坐标系的基本单位向量.定义5设点M的坐标为(a,b,c),则向量而为向径，在坐标轴上的投影分别为PrfjOMatPrjOMbtPrjJDMcOA=ai*OB=bf,OC=ck9OMQAANi,从而次=N+

13、属区即血=of+斤+/定义6若向量a分别在X,y,Z轴上的投影ajl,ay,a,组成的有序数组(a,ay,a,)为向量a的坐标，记为a=(a,ay,az).定义7设始点Ml(x1,y,Zi),终点也(X2,y2,z2),因此MA/；在X轴、y轴、Z轴上的投影分别为-.-.-MM=Orck=(-f+6-l)(-X-如果a=a7+cE,则a，b,C分别称为a的三个坐标.由坐标的唯一性，此时可将a简记为匕，b,c,其意义为b,c=a+cMM的坐标表(2)式还给出了由空间中两点Ml(x,y,Z),M2(X2,y2,Z2)所确定的向量示，即MIMl=(-一鼻，句-ZJ例3求零向量和基本单位向量的坐标与模.奉向登0=9,0,0),O=2O2O3=0基本单位向量：解：-l,010),m=+02+02=L7=oo,=o23+o2=i;=o,i=b2+o2+2=1.定理4(向量线性运算的坐标表示)设向量m“K