高斯公式和斯托克斯公式ppt课件.ppt

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1、第六节Green 公式Gauss 公式推广推广一、高斯公式一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、通量与散度三、通量与散度机动目录上页下页返回结束高斯公式通量与散度第十一章一、高斯一、高斯(Gauss)公式公式定理定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲上有连续的一阶偏导数,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先证:函数 P,Q,R 在面所围成,的方向取外侧,则有(Gauss 公式公式)高斯目录上页下页返回结束 231zyxyxD),(yxRyxyxRdd),

2、(,),(:11yxzz 证明证明:设yxDyxyxzyxzyxz),(,),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd为XY型区域,),(:22yxzz 则yxyxRdd),(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd),(),(1yxz定理1 目录上页下页返回结束所以zyxzRdddyxRdd 若不是 XY型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 zyxyQdddyxRxzQzyPdddddd zy

3、xzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加,即得所证 Gauss 公式：定理1 目录上页下页返回结束例例1.用Gauss 公式计算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中为柱面122 yx闭域的整个边界曲面的外侧.解解:这里利用Gauss 公式,得原式=zyxzyddd)(zrrzrddd)sin(用柱坐标)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP,0QyxR及平面 z=0,z=3 所围空间思考思考:若改为内侧,结果有何变化?若为圆柱侧面(取外侧),如何计算?机动目录上页下页返回结束例例2.利用Gauss 公式计

4、算积分SzyxId)coscoscos(222其中为锥面222zyxhozyx解解:作辅助面,:1hz,:),(222hyxDyxyx取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于 z=0 及 z=h 之间部分的下侧.1,记h1所围区域为,则 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2机动目录上页下页返回结束 zyxzyxIddd)(2利用重心公式,注意0 yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4hhozyxh1机动目录上页下页返回结束例例3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设为曲面21,222

5、zyxz取上侧,求解解:作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD)1(20d10dr221drz202dcos103drr12131zoxy211用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标机动目录上页下页返回结束 coscoscoszvyvxv),(,),(yxvyxu在闭区域上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式Sd例例4.设函数uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中是整个边界面的外侧.uP xvuQ yvuR zv分析分析:zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd xv高斯公式222

6、222zvyvxv机动目录上页下页返回结束证证:令uP,xvuQ,yvuR,zv由高斯公式得222222zvyvxvuzyxdddcoscoscoszvyvxvuSd移项即得所证公式.(见 P171)xuyuyvzuzvxvuyxzvxzyvzyxvdddddd机动目录上页下页返回结束*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1.连通区域的类型连通区域的类型设有空间区域 G,若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G 为空间二维单连通域;若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,则称 G 为空间一维单连通域.例如例如,

7、球面所围区域环面所围区域立方体中挖去一个小球所成的区域不是二维单连通区域.既是一维也是二维单连通区域;是二维但不是一维单连通区域;是一维但机动目录上页下页返回结束 2.闭曲面积分为零的充要条件闭曲面积分为零的充要条件定理定理2.),(),(),(zyxRzyxQzyxP设在空间二维单连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则0ddddddyxRxzQzyPGzyxzRyQxP),(,0证证:“充分性”.根据高斯公式可知是的充分条件.的充要条件是:“必要性”.用反证法.使假设存在,0GM 00MzRyQxP已知成立,机动目录上页下页返回结束因P,Q,R 在G

8、内具有连续一阶偏导数,则存在邻域,)(0GM,)(0上使在M0zRyQxP的边界为设)(0M则由高斯公式得 yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPMddd)(00与矛盾,故假设不真.因此条件是必要的.取外侧,机动目录上页下页返回结束三、通量与散度三、通量与散度引例引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(理意义可知,设为场中任一有向曲面,yxRxzQzyPdddddd单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为SRQPdcoscoscosSnvd机动目录

9、上页下页返回结束若为方向向外的闭曲面,yxRxzQzyPdddddd当 0 时,说明流入的流体质量少于当 0 时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为当=0 时,说明流入与流出的流体质量相等.n流出的,表明内有泉;表明内有洞;根据高斯公式,流量也可表为zyxzRyQxPdddn机动目录上页下页返回结束方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性,M在式两边同除以的体积 V,并令以任意方式缩小至点 M 则有),(M记作VMlimzyxzRyQxPVMddd1lim),(limzRyQxPMMzR

10、yQxP此式反应了流速场在点M 的特点:其值为正,负或 0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.),(机动目录上页下页返回结束定义定义:设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P,Q,R 具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量 n,SnAd为向量场 A 通过有向曲面的通量(流量).在场中点 M(x,y,z)处称为向量场 A 在点 M 的散度.记作AdivzRyQxP机动目录上页下页返回结束 0divA表明该点处有正源,0divA表明该点处有负源,0divA表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强

11、度.0divA若向量场 A 处处有,则称 A 为无源场.例如例如,匀速场),(),(为常数其中zyxzyxvvvvvvv 0div v故它是无源场.P16 目录上页下页返回结束说明说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且*例例5.5.置于原点,电量为 q 的点电荷产生的场强为rrqE3.divE求解解:3ryy3rzz 3522rxrq5223ryr 5223rzr 03rxx),(3zyxrq)0(r计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.)0(r机动目录上页下页返回结束 qEdiv内容小结内容小结1.高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQx

12、Pddd应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP机动目录上页下页返回结束 2.通量与散度设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量场通过有向曲面的通量为 G 内任意点处的散度为),(RQPA SnAdzRyQxPAdiv机动目录上页下页返回结束思考与练习思考与练习,:2222取外侧设Rzyx所围立体,222zyxr判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxdddddd3333

13、33vrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxdddddd33331Rvzyxd)(3222 为机动目录上页下页返回结束作业作业P174 1(2),(4),(5);2(2);3;4第七节目录上页下页返回结束 00cosrn00rn 备用题备用题设是一光滑闭曲面,所围立体的体是外法线向量与点(x,y,z)的向径,222zyxr试证.dcos31VSr证证:设的单位外法向量为,cos,cos0n,0rzryrxr则coscoscosrzryrxSrdcos31Szyxdcoscoscos31vd331V的夹角,r积为V,cos机动目录上页下页返回结束高斯高斯(1777 1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.

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