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1、1第四节第四节 函数的极限函数的极限0 函数的极限函数的极限0 函数极限的性质函数极限的性质 2一、函数极限的定义一、函数极限的定义1.1.自自变变量量趋趋于于有有限限值值时时函函数数的的极极限限0()(1 1)时时,的的极极限限xxf x00000 (),0,0,0|,|()|,1 lim()()()(xxf xxAxxf xAf xxxAf xAf xAxx 设设在在点点 的的某某一一去去心心邻邻域域内内有有定定义义是是常常数数 若若使使当当时时 有有则则称称 是是函函数数当当时时的的极极或或当当限限 记记作作定定义义 这这种种函函数数极极限限的的表表示示方方法法称称为为方方法法.3 注注
2、：0000(1)()()()()f xxxf xxf xxf x当当时时有有无无极极限限与与在在点点是是否否有有定定义义无无关关,即即不不需需考考虑虑在在点点 的的情情况况 包包括括在在该该点点是是否否有有定定义义,以以及及有有定定义义时时的的取取值值情情况况).).(2)的的取取值值与与 有有关关,一一般般来来讲讲,越越小小,就就取取得得越越小小.00lim()0,0,0|,|()|.xxf xAxxf xA 当当时时有有1:定定义义 可可表表述述为为4单单侧侧极极限限00000000()(0,0,0)|()|,()lim()().设设函函数数在在 的的左左侧侧附附近近有有定定义义可可除除外
3、外),),是是常常数数,若若对对 当当(即即时时,有有 则则称称 是是当当时时的的,记记作作 或或左左 义义极极限限定定xxf xxxAxxxxxf xAAf xxxf xAf xA 0()(2 2)时时,的的极极限限xxf x5000lim()()().xxf xAf xf xA0上上述述结结论论提提供供了了讨讨论论分分段段函函数数在在分分段段点点处处注注是是否否:存存在在极极限限的的方方法法.x 00000000()(0,0,)|()|,()lim()().设设函函数数在在 的的右右侧侧附附近近有有定定义义可可除除外外),),是是常常数数,若若对对 当当(即即0 0时时,有有 则则称称 是
4、是当当时时的的,记记作作 或或 右右极极限限 定定义义xxf xxxAxxxxxf xAAf xxxf xAf xA 易易证证 0()(3 3)时时,的的极极限限xxf x62.2.自自变变量量趋趋于于无无穷穷大大时时函函数数的的极极限限()即即时时,函函数数值值的的变变化化情情形形xf x,|.自自变变量量 趋趋向向于于无无穷穷大大有有下下面面:表表示示 沿沿着着 轴轴正正半半轴轴趋趋于于正正无无穷穷大大;表表示示 沿沿着着 轴轴负负半半轴轴趋趋于于负负无无穷穷大大;表表示示 沿沿着着 轴轴的的任任意意方方向向趋趋于于无无穷穷大大,即即三三种种方方式式xxxxxxxxxxx7二、函数极限的性
5、质二、函数极限的性质0()lim1(),xxf x 函函数数极极限限的的如如果果存存在在则则唯唯这这 极极定定一一性性理理限限唯唯一一.00()lim(),00,0|,|()|.2xxf xAMxxf xM 如如果果则则存存在在常常数数和和使使得得当当时时 有有 函函数数极极限限的的局局部部 定定 理理有有界界性性800()lim(),00,0|,|()|.2xxf xAMxxf xM 如如果果则则存存在在常常数数和和使使得得当当时时 有有 函函数数极极限限的的局局部部 定定 理理有有界界性性00 ()lim(),0(0),0,0|,()0()0).3 局局如如果果且且或或则则定定存存在在当当
6、时时理理部部或或保保性性有有号号xxf xAAAxxf xf x00()0()0)lim()0(0).xxxf xf xf xAAA 如如果果在在 的的某某一一去去心心邻邻域域内内或或，且且，或或推推论论 那那么么9思思考考题题000lim(),lim(),0,0|,()().xxxxf xAg xBABxxf xg x 3.3.若若且且则则存存在在当当时时 有有1.1.若极限若极限0lim()xxf x 存在存在,00lim()()?xxf xf x 是否一定有是否一定有2.2.设函数设函数且且1lim()xf x存在存在,则则 .a 2,1(),21,1a xxf xxx 1000lim()lim()02xxxxABf xAg xB 3.3.证证 因因，取取，1010,0|()2ABxxf xA 则则当当时时,有有，2020,0|()2ABxxxB 当当时时,有有g g，12取取=min,=min,00|,xx 则则当当时时 有有()().2ABxf x g g思思考考题题解解答答
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