数理方程与特殊函数钟尔杰例题与习题1.ppt

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1、1/16习题习题2.4,2题题(求方程通解求方程通解)(1)uxx+10 uxy+9 uyy=0解解:特征方程特征方程09102 0)9)(1(1 dxdy9 dxdy1Cxy 29Cxy yx yx 9 原方程化简为原方程化简为0 u)()(gfu )9()(yxgyxfu 其中其中,f 和和 g 是任意函数是任意函数2/16 0),3sin(0,00,0,0002tttxxxxttuxuuutxuau 例例1.分离变量法求解分离变量法求解 波动方程定解问题波动方程定解问题 1)sin()sin()cos(),(nnnnxantDantCtxu 3,13,0)sin()3sin(20nndn

2、Cn 0)sin(0210 dnanDn解解:利用公式利用公式)3sin()3cos(),(xattxu 3/1600.20.40.60.8100.511.500.20.40.60.8100.511.500.20.40.60.8100.511.5 1)12sin(1214)(kxkkxf 1,0,01,01xx，4/16例例6P.51解解:设设 u(x,t)=v(x,t)+W(x)代入方程代入方程,可得可得09894 W20,0 xxWW W=x2利用叠加原理利用叠加原理,得得0,3sin0,0000 tttxxvxvvv)0,0(94 txvvxxtt 0,3sin,002020 tttxx

3、uxxuuu )0,0(9894 txuuxxtt 5/16xttxv3sin2cos),(1)sin()32sin()32cos(),(nnnnxntDntCtxvxnxCnn3sin)sin(1 3,13,0nnCn0)sin(321 nnnxnD Dn=023sin2cos),(xxtWvtxu 6/16热传导方程热传导方程第一类边界第一类边界方程的方程的Fourier解解 1)(sin),(2ntnannxeBtxuxxnxBnn3sin2sinsin1 B1=1,B3=2,Bn=0 )3,1(nxexetxutata3sin2sin),(22)3(0,03sin2sin)0,0(00

4、2 xxtxxtuuxxutxuau初始条件初始条件 7/16习题习题3.1第第1题题(1)(,00,0000 xLxuuuutttLxx )0,0(2 tLxuauxxtt解解:固有值问题固有值问题 0)(,0)0(0,0LXXLxXX 固有值固有值2)(Lnn 固有函数固有函数xLnXn sin n=1,2,1)sin()sin()cos(),(nnnxLnatLnDatLnCtxu 利用初值条件利用初值条件0)sin(1 nnxLnC 8/16)()sin(1xLxxLnDLannn Cn=0 LnxdxLnxLxLDLan0sin)(2 LLxdxLnxLnLxdxLnxLx00cos

5、)2(sin)(1cos)(2sin)(2302 nnLxdxLnnLL)1(1)(443nnnaLD 所以所以 1443sinsin)1(1 4),(nnxLntLannaLtxu 9/16习题习题3.2第第1题题)(0,000 xLxuuutLxx )0,0(2 tLxuauxxt解解:固有值问题固有值问题 0)(,0)0(0,0LXXLxXX 固有值固有值2)(Lnn 固有函数固有函数xLnXn sin n=1,2,1)sin()exp(),(nnxLnatLnAtxu 利用初值条件利用初值条件)()sin(1xLxxLnAnn 10/16 LnnnLxdxLnxLxLA0332)1(1

6、 4sin)(2 1332)sin()exp()1(1 4),(nnxLnatLnnLtxu 00.5100.5100.5100.5100.51-10111/16固有值问题固有值问题I 0)(,0)0(0,0LXXLxXX xLnBxXnn sin)(222Lnn 00.20.40.60.8100.51xsin(x)12/16 0)(,0)0(0,0LXXLxXX 固有值问题固有值问题II2224)12(Lnn xLnBxXnn2)12(sin)(00.20.40.60.81-1-0.500.51xsin(1+1/2)x)13/16 0)(,0)0(0,0LXXLxXX 固有值问题固有值问题I

7、II2224)12(Lnn xLnAxXnn2)12(cos)(00.20.40.60.81-1-0.500.51xcos(1+1/2)x)14/16 0)(,0)0(0,0LXXLxXX 固有值问题固有值问题IVxLnAxXnn cos)(222Lnn 00.20.40.60.81-1-0.500.51xcos(x)15/16 0,0)0(0,0LxhXXXLxXX 固有值问题固有值问题V通解通解:xBxAxX sincos)(X(0)=0A=00 LxhXXxBX sin 0sincos LhL hL tanLhvv tan令令Lv vy2 Lvkk kvkk )21(k=1,2,)16/16 0)1()1(,0)0(0XXXXX tan00.20.40.60.81-1-0.500.51xBX sin 2.0288 4.9132 7.9787 11.08551 2 3