第五章分析力学.docx

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1、第五章分析力学本章要求(1)掌握分析力学中的一些基本概念;(2)掌握虚功原理;(3)掌握拉格朗日方程;(4)掌握哈密顿正则方程。第一节约束和广义坐标一、约束的概念和分类加于力学体系的限制条件叫约束。按不同的标准有不同的分类:按约束是否与时间有关分类:稳定约束、不稳定约束;按质点能否脱离约束分类:可解约束、不可解约束;按约束限制范围分类:几何约束(完整约束)、运动约束(不完整约束)。本章只讨论几何约束(完整约束),这种约束下的体系叫完整体系。二、广义坐标1、自由度描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度。设体系有n个粒子,一个粒子需要3个坐标(如x、v、Z)描述,而体系受有K个约束条

2、件,则体系的自由度为(3n-K)2、广义坐标描述力学体系的独立坐标叫广义坐标。例如:作圆周运动的质点只须角度用描述,广义坐标为,自由度为1,球面上运动的质点,由极角和0描述,自由度为2。第二节虚功原理本节重点要求:掌握虚位移、虚功、理想约束等概念;掌握虚功原理。如果约束为固定约束,则实位移是虚位移中一的个;若约束不固定,实位移与虚位移无共同之处。例如图5.2.1中的质点在曲面上运动,而曲面也在移动,显然实位移d7与虚位移而不一致。二、理想约束设质点系受主动力?和约束力A的作用,它们在任意虚位移中作的功叫虚功。若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零,则这种约束叫理想约束。光滑面、光滑线

3、、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。三、虚功原理1、文字叙述和数学表示:受理想约束的力学体系,平衡的充要条件是:作用于力学体系的诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零。即.月,阿=O小?-0(1)适用条件:惯性系、理想不可解约束。2、推论设系统的广义坐标为,qa,qs,虚位移可写为用广义坐标变分表示的形式:以=2E旦定义:1?的。称为相应于广义坐标5的广义力,则虚功原理表述为:理想约束的力学体系平衡的充要条件为质点系受的广义力为零,即:Qa=0(=l,2,,s)(2)3、用虚功原理求解平衡问题的方法步骤一般步骤为:(1)确定自由度,选取坐标系,分析力(包括主动力、约束力);(2)选取广义坐标

4、并将各质点坐标彳表示成广义坐标qa的函数:A加1,%,q);(3)求主动力的虚功并令其为零:=,由此求出平衡条件。例见书P276例1第三节拉格朗日方程本节重点要求:(1)掌握拉格朗日方程的两种形式,方程的特点和适用条件等;(2)掌握用拉格朗日方程求解具体问题的步骤;(3)了解循环积分等概念。一、基本形式的拉格朗日方程1、方程的推导由牛顿第二定律并应用理想约束的条件三凡比=O,可以得到达朗伯拉格朗日方程:(月-崎)a=o将坐标。的变分改成用广义坐标q,qs的变分表示,即:T=ymr2Qa=经数学运算,令2T(称为体系的动能),(称为相应于qa的广义力),则(1)式变为:d(TT、般卜际山S)这就

5、是基本形式的拉格朗日方程,应注意:(2)实际是一组方程。2、方程的适用条件:理想约束。二、保守系的拉格朗日方程设作用于体系的力全为保守力,则广义力Q可由可=一%(V为势能)求得:QJWF=一五在普遍形式的拉氏方程(2)中,由于V不包含广义速度。,可令:1.=T-V(动能与势能的差)为拉格朗日函数,则(2)式变为:d(LL=.S)应指出(3)的适用条件为保守系,理想约束,且(3)应用很普遍。三、应用拉格朗日方程求解问题的步骤,例一般步骤:画草图,确定自由度S和广义坐标qa;分析主动力,若为保守系,则求出势能V;若为非保守力,则计算广义力Qa;求动能T=T(7);对保守系,求出L=T-V,进而代入

6、方程(3),写出运动方程;对非保守系,将T和广义力Qa代入方程(2),写出运动方程。解方程,求出q(t)o例1P2654.10题圆环在光滑圆圈上运动,而圆圈绕垂直圆面的轴作匀角速运动,求圆环运动规律。解:方法一:牛顿力学方法(已在第四章第三节作为举例计算)方法二:用拉格朗日方程求解。这是光滑圆圈且受的力只有重力和约束力,属于保守体系,可采用保守系的拉氏方程求解。质点自由度为1,转角e为广义坐标,广义速度为任一角度712T=wv时圆环(视为质点)的动能2,其中绝对速度V可由速度合成公式求出:Y=vr这里IVl=(方向沿切线方向),牵连速度Qvr=Lyxrl=Lqp,l.v/=2dcos-云A古1

7、r,r1II,大小为2,万向垂直于op。由速度合成公式得到:V2=v,2Vj2v,vtcosT=nv2=-m4a2a2cos2+2242tcos2动能:22_22_取圆平面为零势能位置,则VR,从而L=T-V=T-O=T代入拉氏方程(2)中:色俘1一10.dt,得到百*sm8=0四、循环积分。若拉氏函数L中某一坐标3不出现,则该坐标讣叫循环坐标,则LLL.bi瓯(常数),两叫循环积分。第五节哈密顿正则方程本节不作重点要求。基本要求是:了解正则坐标、正则动量的概念和正则方程及其应用。一、哈密顿函数设力学体系的广义坐标为偿,广义速度为3,则拉格朗日函数zP 典工. L定义广义动量 助,则函数iLH

8、Q.心叫哈密顿函数。它是广义坐标、广义动量的函数,而广义坐标、广义动量称为正则变量。特例:对保守体系,H=T+V(动能与势能之和)二、哈密顿正则方程哈密顿函数满足的方程为:由该方程组也可探讨运动规律。方程组(1)叫哈密顿正则方程。三、用哈密顿正则方程求解问题的步骤一般步骤为:确定自由度r和广义坐标久求动能T和势能V,写,、P吐出拉格朗日函数求广义动量范,将T和V中的纭换为与,写出H=T+V=H(%,己)、写出正则方程,进而解方程。例电子的运动(见书P314-316)最后指出:拉格朗日方程和哈密顿正则方程都是分析力学中的基本方程,其作用与牛顿第二定律一样,其中拉氏方程为二阶微分方程,哈密顿正则方程为一阶微分方程,但个数比前者多一倍。

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