最新版圆锥曲线专题17之9 曲线系方程.docx

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1、专题2少林双截棍曲线系方程独孤九剑是风清扬传给令狐冲的绝门秘籍,不同于其他的招数,独孤九剑是根据对方的套路后发而至的套路,相当于无招胜有招,曲线系就相当于独孤九剑,有着无招胜有招的功效,牢牢抓住两对直线活动的轨迹就是圆锥曲线这一特点,只要是与点与斜率有关的都可以利用这一原理搞定,堪称圆锥曲线的无招胜有招.当然了本节前两讲有点大材小用的味道,或者说这种优势体现不明显(因为题目难度本身不大)后两节圆系和曲线系有着非常优势的体现,本书将利用2020全国一卷2018北京卷2020北京卷等几道真题详细说明这一点,利用平移后曲线系更是曲线系的神来之笔,采用先退后进的方法一举将这些题轻松拿下.第一饼直线系概

2、念:具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系.它的方程称直线系方程.几种常见的直线系方程:(1)过已知点P(XO,%)的直线系方程y-%=A(X-Xo)(Z为参数).(2)斜率为Z的直线系方程y=h+方(少是参数).(3)与已知直线Ar+gy+C=0平行的直线系方程4r+3.v+2=0(4为参数).(4)与已知直线Ar+3),+C=O垂直的直线系方程8r-Ay+4=0(4为参数).(5)过直线(:AX+q-y+=0与/2:4%+4丁+。2=0交点的直线系方程为:1x+1y+C1+/(2x+y+C2)=0(/为参数)我们先来看看教材中的例题.引例1(必修2,2.1.4两条直线交点的例2).直

3、线/经过原点,且经过另两条直线2工+3尹8=0,4-、-1=0的交点,求直线1的方程.教材的方法为求出两条直线的交点,再求直线/.换成下面的变式:引例1变式.直线I经过点(2,1),且经过另两条直线lb+13y+8=0,8x-9y-1=0的交点.求直线/的方程.不难发现教材方法的问题是计算量偏大.此时,若采用直线系方程,即设所求直线1方程为:llx+13y+8+(8x-9y-l)=0,将x=2,y=1代入求出A的值为,回代即得直线/的方程.这就是利6用直线系解题的一种典型做法.【例1】(泉汾月考)过两直线4:2x-y+l=0,,2:x+3y-2=0的交点,且在两坐标轴上截距相等的直线方程可以为

4、()A.7x+7y+4=0B.7x+7j-4=0C.7x-7y+6=0D.7x-7y-6=0【例2】(长丰期末)己知直线方程/2x+3y-5=0与,2:3x+2y5=0,(1)求两直线的交点;(2)求经过交点,且与直线x+4y+3=0平行的直线方程.【例3】(重庆月考)(1)求经过点(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程;(2)求过宜线x-2y-3=0与2-3y-2=0的交点,且与7x+5y+1=0垂直的直线方程.第二稀圆系概念:具有某种共同属性的圆的集合,称为圆系.几种常见的圆系方程:(D同心圆系(x-%)2+(y-%)2=/,/、方为常数,厂为参数.(2)过两已知圆C:工(乂丁)=12

5、+),2+。俨+&),+=().和C2:f2(x,y)=x2+/+D2x+E2y-F2=0的交点的圆系方程为x2+y2-Dix+Ely+Fl+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=O(-i)若见=一1时,变为(。-2)+(g-G)y+石一6=0,则表示过两圆的交点的直线.其中两圆相交时,此直线表示为公共弦所在直线,当两圆相切时,此直线为两圆的公切线,当两圆相离时,此直线表示与两圆连心线垂直的直线.(3)过直线与圆交点的圆系方程:设直线L:Ar+5y+C=0与圆C:/+y2+Dx+Ey+尸=()相交,则过直线L与圆C交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+y+C)=().我们先来看一

6、个教材中的问题.引例2(必修2,2.2.3圆与圆的位置关系的习题2.2(2)思考运用第6题),已知一个圆经过直线/:2x+y+4=0与圆C:/+y2+2x-4y+l=0的两个交点,并且有最小面积,求此圆的方程.常规方法依然是求出直线和圆两个交点.则所求圆是以这两个点为直径的圆.此法的症结依然是在求交点上.如果消元后无法十字相乘,那么运算量就会很大.但是我们采用曲线系方程,先设过直线和圆两交点CC4-1的圆方程为X2+y2+2x-4y+(2x+y+4)=0,再配方得到圆心(T_九方_),利用圆心在直线1.2x+y+4=0上就可以确定人进而求出圆的方程.这是圆系方程的典型方法.【例4】(吉安期末)

7、垂直平分两圆f+y2_2x+6y+2=0,/+9+4-2y-4=0的公共弦的直线方程为()A.3x-4y-3=0B.4x+3y+5=0C.3x4y+9=0D.4x-3y+5=0【例5】(红塔期末)已知圆M的圆心在直线x-y-4=0上并且经过圆Y+)?+6x-4=0与圆X2+6y-28=0的交点,则圆M的标准方程为.【例6】(金安期末)已知圆G:f+y2=i,圆C2:(x-4)2+y2=25,则两圆公切线的方程为.第三锦圆系具有某种共同属性的圆的集合几种常见的圆系方程:(1)同心圆系:(/一XO):+(y-%)2=/,/,九为常数,r为参数.(2)过两已知圆C*,y)=+y2+Od+gy+z=o

8、和C2:f2(x,)=+y2+D2x-E2y+F2=O的交点的圆系方程为:X2+y2+Dix+Ely+F+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1),若2=-1时,变为(Dl-D2)x+(El-E2)y+Fi-F2=O1则表示过两圆的交点的直线.其中两圆相交时,此直线表示为公共弦所在直线,当两圆相切时,直线为两圆的公切线,当两圆相离时,此直线表示与两圆连心线垂直的直线.(3)过直线与圆交点的圆系方程:设直线/:Ar+8y+C=O与圆。:/+9+OX+),+尸=o相交,则过直线/与圆C交点的圆系方程为x2+y2+DxEyF+(Ax+By+C)=0.曲线系:两相交直线与圆锥曲线相交构成的共同

9、属性的集合.两条直线所组成的二次曲线方程:(4x+bF+c)(2X+82丁+。2)二。圆锥曲线上的四点共圆问题:设圆锥曲线方程为A*+Cy2+D.r+Ey+F=0,则存在四点共圆的情况必为Ax2+Cy2+Dx+Ey+F+1+bly+b2y+c2)=O,由于没有盯的项,必有ayb2+a2b=O.定理:圆锥曲线的内接四边形ABCD出现四点共圆时,一定有任何一组对边对应所在的直线倾斜角互补.其方程可以写成Ax2+Cy2+Dx+Ey+F+1(r+yc1)(0r-by+c2=O,此时A+1a2=C-Ib2,方程表示一个圆.证明四点共圆的套路:L设出曲线系方程,解出/;2.根据4/?2=斤+石24/0证明

10、四点一定共圆.【例7】(2014全国大纲卷)已知抛物线。:9=2_(0)的焦点为广,直线),=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且IQEI=*1PQI.4(1)求C的方程;(2)过尸的直线/与C相交于A,8两点,若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求/的方程.小结解决此类问题的步骤如下:找出两条直线,这两条直线上的四个点在某条曲线上.找出过这四个点的曲线构造等式.通过已知条件对比某些项的系数,求出未知数.如上题中四点共圆,则含冲项的系数为零.【例8】设A,B是双曲线V-二=4上的两点,点N(l,2)是线段A8的中点,线段AB的垂直平2分线交双曲线于C,。两

11、点.(1)确定实数/1的取值范围;(2)试判断A,B,C,。四点是否共圆?并说明理由.(2014年高中联赛湖北预赛题)第日用二次曲线系的综合运用一、首先要了解的是二次曲线的三条线:1、过曲线上一点与曲线相切的直线,称为切线.2、过曲线外一点引两条切线,得到两个切点,这两个切点连成的直线,称为切点弦.3、过曲线内一点任作两条弦,与曲线有四个相异的交点,与两条弦相异的两组点连成的两条直线的交点的轨迹,这种情况最常见(特别地,当这两条弦重合时,即过该点作一条弦与曲线交于两点时,对应的交点为过这两点的切线的交点,称为虚切线.贯穿本节的一个基本原理是:过两个二次曲线/(x,y)和以X,y)的交点的二次曲

12、线系,可以记为/l(x,y)+g(x,y)=0.实际处理当中,有时候会列出等式f(x,y)+g(My)+z(x,y)=0(注意三个函数仅有一个前的系数是1)一般来说高考中出现的二次曲线为两对直线(四条直线)与一圆锥曲线组成的体系,通过添加系数,包含三个元素,两对直线各算一个元素,圆锥曲线算另一个元素,(如果遇到切点弦,可以看成两条靠的很近的直线,如果遇到三角形,可以把一个顶点看成两条靠的很近的点,这“两个靠的很近的点”构成的直线可以认为是三角形那个顶点对应的切线)通过添加系数,可以通过其中的任意两个元素来表示第三个元素,从而建立等式,列出方程求解,特别的,有的时候为了方便计算,需要平移坐标系.

13、2【例9】(2020新课标I)已知人分别为椭圆E:=+)a=l(ai)的左、右顶点,G为E的上顶点,AG.GB=S.2为直线x=6上的动点,QA与E的另一交点为C,必与E的另一交点为O.(1)求E的方程;(2)证明:直线8过定点.本题方法很多,曲线系是计算量较小的一种22【例10】(2020北京)已知椭圆u+=l过点A(-2,-1),且=2Z?.arW(1)求椭圆C的方程;(2)过点8(T,0)的直线/交椭圆C于点M,N,直线MA,N4分别交直线X=Y于点P,Q.求臆的值.本题直接做需要用到非对称韦达定理计算量大,若采用特殊的曲线系,三角形的情况引入切线方程构成曲线系将非常方便.r+r=_1【

14、例11】已知椭圆84,点P(IJ),任作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,AP与椭圆交于点C,BP与椭圆交于点D,求证:CDIIAB.本题若直接运算,计算量很大,采用曲线系特别是平移后的曲线系会很方便通过上面两种方法对比,可以明显看出平移后的明显优势【例12】(2008全国联赛一试改编)P(2r,2t)是抛物线y2=2x上的动点,点B,C在y轴上,圆(x-+/二内切于APBC,求将8,C两点间距离表示为关于/的函数关系式.将其平方变成为二次曲线2-1)彳+2-2/了=0(%可以表示为两条靠得很近的直线,这样子就可以形成一个四边形为了保证次数一致,故将其平方)所以双直线PA,PC方程可以表

15、示为x2+y2-2x+(2/-)+2ty-2户了=O.【例13(沈河期末)已知椭圆C:二+二=l(bO)的离心率为2,半焦距为(),且-c=l,经arb3过椭圆的左焦点耳斜率为4&HO)的直线与椭圆交于A、B两点,O为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设R(LO),延长AR,砒分别与椭圆交于C、拉两点,直线8的斜率为取,求鲁的值及直线8所经过的定点坐标.上题可以归纳为更一般的形式:归纳:在椭圆二十=1中,M(?,0)为.r上任一点(不与端点重合),过M作一条直线交椭圆于4?两点,crbM,0)为异于M的另一点,ANBN分别与椭圆交于另一点C、D,设直线AB的斜率为勺,直线CD斜率为K,则8过定点,定点坐标为尸L2*,O);(2)-=ln一.2mn-n-a2a+n-Imn【例14】(2018北京文)已知椭圆m*=l(80)的离心率为,焦距为2五.斜率为女的直线/与椭圆M有两个不同的交点A、B.(1)求椭圆M的方程;(2)若欠=1,求A8的最大值;(3)设P(-

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