双曲线及其标准方程 教学设计.docx

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1、双曲线及其标准方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握双曲线的定义和标准方程,以及标准方程的推导.(二)能力训练点在与椭圆的类比中获得双曲线的知识,从而培养学生分析、归纳、.推理等能力.(三)学科渗透点本次课注意发挥类比和设想的作用,与椭圆进行类比、设想,使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识.二、教材分析1 .重点:双曲线的定义和双曲线的标准方程.(解决办法:通过一个简单实验得出双曲线,再通过设问给出双曲线的定义;对于双曲线的标准方程通过比较加深认识.)2 .难点:双曲线的标准方程的推导.(解决办法:引导学生完成,提醒学生与椭圆标准方程的推导类比.)3 .疑点:双曲线的方程

2、是二.次函数关系吗?(解决办法:教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决,同时让学生在课外去研究在什么附加条件下,双曲线方程可以转化为函数式.)三、活动设计提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结.四、教学过程(一)复习提问1 .椭圆的定义是什么?(学生回答,教师板书)平面内与两定点Fl、F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.教师要强调条件:(1)平面内;(2)到两定点Fl、F2的距离的和等于常数;(3)常数2aFlF2.2 .椭圆的标准方程是什么?(学生口答,教师板书)焦点在嫡上的椭圆标准方程为4+=l(abO)焦点在曾由ab上的椭圆标准方

3、程为p-+p=l(abO).(二)双曲.线的概念把椭圆定义中的“距离的和改为距离的差”,那么点的轨迹会怎样?它的方程是怎样的呢?1 .简单实验(边演示、边说明)如图223,定点Fl、F2是两个按钉,MN是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管,点M移动时,IMFlHMF2|是常数,这样就画出曲线的-一支;由IMF2HMF1是同一常数,可以画出另一支.注意:常数要小于F1F2,否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线.2 .设问问题1:定点Fl、F2与动点M不在平面上,能否得到双曲线?请学生回答,不能.强调“在平面内”.问题2:IMFIl与IMF2|哪个大?请学生回答,不定:当M在双曲线

4、右支上时,IMFlIMF2;当点M在双曲线左支上时,MF1F1F2时,无轨迹.3 .定义在上述基础上,引导学生概括双曲线的定义:平面内与两定点Fl、F2的距离的差的绝对值是常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点Fl、F2叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距.教师指出:双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆,不要死记.(三)双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设问:求椭圆的方程的一般步骤方法是什么?不要求学生回答,主要引起学生思考,随即引导学生给出双曲线的方程的推导.标准方程的推导:(1)建系设点取过焦点Fl、F2的直线为

5、X轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图224)建立直角坐标系.F2的坐标分别设M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距是2c(c0),那么FI、是(-c,0)、(c,0).又设点M.与Fl、F2的距离的差的绝对值等于常数.(2)点的集合由定义可知,双曲线就是集合:P=MMFl-MF2=2a)=(MMFl-MF2=2a).(3)代数方程VMFl=(x+c)jy3.MEl=7(x-c)j+y(x+c)2*y2-(x-c)ay2=2a.(4)化简方程(由学生演板)将这个方程移项,两边平方得:(x+c)3y3=4a4aJ(xc)+y+(x-c)3+y3.X = -l+JAPcos45*=|AP

6、|sm45。化简得:2cosa1since-coscesnaSIna-cosa(QX=ljMPcosay=IMPISina两边再平方,整理得:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)由双曲.线定义,2c2a即ca,所以c2-a20.设c2-a2=b2(b0),代入上式得:b2x2-a2y2=a2b2.这就是双曲线的标准方程.两种标准方程的比较(引导学生归纳):()三l.=l(a0,b0)表示焦点祗轴上的双曲线焦点居卬0)、F3(c,0),这里=M+b%Ya=3b0)表示焦点在弹上的双曲线,焦点是耳(0,-c)wFa(0,c)这里c=a?+b*只

7、须将(1)方程的x、y互换即可得到).教师指出:(1)双曲线标准方程中,a0,b0,但a不一定大于b;(2)如果x2项的系数是正的,那么焦点在X轴上;如果y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上.(3)双曲线标准方程中a、b、C的关系是c2=a2+b2,不同于椭圆方程中c2=a2-b2.(四)练习与例题1 .求满足下列的双曲一线的标准方程:焦点Fl(-3,0)、F2(3,0),且2a=4;2 .证明:椭圆各W=I与双曲线,“5/=15的焦点相同.由学生演板完成.椭圆焦点耳(40)、F4.0).双曲线焦点FI(40)耳(4,0).3 .已知两

8、点Fl(-5,0)、F2(5,0),求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程.如果把这里的数字6改为12,其他条件不变,会出现什么情况?由教师讲解:按定义,所求点的轨迹是双曲线,因为c=5,a=3,所以b2=c2-a2=52-32=42.因此,所求方程是号即(=L因为2a=12,2c=10,且2a2c.所以动点无轨迹.(五)小结1.定义:平面内与两定点Fl、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2)的点的轨迹.2.标准方程,-j,= 1(a0 bQ),-j0=l(aO, b0)3.图形(见图2-25):4.焦点:Fl(-c,0)、F2(c,0);F1(O,-c)F2(0,c).5. a

9、、bc的关系,:c2=a2+b2;c=a2+b2.五、布置作业1 .根据下列条件,求双曲线的标准方程:(D焦点的坐标是(-6,0)、(6,0),并且经过点A(-5,2);(2)点P(3,27)和Q(6)-7),焦点在州上.2 .己知二+Wr=I表示双曲线,求出取值范围.1+k1-k3 .已知圆锥一曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m0b0)-1(a0b0)y22p0)总九UlIk范围-XG-byQ0yR关于x56y地对新关于朦点时称关于X轴.y轴对称关于朦点对秣关于X辑对称顶点g.OXa,0)(0,b0,b)(Y,o0)(0,0)离心率0-lQe-1渐进线无y士X无2.由(l+k)(l-k)VO解得:kVl或kl3.原方程可化为:+=1(m*n)m(mn)/n0.,故此曲线为焦点在井上的双曲缥a3=,mnnmnn_r/mn2C=际YH,焦点FI(0,m2-n2FT)、耳。m2-2mn

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