蒙特卡罗方法完整教程.docx

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1、MonteCarlo方法法1概述MonteCarlo法不同于确定性数值方法，它是用来解决数学和物理问题的非确定性的（概率统计的或随机的）数值方法。MonteCarlo方法（MCM）,也称为统计试验方法,是理论物理学两大主要学科的合并：即随机过程的概率统计理论（用于处理布朗运动或随机游动试验）和位势理论，主要是争论匀称介质的稳定状态。它是用一系列随机数来近似解决问题的一种方法,是通过查找一个概率统计的相像体并用试验取样过程来获得该相像体的近似解的处理数学问题的一种手段。运用该近似方法所获得的问题的解inspirit更接近于物理试验结果，而不是经典数值计算结果。普遍认为我们当前所应用的MC技术，其

2、进展约可追溯至1944年，尽管在早些时候仍有很多未解决的实例。MCM的进展归功于核武器早期工作期间LOSAlamOS（美国我国试验室中子散射争论中心）的一批科学家。LosAlamoS小组的基础工作刺激了一次巨大的学科文化的迸发，并鼓舞了MCM在各种问题中的应用RMjMonteCarlo”的名称取自于Monaco（摩纳哥）内以赌博消遣而著名的一座城市。MonteCarlo方法的应用有两种途径：仿真和取样。仿真是指供应实际随机现象的数学上的仿照的方法。一个典型的例子就是对中子进入反应堆屏障的运动进行仿真，用随机游动来仿照中子的锯齿形路径。取样是指通过争论少量的随机的子集来演绎大量元素的特性的方法。

3、例如，/（x）在vx。上的平均值可以通过间歇性随机选取的有限个数的点的平均值来进行估量。这就是数值积分的MonleCark）方法。MCM已被胜利地用于求解微分方程和积分方程，求解本征值，矩阵转置，以及尤其用于计算多重积分。任何本质上属随机组员的过程或系统的仿真都需要一种产生或获得随机数的方法。这种仿真的例子在中子随机碰撞，数值统计，队列模型，战略嬉戏，以及其它竞赛活动中都会消失。MonteCarlo计算方法需要有可得的、听从特定概率分布的、随机选取的数值序列。2随机数和随机变量的产生5一10全面的论述了产生随机数的各类方法。其中较为普遍应用的产生随机数的方法是选取一个函数g（x）,使其将整数变

4、换为随机数。以某种方法选取与,并依据Z+1=g（xk）产生下一个随机数。最一般的方程g（x）具有如下形式：g（x）=（0r+c）mod机（1）其中=初始值或种子（X。0）乘法器（0）C=增值（c0）m二模数对于/数位的二进制整数，其模数通常为2、例如，对于31位的计算机机即可取231。这里x0,和C都是整数，且具有相同的取值范围相a,mc,mx0o所需的随机数序卜便可由下式得(2)+=(4x,+c)md7该序列称为固性闻余序闻例如，若XO=c=7且机=10,则该序列为7,6,9,0,7,6,9,0(3)可以证明，同余序列总会进入一个循环套；也就是说，最终总会消失一个无休止重复的数字的循环。(3

5、)式中序列周期长度为4。当然，一个有用的序列必是具有相对较长周期的序列。很多作者都用术语乘何M和据今闻M分别指代C=O和CHO时的线性同余法。选取%,c和加的法则可参见6,10。这里我们只关怀在区间(0,1)内听从匀称分布的随机数的产生。用字符U来表示这些数字，则由式(2)可得XU=q(4)m这样U仅在数组,lm,2町，(加一1)/帆中取值。(对于区间(0)内的随机数，一种快速检测其随机性的方法是看其均值是否为0.5。其它检测方法可参见3,6。)产生区间(,加内匀称分布的随机数X,可用下式X=a-(b-a)U(5)用计算机编码产生的随机数(采用式(2)和(4)并不是完全随机的；事实上，给定序列

6、种子，序列的全部数字U都是完全可猜测的。一些作者为强调这一点，将这种计算机产生的序列称为伪婚抗教但假如适当选取凡。和加，序列U的随机性便足以通过一系列的统计检测。它们相对于真随机数具有可快速产生、需要时可再生的优点，尤其对于程序调试。MonteCarlo程序中通常需要产生听从给定概率分布尸(X)的随机变量X。该步可用6,中的几种方法加以实现，其中包括苴雌和舍去滋；直接法(也称反演法或变换法)，需要转换与随机变量X相关的累积概率函数F(X)=PrOb(XQ(即：/(%)为Xx的概率)。0/(x)1明显表明，通过产生(0)内匀称分布随机数U，经转换我们可得听从尸(幻分布的随机样本X。为了得到这样的

7、具有概率分布户(%)的随机数X,不妨设U=JF(X),即可得X=K(U)(6)其中X具有分布函数/)。例如，若X是均值为呈指数分布的随机变量，且F(x)=l-,0x人时的/(X)=O,且F(X)上界dx为M(即：f(x)M),如图1所示。我们产生区间(0,1)内的两个随机数(U,U?),则X1=a+(b-a)Ui1=U2M(10)分别为在(a,b)和(0,M)内匀称分布的随机数。若1(X1)(11)则K为X的可选值，否则被舍去，然后再试新的一组(。1,口2)。如此运用舍去法，全部位于f(x)以上的点都被舍去，而位于F(X)上或以下的点都由X1=a+(b叫来产生XO图1 舍去法产生概率密度函数为

8、f(x)的随机变量例1设计一子程序使之产生0,1之间呈匀称分布的随机数Uo用该程序产生随机变。，其概率分布由下式给定T(9)=-(1-cos9),09J-SJ-X或者2(x)=x2-X2(16)方差的平方根称为斯准塞，即-(x)=(-x2)lz2(17)标准差给出了X在均值元四周的分布测度，并由此给出了误差幅度的阶数。戈的标准差与X的标准差的关系表示为。()=噌(18)该式表明，假如用依据(13)式由N个乙值构成的来估量工，那么结果中S在工四周的集中范围便与b(x)成比例，且随着样本数N的增加而降低。为了估量攵的集中范围，我们定义律初建为1NS2=y-x)2(19)由此式还可看出S?的期望值等

9、于2()。因此样本方差是(X)的无偏估量。将(19)式中平方项乘出来，便可得样本标准差为(20)当N较大时，系数N(N-1)可设为1。作为获得中心极限定理的一种方法，概率论的一个基本解可考虑二次项函数B(M) =-PMqN-MM!(N M)!(21)该式表明N次独立随机试验中有“次胜利的概率。(21)中，P是一次试验中胜利的概率,且g=l-p0当M和N-M都较大时，便可用SHrling公式n,eny2n(22)因此(21)式可近似为正态分布17B(M)f(x)=1exp-,二?(23)(x)y2L2x)J其中元=NP且(x)=NNPq。因此当N时，中心极限定理表明，描述由N点MonteCarlo算法获得的的分布的概率密度函数是(23)式所示的正态分布函数/(x)。也就是说,大量随机变量的集合趋于呈正态分布。将(18)式代入(23)式可得IV 1/V(X-X)2I/一、=lk-TTexP-G2/、(24)V 2(x)_2(X)正态(高斯)分布在工程，物理以及统计学的各类问题中都特别有用。高斯模型的显著特性源于中心极限定理。因此，高斯模型常常用于其影响程度取决于由很多不规章的、浮动的元素构成的集合的状况。例2中我们给出了依据中心极限定理产生高斯随机变量的算法。由于样本数N是有限的，