中科大光学讲义05衍射光栅.docx

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1、第五章衍射光栅如果光波在其传播路径上遇到某种障碍物，则将产生衍射，从一般意义上， 光路上障碍物被定义为衍射屏。衍射屏的作用，就是破坏原有自由空间的波前并 重新构建波前，从而使光波场，即衍射场重新分布，前面讨论的具有圆孔、单缝、 矩孔等空间结构的障碍物都是衍射屏。除了上述结构简单的衍射屏之外，还有许多空间结构比较复杂的衍射屏，例 如，具有多条狭缝或多个圆孔的衍射屏。在种种结构复杂的衍射屏中，有一类是具有空间周期性结构的，其衍射的结 果又比较简单的规律，而且容易进行数学上的分析，所以获得了很广泛的应用。 这种衍射屏就是衍射光栅。衍射光栅：具有周期性空间结构或光学结构的衍射屏。衍射光栅可以具有反射或

2、透射结构，可以按不同的透射或反射率分为黑白光 栅、正弦光栅，等等。这类光栅由于使透射光或反射光的振幅改变，因而统称为 振幅光栅。还有一类光栅，对于入射光而言，是全透或全反的，但是透射光或反射光的 相位将被改变，因而被称作相位光栅。5. 1多缝夫琅和费衍射在一个不透光的屏上，周期性地分布着一系列透光狭缝，这就是一种最简单 的平面型透射式光栅。相邻两缝的距离为d,狭缝的宽度为a,不透光部分的宽度 为b,则 + 6 = d, d是光栅的空间结构周期，称作光栅常数。由于这类光栅指 在一个方向上具有周期性结构，所以是一种一维光栅。采用夫琅和费衍射方式，平行光向光栅入射，光栅之后，有一焦距为f的汇 聚透镜

3、，将衍射光汇聚到位于透镜焦平面处的接收屏上。5.1.1衍射强度在讨论单缝衍射时，我们曾经指出，如果单缝沿着衍射屏平移，而衍射装置 的其它部分保持不变，则衍射的强度分布将不发生改变，因为位于透镜焦平面上 的光强只与衍射光的方向有关。因而，对于多缝衍射屏来说，其中每一个单缝， 即每一个衍射单元在接收屏上所产生的衍射条纹都是相同的。但是，来自不同狭缝的光，由于是相干的，因而相互之间也要进行相干叠加, 实际上是一种干涉过程，而不是简单的光强相加。对于衍射光栅来说，既有来自 每一个衍射单元的波列各自的衍射，也有不同单元波列之间的干涉。巾 本V对于光栅的每一个单元，按衍射分析；不同的单元之间，按干涉分析。

4、可以采用振幅矢量方法或者记分方法求的衍射强度分布，以下分别加以说明。 1.用矢量法分析沿着与光轴夹角为9方向的衍射光，经过透镜后，都将汇聚到焦平面上的P 点。P点的方位角可以由透镜成像的规律得到，如图所示，就是9。每一个衍射 单元的复振幅可以用一个矢量表示，记为49。相邻两个单元的衍射矢量间具有位相差所有单元衍射的矢量和为光栅衍射的复振幅。设第n个狭缝的中心到P点的光程为”，由图上可以看出,L2 =d sin,即 Ln = Li+ (n - IMSin8相邻衍射单元间的光程差= dsin相邻衍射单元间的位相差，A。= kd sin= d sin记 2(3= ,则 B=Sir16,设光栅共有N条

5、狭缝，则合矢量就是N个单元衍射的矢量相加。将N个矢量依次首尾相接，而且第n个矢量相对于第n-1个矢量转过外即邛角。如图，Ae - aa2+ a3+ + aeA9 = OBn - 2RsinN= 2二Sin N =的 sin Pstn。用复振幅会为。9二-“ sn?衍射光强为/9= /（丝上）2（二 ）2M sin P例题5.1. 三条平行狭缝，宽为a,缝距分别为d和2d,求正入射时夫琅和费衍射分布用矢量方法求解如图，三个等长矢量，Z = L吧上，夹角依次为A0、 2f U0 = kdsin9 = sin9 = 2合矢量为A9,分量为A9x=- A + A CoSA(P + A cos(3) A

6、9y. =ASinA + 4 sin(3)Ag = A9 + Agf2 = A + A cos0 + A cos(3)2 A sin + A sin(30)2=A2 + J2 cos2 0 + icos2 (30) + Z42cos + 2A2cos 3+2J2cos cos 3+ J2 sin2 + 4 sin 2(3) + 2A2 sin sin(30)=3J2 + 2J2 cos + 242 cos 30 + 2J2 cos 2= A23 + 2 cos + 2 cos 20 + 2 cos 3=T0(2!”)2 3 + 2 cos 2+ 2 cos 40+ 2 cos 605.2. 导

7、出不等宽双狭缝的夫琅和费衍射强度分布公式，缝宽分别为a和2a,缝距 d=3ao矢量方法解： 1对于每个单缝，单元衍射因子分别为 zx _ Sinw 一sin 力, +._ . C6ZJ (6) Uq . 9 612 () 2U ,1, 其中 u 一 SSirl uIu沿。方向的衍射光，两缝的光程差 = Jsin = 3sin6,位相差(p = 3ka sin = 3亍FQSin = 6w ,则两矢量的夹角为：合矢量为A2 =+ a1 - 2ala2cos(TT - 0)sin 2 l /e sn2x2 . i, JWnUSln2/=(UQ) (2UO) - + 4Lcos Gu=(U0sin

8、u)2 1 + 4cos2 w + 4coswcos6w u即光强为/ = 70(*n .)21 + 4 cos2 w + 4 cos u cos6u，其中 =sin 6。 uA或者将宽度为2a的狭缝作为两个宽度为a的狭缝，采用三个矢量叠加的方法， 可以得到相同的结果。53 2N条平行狭缝，缝宽为a,缝间不透明部分周期性变化，间距a,3aa3a, 求下列各种情形的衍射强度分布(1)遮住偶数条；(2)遮住奇数条；(3)全开放1 1) (2)两种情形相当于单周期光栅衍射。(3 )有两套光栅常数为d=4a的光栅，相互错开a。 第一套Lj =Ll + (/ - 1)(4 sin0)第二套： = Ll

9、+ (44sin ) = L1 + a sin+ (/ - l)(4asin)矢量方法：有两套相同的矢量各自相加，其中对应的矢量间有夹角o,0o = ka sin9 = sin 9 = 2u。各自合成的结果为 A1 (9) , A2(9),两者之间的位相差为仇。这两个矢量的和为A2 =力：(9) + A21 (9) + 2A (9)J2(9) cos 0ii =/(9)2 + 2 cos 2u2 .用FreSneLKirChhoff衍射积分求解平行光入射，满足近轴条件，倾斜因子尸(90,9) = 1 , 1为常数，记为1 o r %UYP)二项 U0(m9。m = jj u(QWd瞳函数。0(

10、。)具有周期性的数值，透光部分，uo(2)=uo(0);不透光部分的u0(0)=O，所以仅对衍射屏透光部分求积分，有对每个狭缝的积分是求得入射光经该狭缝后的衍射在P点引起的振动，即 复振幅，为光的衍射：对所有狭缝的求和是将每一个狭缝射出的光在P点引起的 振动即复振幅进行叠加，自然是相干叠加，为光的干涉。物理过程为：每一个单 狭缝的光在P点先进行衍射，衍射后的复振幅再进行干涉。在第n个狭缝中，位置在Xj的点光源发出的光与狭缝中心发出的光到达P点的光程差为乙=-xsin,即rn - Ln- x,tsin,上述积分化为Ufp) =dxn=%,=包叫。1/ J -2邛打二L耍就是单缝衍射的复振幅，而X

11、 *就是多光束干涉心4（O）Sm “一心。（。严 M詈 Sme） 2 e*in% -J J-H2的结果。sin。为单元（单缝）衍射因子，由瞳函数决定。2i挹工sin9eiN e- iNfi_ e iNi -i ie e - e、1 . z, e法Lft =、.-IWSin9 =、-d*dsin9 =2in9-al e d(N-1 P _ etv - 19)sin fl其中 = kd sin9 = sin 9 N:N元干涉因子。最后得到U(P) = UOU(9)*9)M9)衍射光强为I(P) = /。(也与(任必)2* JUn (sinw / )2u=nasin9(sin7V/ sin)2=ds

12、in9例题1.积分方法 L2 = L + cl sin9， L3 = L1 + 3d sin9 , rj - Lj- x sin 9*旧 + k(L1-Ll) + / a-叫WP) = KFlj#o=dx + jUo;cix + j JT 闵=心”4 丝1 + + = KFIJoa=KFUoaLlw /kI fcfo9 + tdsin9强度分布/(9) = Zo(-)2 I 1 + eikdiw9 + wsin9 I2 u=0(i)23 + d邛 + ei6+ e i2 + e-i6+ ei4 + e i4 U=0(-.1? -) 23 + 2 cos 2+ 2 cos 4+ 2 cos 62

13、.解法一、两缝中心发出的沿9方向光的光程为4和L2 ,有，=4 + 1sin9 , rj = Lz - X sin 9,女尸）=阳j/。=去+jj=岗=K/卬g q詈+: a2Trrs,n W 1 cj%dsin9LsinC 口 fj, Sin r 1。/打而91KFUoaP- + 2*rfs,ny = KFUOeI1 + 2s,nycos urn w九rn w强度分布/(9) = 0(-n/) 21 + 4 cos2 M + 2 cos w * 2 cos(kdsin9) U=TO(IrII) 21 + 4 cos2 + 2 cos w * 2 cos 6uU解法二、将第二缝分为缝宽为a的两

14、狭缝，三缝中心间隔为dl=(52)a和d2=a。相应皿2 = L + & sin9 , L3 = Li+ (& + 4) Sin9。U(P)= KFa U0 隆阳 + e心”上二 KFaU0-1 + *&4)+ 他知Mn7uKFa TJO-1 + ekdsin9 + 出)si9j强度分布/(9) = 0(ln-)2 I 1 + exp(- ika sin9) + exp( ika sin9) 2= 0(?1 nr/.)2 1 + 1 + 1 + exp(Z47 sin9) + exp(-zZra sin9)it227722+ exp(-ica sin9) + exp(-ika sin9) + exp(二永 sin9) + exp(-ika sin9) )22=0(-n/)2 3+ 2 cos 5u + 2 cos Iu + 2 cos 2uu=(