大学物理振动.ppt

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1、 第四章第四章 振动与波动振动与波动中国国家管弦乐团在联合国总部的演出中国国家管弦乐团在联合国总部的演出 振动与波动是密切联系的物理现象。振动是振动与波动是密切联系的物理现象。振动是产生波动的根源，波动是振动在空间的传播。过产生波动的根源，波动是振动在空间的传播。过去，人们习惯于将振动与波动纳入力学的范畴，去，人们习惯于将振动与波动纳入力学的范畴，实际上振动与波动的内容贯穿在力学、电磁学、实际上振动与波动的内容贯穿在力学、电磁学、光学乃至量子力学之中。机械振动在介质中的传光学乃至量子力学之中。机械振动在介质中的传播形成机械波播形成机械波，电磁振动在空间的传播形成电磁电磁振动在空间的传播形成电磁

2、波。虽然机械振动和机械波与电磁振动和电磁波波。虽然机械振动和机械波与电磁振动和电磁波在本质上有所不同，但它们的变化规律是类似的。在本质上有所不同，但它们的变化规律是类似的。因此，本章讨论机械振动和机械波的基本规律，因此，本章讨论机械振动和机械波的基本规律，但这些规律的意义绝不局限于力学，它是研究光但这些规律的意义绝不局限于力学，它是研究光学、量子力学乃至整个物理学的基础。学、量子力学乃至整个物理学的基础。引 言我国返回式卫星使用的搭载桶正在进行振动试验。我国返回式卫星使用的搭载桶正在进行振动试验。 一、简谐振动1. 简谐振动的定义 无阻尼的等幅振动无阻尼的等幅振动称简谐振动。典型的称简谐振动。

3、典型的简谐振动是简谐振动是弹簧振子弹簧振子（spring oscillator）的运动。在弹簧振子的运动。在弹簧振子中，振动的物体受到中，振动的物体受到弹性力的作用，弹性弹性力的作用，弹性力服从胡克定律。力服从胡克定律。kxF mFX0 xkmFx0 xkkxF 简谐振动并不局限简谐振动并不局限于弹簧振子。对于于弹簧振子。对于摆的运动、木块在摆的运动、木块在水面上的浮动等类水面上的浮动等类似的运动，运动物似的运动，运动物体所受的力体所受的力与与弹性弹性力相似，称为力相似，称为准弹准弹性力性力。这种在准弹。这种在准弹性力作用下的运动性力作用下的运动也是简谐振动。也是简谐振动。例题例题1.直径直径

4、d的的U形管，装有质量为形管，装有质量为m的的液体液体,若给液体一个小的初始位移，液若给液体一个小的初始位移，液体将在管中作微振动，这种振动是否体将在管中作微振动，这种振动是否是简谐振动是简谐振动 ？ vgmgF 是简谐振动kxxgd221gdx222解：选坐标系；分析受力；列方程，例题2。一立方体木块浮于静止的水面上，其浸在水中部分的高度为h。现用手指将其稍稍压下，使浸在水中部分的高度变为b.放手后木块将在水面上下作振动，此振动是否为简谐振动？解：木块静止时有，重力浮力，选水面为坐标原点，指向水的一侧为正方向。任意时刻木块质心坐标为x: hgLgL23水木kxgxLgxhLgLF223)(水

5、水木是简谐振动0dd222xtxmk 2.简谐振动的数学模型maF 22ddtxa kxF角频率（角频率（angular frequency）频率频率)cos( tAx 这个结果表明，振动物体的位移和这个结果表明，振动物体的位移和振动时间的关系满足余弦函数的关系，这振动时间的关系满足余弦函数的关系，这个结果可作为简谐振动的定义。个结果可作为简谐振动的定义。（1）模型的解位移与时间的关系A， 是积分常数0dd222xtx微分方程 称为简谐振动方程,其数学解描述了弹簧振子的位移与时间之间的关系,称为简谐运动方程. 许多物体的运动类似弹簧振子的运动,凡是可以用简谐振动方程描述的运动其位移与时间的关系

6、均可以用运动方程来描述.如单摆、复摆在理想条件下的运动都可以用简谐运动方程描述. 它们也统称谐振子. 简谐运动方程中A、分别被称为振幅、圆频率和初相位.它们描述了振动的最大位移、单位时间内的往返次数和振动点的初始位置. 从简谐运动方程中可以看到：简谐振动的振幅为一与时间和频率无关的常数;而位移是按周期在有限区域内的往复变化,并且和初始位置有关. 振幅、圆频率和初相位是决定振动具体位移大小和速度大小的决定性参数,所以称为振动三要素. 21T)(cos)cos(TtAtA2T振幅（amplitude) A: 振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。周期 (period) T: 物体完成

7、一次全振动所需时间。频率（frequency) :单位时间内振动的次数。22T角频率(angular frequency):相位 (phase) 决定谐振动物体的运动状态t : 初相位（initial phase ）(2)各参量的物理意义)cos( tAxdsin()cos()d2mxvAtvtt )cos()cos(2 tatAdtdvam)cos( tAxAvmAam2（3）振动物体的速度和加速度 （1 1）A A 的物理意义的物理意义: maxxA 0000sincosAvAx2020)(vxA A 是物体离开平衡位置的最大幅度-振幅，A 的大小由弹簧振子的初始状态决定。单位 m。描述简

8、谐振动的特征量记住：静止松手的位置就是振幅！（2）T 的物理意义00cos0Axt000cos)2cos(2xAAxTt后经过 T 表示完成一次完整振动所需要的时间-周期，T 的大小由弹簧振子的固有性质决定。单位sT1221T（3） 的引入表示在单位时间内完成整振动的次数-频率， 的大小由弹簧振子的固有性质决定。单位Hz（4）的引入 表示在2 秒内完成整振动的次数-角频率，的大小由弹簧振子的固有性质决定。单位弧度/秒mkmk2mk212kmTT21固有角频率固有频率固有周期0t相位：0初相位的取值范围：0 (5) 的物理意义： 0表示初始时刻的相位-初相位,大小由弹簧振子的初始状态决定。单位r

9、ad.sincos00AvAx00tanxv计算初相位的两种方法：,00vx方法1：已知方法2：已知0,A x 初速度的符号00cosxA00arccosxA 重要结论sin0Av0000000sin000sin00vv则则记住：初相位与速度的符号总是相反的！问题：如何从振动曲线上看出简谐振子在某时刻的速度符号？记住：上坡点的速度为正下坡点的速度为负 例题例题 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写出该振动的简谐振动方程。试写出该振动的简谐振动方程。00114,2,00,0Acm xcm vxv04cos() xtcm解 ： 从图中可以看出已知条件：00arc

10、cos1arccos2xA 33000v)3cos(4tx23)3cos(40652301v)365cos(4tx110,0 xv还有已知条件： 例题如图，一长为例题如图，一长为L的弹簧上端固定，下端的弹簧上端固定，下端挂一重物后长度变为挂一重物后长度变为(L+S)，并仍在弹性限度，并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回原来之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回原来的长度，然后静止放手，重物将作上下运动。的长度，然后静止放手，重物将作上下运动。)(sxkmgFkskxmgkxmgkxmg 是简谐振动。 （1）证明重物的运动是简谐振动。解:（2）求 ,AAs按题意：kgmsm gk s12

11、2gsx 解： （3）若以放手时开始计时，求简谐振动方程）若以放手时开始计时，求简谐振动方程 0cos()xAtcos()gxsts0cos()gsts000,0txs v 将初始条件代入上式：x00arccosarccosxAss 例题.一单摆，把它从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度 ，然后由静止放手任其摆动，若自放手时开始计时，如用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为： B,C （A）；（B）；（C）0；（D）20()arccosarccos 1AA 要看坐标如何取 ,0例题.一质点作简谐振动，振动方程x =Acos(t+)，当时间 t =T/4 (T 为周期)时，质点

12、的速度为： C ;sin)B(A;sin)A(A;cos)C(A.cos)D(A000sin()2sin()4cosvAtTATA ) cos()(tAtx)cos(2tAa)sin(tAv txOA-A = 2 是振动物体 t 时刻的相位)(t相位的意义相位的意义: 相位确定了振动的状态相位确定了振动的状态. .相位每改变相位每改变 2 2 振动重复一次振动重复一次（4）相位)cos( tAx两个频率相同的简谐振动：两个频率相同的简谐振动：111costAx222costAx相位差为相位差为 1212)()(tt称振动称振动2 2的相位的相位超前超前振动振动1 1的相位。的相位。两个振动的超

13、前、同向与反向120，振动（b)超前振动(a)12,420称这两个振动称这两个振动同相同相或或同步同步 12,3称这两个振动称这两个振动反相反相两个振动同相两个振动同相两个振动反相两个振动反相tx图图tv图图ta 图图TAA2A2AxvatttAAoooTT)0( 221kAEEEpk 简谐振动的势能曲线简谐振动的势能曲线kEpExEBCAApExO振动能量是守恒的振动能量是守恒的振动的能量振动的能量谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: :tAxcos221kAE PEkEEotxot 动能和势能的变化频率是振动频率的二倍。动能和势能的变化频率

14、是振动频率的二倍。与时间有关的物理量与时间有关的物理量F F( (t t) )在时间间隔在时间间隔T T内的平均值为：内的平均值为： 01dTFF ttT2222002k41)d(sin211d211kAttAmTtmTETT222002p41)d(cos211d211kAttkATtkxTETT在一个振动周期内，平均势能等于平均动能。在一个振动周期内，平均势能等于平均动能。简谐振动的矢量图解法和复数解法谐振动表示的旋转矢量法矢量矢量A 以匀角速度绕原点以匀角速度绕原点O旋转时，旋转时，A 在在x轴轴上的投影的变化规律与简谐振动相同上的投影的变化规律与简谐振动相同.因此因此,可可以用旋转矢量来

15、表示简谐振动。以用旋转矢量来表示简谐振动。 xoAcos0Ax 0t0 xxoAtt t)cos(tAx 简谐振动可以用一个旋转矢量描绘。简谐振动可以用一个旋转矢量描绘。 矢量的矢量的长度长度代表振幅代表振幅 矢量逆时针旋转的矢量逆时针旋转的角速度角速度代表角频率代表角频率 矢量在初始时刻与矢量在初始时刻与x x轴的轴的角度角度代表初相位代表初相位 矢量在任一时刻与矢量在任一时刻与x x轴的轴的角度角度代表相位代表相位AAAAA00t 矢量在x轴投影00cosAx )cos(0tAx0tx0 x)cos(2tAa2 tmvvxyOAt)cos(tAxnaaAmv)cos(tAv2nAa 用旋转

16、矢量图画简谐运动的 图tx 位移、速度与加速度的旋转矢量 物体作简谐振动，振幅为0.24m，振动周期为4s。开始时物体在x=0.12m处，向负方向运动。求该物体的振动方程，t=1s时物体的位移、速度和加速度。 )s(rad24221 -Tcos240120.cos213解：由初始条件得32cos24. 0tx3)sin(tAtAa cos2例题7.一物体做谐振动，振幅为 A，在起始时刻质点的位移为 A/2 且向 x 轴的正方向运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：OAx)A(2/A D OAx2/A)B(OAx)C(2/AOAx)D(2/A讨论 相位差：表示两个相位之差 （1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间21()()tt 12ttt)cos(11tAx)cos(22tAx21()()ttAx2Atobaat3TTt61232AbtvAxAoA （2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异（解决振动合成问题）.12)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt 例 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08 m，周期为4