专升本高等数学讲义.ppt

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1、函数、极限与连续函数、极限与连续一1 1、函数、函数函数的概念（1） 定义： （2）三要素：定义域、对应法则、值域（3）表示方法：图像法、表格法、公式法函数的性质（1）奇偶性： 偶； 奇（2）有界性：（3）周期性：（4）单调性：判断 的符号反函数：复合函数初等函数：常数、幂、指数、对数、三角、反三角函数= ( ),y f x xD(- )= ( )fxf x(- )=- ( )fxf x( )Mf x ( +T)= ( )f xf x( )f x-1=( )x fyyW，2 2、极限、极限极限的概念（1）（2）极限的四则运算两个重要极限（1）（2）-+lim( )=lim( )= lim( )

2、=xxxf xAf xf xA -+000lim( )=lim( )= lim( )=xxxxxxf xAf xf xA00sinlim=10 xxx 1011lim 1+=elim 1+=exxxxxx或2 2、极限、极限无穷小与无穷大（1）定义：倒数关系（2）无穷小的性质：有限个无穷小的和、差、积是无穷小 无穷小乘以有界函数是无穷小（3）无穷小的比较：同阶、等价、高阶（4）等价无穷小的替换：当 时0 x sin tan arcsin arctan -1ln 1+xxxxx exx21-cos 2xx1+ -1nxxn3 3、连续性、连续性连续的定义：间断点及其分类（1）第一类间断点：左右极

3、限都存在的间断点，包括可去间断点（左右极限相等）、跳跃间断点（左右极限不相等）（2）第二类间断点：左右极限至少有一个不存在，包括无穷间断点、振荡间断点等。闭区间上连续函数的性质（1）最值定理（2）介值定理（3）零点定理（方程根的存在性定理）：若 在 上连续，且 则至少存在一个 ，使得 。（ 是方程 的一个根） 00lim( )= ()xxf xf x( )f xa,b( )( )0f af b(a,b)( )=0f( )=0f x4 4、典型例题、典型例题例1：求 的定义域。例2：设 ，求 的定义域。例3：设 ，求 。例4：设 ，求 。 例5：求 的奇偶性。例6：设 是以3为周期的奇函数，且

4、，求 。例7：若 ，求 。1-2arcsin-312xxy,14( )sin ,1xxf xx x2()f x21( ), ( )=1+1+f xg xxx( ) ,( )f g xg f x2(1+ )+3 +5fxxx( )f x2( )ln+ 1+f xxx( )f x(-7)=5f(1)f-1( )=+1xf xx-112f4 4、典型例题、典型例题例8：求下列极限（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）例9：若 ，求 。13-2lim21xxx212-3lim-1xxx223-9lim-5 +6xxxx222+1lim-3 +4xxxx30tan -sinlimxxx

5、xsin2limxxx322+lim=8-2xxaxbx, a b+2lim+1xxxx210lim cosxxx4 4、典型例题、典型例题例10：设 ，求 使 在 连续。例11：求下列函数的间断点并判断间断点的类型。（1） （2）例12：证明方程 在区间 上有唯一实根。例13：设 在 上连续， ，证明：至少存在一点 ，使得 。11-2,0( ),0 xxxf xa xa2-2=-5 +6xyxx322-3+2 -3=0 xxx(1,2)( )f x1,21 ( )2f x(1,2)( )=f( )f x-+，11+1=-1xxeye一元函数的微分学一元函数的微分学二1 1、导数、导数导数的概

6、念（1）定义：（对于分段函数在分段点处的导数要用导数的定义来求解）（2）左、右导数：（3）几何意义：曲线 过点 的切线方程： 法线方程：00)(-)(-)(lim)(-)(lim)(000000 xxxxxxfxxxfxfxxfxxfxf0-0+0()()=()f xAfxfxA0()f xk切= ( )y f x00(, ()x f x000- ()= ()( -)y f xf xx x0001- ()=-( -)()y f xx xf x1 1、导数、导数导数的计算（1）基本求导公式（熟记）（2）四则运算法则：（3）复合函数链式求导法则（4）隐函数求导法（5）参数方程求导法：（6）对数求导

7、法：幂指函数 ，连乘、除高阶导数：2-,vvuvuvuvuvuvuvuvu），（）（= ( ),= ( )dyx f tdydtdxy g tdxdt( )= ( )g xy f x(4)(n),y y yyy ，2 2、微分、微分微分的概念（1）定义：若 在点 处的增量可表示成 ，则称 在点 处可微，微分记作：（2）可微与可导的关系：可微 可导 连续 有极限 微分的计算（1）（2） )( xoxAy( )yf xx( +)- ( )yf xx f x ( )yf xx=dy A x0=0= ()x xdyf xx=dy y dx3 3、应用、应用中值定理（1）罗尔定理：若 满足：在 连续；

8、可导；则至少存在一点 ，使得 。（2）拉格朗日中值定理：洛必达法则（1） 型（2） 型（3） 型， 型， 型， 型， 型（化成 型或 型）( )yf xa,b(a,b)( )= ( )f af b(a,b)( )=0f( )- ( )( )=-f b f afb a000- 1000( )( )lim=lim= ()( )( )f xf xAg xg x或003 3、应用、应用导数的应用（1）单调性：根据 符号（2）极值和最值（3）凹凸性：根据 符号（4）拐点（5）渐近线：水平渐近线 铅直渐近线（6）经济应用：边际和弹性问题微分的应用（1）近似值公式：（2）泰勒公式：yy= ,lim( )=x

9、y Af xA00=,lim( )=xxx xf x000(+)()+ ()f xxf xf xx( )00=0()(+)=()!nnnfxf xxxn4 4、典型例题、典型例题例1：设（1）求a,b,使 在 处连续（2）求a,b，使 在 处可导例2：求曲线 在点 处的切线和法线方程。例3：过点 作曲线 的切线，求切线方程。例4：若 是可导的偶函数，证明： 是奇函数。例5：设 ，求 。例6：设 ，求 。1,1,)(2xbaxxxxf( )f x=1x( )f x=1x=-3sin +1xy ex(0,2)(0,-4)=1+= +xty tt2= ()y f x22,dy d ydx dx=(s

10、in )xyxy( )f x( )f x4 4、典型例题、典型例题例7：设 ，求 。例8：求 的微分 。例9：求 的导数。例10：设函数 在 上连续，在 可导，且 ，证明至少存 在一点 ，使得 。例11：求下列极限（1） （2）322)2-(1)-(xxxy ylntan xyxedy( )f x0,a(0,a)( )=0f a(0,a)( )+( )=0ffln(1+ ),0( )=, 1xxeex2=ln(1+)yxln=xyxsin29一元函数的积分学一元函数的积分学三1 1、不定积分、不定积分原函数：若 是 的一个原函数。不定积分的概念： 的全体原函数，不定积分记作：不定积分的性质（导

11、数和积分互逆）（1）（2）基本积分公式（熟记）不定积分的积分方法（1）直接积分法（加项减项、拆项、三角恒等变形等）如：)(),()(xFxfxF( )f x( )f x( )= ( )+Cf x dx F x( )= ( )f x dxf x( )= ( )+Cf x dx f x22sin+cos=1,xxsin2 =2sin cos ,xxx21+cos2cos=,2xx221+tan=secxx，221+cot=cscxx22cos2 =cos-sinxxx2=2cos-1x2=1-2sin x21-cos2sin=2xx1 1、不定积分、不定积分（2）第一换元积分法（凑微分法）（3）第

12、二换元积分法（根式代换，三角换元）如： 令 令 ，其中 是 的最小公倍数 令 令 令（4）分部积分法 （按照对、反、幂、三、指选择u），dxbaxf=axb t12,nnfxx dx，=nx tn12,n n22-fa xdx，= sin ,0,2x at t22+faxdx，= tan ,0,2x at t22-fx adx，= sec ,0,2x at t=-udv uvvdu2 2、定积分、定积分定积分的概念（1）定义： ，为常数。其中：（2）几何意义：曲边梯形的面积定积分的性质（1）（2）若 ，则 ,)(baxdxxfba( )=( ),bbaaf x dxf t dt( )=( )+

13、( )bcbaacf x dxf x dxf x dx( )0, , f xxa b( )0baf x dx ( )=0,aaf x dx( )=-( )baabf x dxf x dx2 2、定积分、定积分变限积分（1）变上限积分的概念： 是关于上限 的函数。（2）变限积分求导定理：dttfxa)(x( )= ( )xaf t dtf x( )( )xaf t dt( )( )bg xf t dt( )( )( )xg xf t dt=( )( )-( )( )fxx f g xg x=( )( )fxx=-( )( )f g xg x( )( )=( )+( )cxg xcf t dtf

14、t dt2 2、定积分、定积分牛顿-莱布尼茨定理设 在区间 上连续， 是它的任一个原函数，则定积分的积分方法（1）直接积分法（2）换元积分法（换元必换限）（3）分部积分法：反常（广义）积分定积分的应用（1）求平面图形的面积（2）求旋转体的体积)(xf , a b( )F x( )= ( )= ( )- ( )babf x dx F xF b F aa=-bbaabudv uvvdua3 3、典型例题、典型例题例题1：已知 的一个原函数为 ，求 。例题2：求下列不定积分（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）)(xfsin2x( )f x dx+1xdxx221(1+)dxxx2

15、21+xdxx21+xdxx321+xdxx21+2 -3dxxxln xdxxcos 3 +2xdx3 3、典型例题、典型例题（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）（17） （18）xdxtansecxdx2sin xdx3cos xdx23sincosxxdx11+dxx31+dxxx221-xdxx2cosxxdx2ln xdx3 3、典型例题、典型例题（19）例3：求下列定积分（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）sinxexdx102 -1x dx2204-x dx240tan xdx94-1xdxx22-214+dxx10arcta

16、n xdx+-20 xedx1-11dxx3 3、典型例题、典型例题例4：设 是连续的奇函数，且证明： 是偶函数。例5：设 连续，且 ，令 ，证明：（1） （2） 在 内有唯一的根。例6：设 是连续函数，且 ，求 。若改成： 呢？例7：求极限 。)(xf0( )=( )xF xf t dt( )F x)(xf( )0,abf x1( )=( )+( )xxabF xf t dtdtf t( )2F x( )=0F x , a b)(xf120( )=3-( )f xxf x dx)(xf20( )=3-( )xf xxf t dt00arctanlim1-cosxxtdtx3 3、典型例题、典型例题例8：求 的极值。例9：设 ，求 。例10：求由抛物线 与直线 围成的图形面积。例11：求由抛物线 、直线 及 轴围成的平面图形分别绕 轴、 轴旋转所得立体的体积。20) 1-(xdttt0( )=( - ) ( )xg xx t f t dt( )g x2=-1y x= +1y x2=y x=2xxxy常微分方程常微分方程四1 1、微分方程的基本概念、微分方程的基本概念微分方程的定义含有未