专升本高等数学第三章PPT.ppt

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1、第三章第三章 导数与微分导数与微分 第二节第二节 求导法则求导法则 第三节第三节 微分及其在近似计算中的应用微分及其在近似计算中的应用 第一节第一节 导数的概念导数的概念 一、一、两个实例两个实例 二、二、导数的概念导数的概念 三、三、可导与连续可导与连续 第一节第一节 导数的概念导数的概念四、四、求导举例求导举例第一节第一节 导数的概念导数的概念 1 .1 .变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度 设一物体作变速直线运动，其路程函数为设一物体作变速直线运动，其路程函数为s= =s( (t) )， 求该物体在求该物体在 0t时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度. .设在设在 0t时刻物体的位置时

2、刻物体的位置 为为 s( ( 0t).).当经过当经过0t+ + t时刻获得增量时刻获得增量 t时，物体的位时，物体的位 置函数置函数 s 相应地有增量相应地有增量),()(00tsttss（如下图）（如下图） 于是比值于是比值 ,00ttsttsts O)(0ts)(0ttss一、两个实例一、两个实例 就是物体在就是物体在0t到到 0t+ +t这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度, ,记作记作 v， .00ttsttstsv即当当t很小时，很小时，v可作为物体在可作为物体在 0t时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度 的近似值的近似值. . 且且t越小，越小，v就越接近物体在就越接近物体在 0t时

3、刻的瞬时刻的瞬 时速度，时速度，即即 .limlimlim)(000000ttsttstsvtvttt 就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限. . 2 .2 .平面曲线的切线斜率平面曲线的切线斜率 设函数设函数)(xfy 的图像为曲线的图像为曲线 L（如上图） ，（如上图） ， 000(,()Mxf x和和 ( ,( )M x f x为曲线为曲线 L 上的两点，它们到上的两点，它们到 x轴的垂足分别为轴的垂足分别为 A 和和 B, ,作作0M N垂直垂直BM并交并交

4、BM于于 N，则则 00 xxxNM, , )()(0 xfxfyNM . . A B T N L M o y x ) ( x f y 0 M 在曲线在曲线 L 上点上点0M附近， 再取一附近， 再取一点点M , ,作割线作割线0M M，当点，当点 M沿曲沿曲线线 L 移动而趋向于移动而趋向于0M时，割线时，割线 0M M的极限位置的极限位置0M T就定义为曲就定义为曲线线 L 在点在点 0M处的切线处的切线. . 平面曲线的切线几何演示平面曲线的切线几何演示便是割线便是割线0M M的斜率的斜率tan，当，当0 x时时, , M沿曲线沿曲线 L 趋于趋于0M，从而我们得到切线的斜率，从而我们得

5、到切线的斜率 00000()tanlim tanlimlimxxxf xxf xyxx . . 由此可见， 曲线由此可见， 曲线)(xfy 在点在点0M处的纵坐标处的纵坐标 y 的增量的增量 y与横坐标与横坐标 x的增量的增量x之比，当之比，当0 x时的极限即为时的极限即为曲线在曲线在0M点处的切线斜率点处的切线斜率. . 0000,fxfxfxxfxyxxxx 而比值而比值设函数设函数)(xfy 在点在点 0 x的某一邻域内有定义，当自的某一邻域内有定义，当自 变量变量 x在在0 x处有增量处有增量0 (0,xxxx仍在该邻域内仍在该邻域内) )时，时， 相应地函数有增量相应地函数有增量00

6、( )()yf xxf x，如果，如果 y与与 x之比之比yx当当0 x 时，极限时，极限 1.1.导数的定义导数的定义 0000( )()limlimxxf xxf xyxx 存在，那么这个极限值称为函数存在，那么这个极限值称为函数)(xfy 在点在点0 x的导数的导数. .并且说，函数并且说，函数)(xfy 在点在点0 x处可导，记作处可导，记作)(0 xf ， 二、导数的概念二、导数的概念也记为也记为 0 xxy，0d)(dxxxxf或或 0ddxxxy ， 即即 00000( )()()limlimxxf xxf xyfxxx . 如果极限不存在，我们说函数如果极限不存在，我们说函数)

7、(xfy 在点在点 0 x处不可导处不可导. . 如果固定如果固定0 x，令，令0 xx= =x，则当，则当0 x 时，时， 有有0 xx ，故函数在，故函数在0 x处的导数处的导数)(0 xf 也可表为也可表为 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx . . 极限极限 0000( )()limlimxxf xxf xyxx； 0000( )()limlimxxf xxf xyxx . . 分别叫做函数分别叫做函数)(xf在点在点0 x处的左导数和右导数，处的左导数和右导数， 且分别记为且分别记为)(0 xf和和)(0 xf. . 定理定理 函数函数)(xfy 在点在点0 x的左、右

8、导数存的左、右导数存 在且相等是在且相等是)(xf在点在点0 x处可导的充分必要条件处可导的充分必要条件. . 2左、右导数左、右导数 如果函数如果函数)(xfy 在区间在区间)b,(a内每一点都可导，内每一点都可导， 称称)(xfy 在区间在区间)b,(a内可导内可导. . 如果如果)(xf在在)b,(a内可导，那么对应于内可导，那么对应于)b,(a中的中的 每一个确定的每一个确定的x值，对应着一个确定的导数值值，对应着一个确定的导数值)(xf ， 这样就确定了一个新的函数，此函数称为函数这样就确定了一个新的函数，此函数称为函数)(xfy 的导函数的导函数. . 记作记作)(xf ，y,xy

9、dd,xxfd)(d ， 在不致发生混淆的情在不致发生混淆的情况下，导函数也简称为导数况下，导函数也简称为导数. . 显然，函数显然，函数)(xfy 在点在点0 x处的导数处的导数)(0 xf ，就，就 是导函数是导函数)(xf 在点在点0 xx 处的函数值，即处的函数值，即 0)()(0 xxxfxf. . 例例 1 1 求函数求函数2xy 在任意点在任意点 x 处的导数处的导数. . 解解 在在x处给自变量一个增量处给自变量一个增量x，相应的函数，相应的函数 增量为增量为 22( )( )( )yf xxf xxxx 22 ( )x xx, , 于是于是 2yxxx, , 则则 00lim

10、lim(2 )2xxyxxxx, ,即即 xx2)(2. . 曲线切线方程：曲线曲线切线方程：曲线 L 上点上点),(00yxM处的切线方程就是处的切线方程就是 )(000 xxxfyy. .特别地，若特别地，若)(0 xf，则切线垂直于，则切线垂直于 x 轴，切线方程就是轴，切线方程就是 x 轴的垂线轴的垂线0 xx . . 解解 因为因为xxy2)(2，由导数的几何意义又知，由导数的几何意义又知， 曲线曲线2xy , ,在点在点(1,1)(1,1)处的切线斜率为处的切线斜率为2211xxxy. . 所以，所求的切线方程为所以，所求的切线方程为) 1(21xy , , 即即 12 xy. .

11、 法线方程为法线方程为 ) 1(211xy 即即 2321xy . . 导数的几何意义：函数导数的几何意义：函数)(xfy 在点在点0 x处的导数等于函处的导数等于函 数所表示的曲线数所表示的曲线 L 在相应点在相应点),(00yx处的切线斜率处的切线斜率. . 例例 2 2 求抛物线求抛物线2xy 在点在点(1,1)(1,1)处的切线方程和法线方程处的切线方程和法线方程. . 3.导数的几何意义导数的几何意义 对于函数对于函数)(xfy ，比值，比值00f xxf xyxx, , 表示自变量表示自变量x在以在以0 x与与0 xx为端点的区间中每改变为端点的区间中每改变 一个单位时一个单位时,

12、 ,函数函数 y 的平均变化量的平均变化量. .所以把所以把yx称为函称为函 数数)(xfy 在该区间中的平均变化率；把平均变化率在该区间中的平均变化率；把平均变化率 当当0 x 时的极限时的极限)(0 xf 或或0ddxxxy称为函数在称为函数在0 x处的处的 变化率变化率. .变化率反映了函数变化率反映了函数 y 随着自变量随着自变量 x 在在 0 x处的处的 变化而变化的快慢程度变化而变化的快慢程度. . 4.变化率模型变化率模型 几个常见变化率模型几个常见变化率模型 问题问题 平均变化率平均变化率 变化率模型变化率模型 电 流电 流模型模型 电荷电荷 )(tQQ 00( )( )Q t

13、tQ tQitt 0000( )( )( )limtQ ttQ ti tt 细杆细杆的线的线密度密度 质量质量 )(xmm 00( )()m xxm xmxx 0000( )()()limxm xxm xxx 边际边际成本成本模型模型 总成本总成本 )(xCC ( )( )CC xxC xxx 00( )( )( )limlimxxCC xxC xC xxx 化学化学反应反应速度速度 浓度浓度 )(tNN ( )( )NN ttN ttt 0( )( )( )limxN ttN tN tt 关于变化率模型的例子很多，如比热容、角速度、生物关于变化率模型的例子很多，如比热容、角速度、生物繁殖率等

14、等，在这里就不再一一列举了繁殖率等等，在这里就不再一一列举了. . 设函数设函数)(xfy 在点在点 x 处可导处可导, ,有有)(lim0 xfxyx根根 据函数的极限与无穷小的关系据函数的极限与无穷小的关系, ,可得可得)()(xxfxy. . 其中其中 )( x是是0 x的无穷小，两端各乘以的无穷小，两端各乘以 x, ,即得即得 xxxxfy)()(, ,由此可见由此可见 0lim0yx. . 这就是说这就是说)(xfy 在点在点 x 处连续处连续. .也即，如果函数也即，如果函数)(xfy 在在 x 处可导，那么在处可导，那么在 x 处必连续处必连续. .但反过来不一定成立，但反过来不

15、一定成立， 即在即在 x 处连续的函数未必在处连续的函数未必在 x 处可导处可导. . 例如，函数例如，函数0,0,xxxxxy显然在显然在 x0 0 处连续，处连续， 但是在该点不可导但是在该点不可导. . 三、可导与连续（三、可导与连续（need to be fixed)need to be fixed) 因为因为xxfxfy)()0(, , 所以在所以在0 x点的点的右导数右导数: : 1limlimlim)0(000 xxxxxyfxxx. . 而左导数是而左导数是: :1limlimlim)0(000 xxxxxyfxxx. . 左右导数不相等，故函数在该点不可导左右导数不相等，故函

16、数在该点不可导. .所以，函数连续所以，函数连续 是可导的必要条件而不是充分条件是可导的必要条件而不是充分条件. . 求函数求函数)(xfy 的导数的导数 y的步骤：的步骤： （1 1）求增）求增)()(xfxxfy , , （2 2）算比值：）算比值：xxfxxfxy)()( , , （3 3）取极限：）取极限：xyyx0lim . . 四、求导举例四、求导举例 解解 (1) (1)求增量：因为求增量：因为Cy ，即不论，即不论 x取什么值，取什么值，y的值总等于的值总等于 C，所以，所以0y ； (2)(2)算比值：算比值：xy0； (3)(3)取极限：取极限：00limlim00 xxxyy. . 即常数函数的导数等于零即常数函数的导数等于零. . 解解 （1 1）求增量：）求增量： xxxxfxxfysin)sin()()(， 由和差化积公式有：由和差化积公式有： 2)(sin2)(cos2xxxxxxy .2sin)2cos(2xxx例例 7 7 求函数求函数Cy （C是常数）的导数是常数）的导数. . 例例 8 8 求函数求函数xysin的导数的导数. . （2 2）算比值