函数的周期性与对称性.docx

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1、函数的周期性及对需性1、函数的周期性若a是非零常数，若对广函数y=f(X)定义域内的任一变量X点有下列条件之一成立，则函数y=f()是周期函数，且2是它的一个周期，f(xa)=f(Xa)f(x+a)=-f(x)f(x+a)=1.(x)f(x+a)=-1(x)2、函数的对称性及周期性性质5若函数y=f同时关于直线x=a及x=b轴对称,则函数f(X)必为周期函数，且T=2-性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)及点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数，且T=2-性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称，又关于直线X=b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=4一3.

2、函数F=J(X)图象本身的对称性(自身对称)若f(*+)=+b)，则f(x)具有周期性;f(a+x)=f(b-x),则/(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、“+*)=97)。.、，=/3图象关于直线=+X)；ST)=等称推论1:f(a+x)=f(a-x)y=的图象关于直线t=“对称推论2、f(x)=f(2a-x)=y=/(X)的图象关于直线X=对称推论3、f(-x)=f(2+X)Oy=/(x)的图象关于直线x=u对称2、/(+x)+/S-X)=2coj“)的图象关于点对称推论1、/(f1.+x)+/(a-x)=2y=/(x)的图象关于点(.Z)对称推论2、/(x)+f(2

3、a-x)=劝。y=f(x)的图象关于点(a,6)对称推论3%f(-)+f(2y=f(x)的图象关于点(,b)对称例题分析：1 .设/(x)是(70+9)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当04x41时，/(X)=X,则/(47.5)等于()（八）0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.52、(山东)已知定义在K上的奇函数/(x)满意/(x+2)=-x),则6)的值为()A.-1B.OC.1D.23 .设f(x)是定义在/?上的奇函数，/(1.)=2J(x+1.)=*+6).求”10).4 .函数八X)对于随意实数*满意条件,若/=-5,则/1/(5)=5 .已知/(x)是定义在R上的奇

4、函数，且它的图像关直线_r=1.对称。(1)求/(O)的值;(2)证明“X)是周期函数；(3)若/(X)=Mo=其中全部正确命题的序号是.3 .设定义在R上的奇函数y=f(*),满意对随意fR,都有f(t)=f一力，且XW时，f(*)=一上则f(3)+的值等于()A.-B.-C.-D.-4 .若偶函数y=f(*)为R上的周期为6的周期函数，且满意f(x)=(x+1.)(-a)(-3%3),则一6)等于.5、(1)/(x)=-011、定义在-川上的函数y=(x)是减函数，且是奇函数，若fai-1)+/(4-5)0,求实数的范围。12.(重庆文)已知定义域为R的函数是奇函数。(I)求”,/，的值；

5、(II)若对随意的“H,不等式八产-川+/2_10恒成立，求A的取值范围。复习题，I.己知数列叫，其前项和为S.,点g)在抛物线)，=#+1；各项都为正数的等比数列也满意优=仁也=表.I)求数列U1.也)的通向公式；(II)记C”她，求数列(C1.的前”项和J2.在中，角A、B、C所对的边分别是“、c,且(其中SMM为八8。的面积).(I)求；(1)若b=2,AABC的面枳为3,求.3.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如卜；X12345频率a0.20.45bC(1)若所抽取的20件

6、日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求c的值;(1【)在(D的条件卜.，将等级系数为4的3件日用品记为演,X,1,等级系数为5的2件口用品记为,，月，现从玉，士,4，鼻，X这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出全部可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.4 .如图，在三棱惟P-AK中，PAJ.底面ABC,CC,，为PC的中点，PA=AC=2,BC=I.(I)求证：J平面PBC:(II)求经过点八WC的球的表面积。5 .已知抛物线f=8(y+8)及.、，轴交点为M,动点PQ在抛物线上滑动，且MPMQ=O(1)求/过中点R的轨迹方程W;

7、(2)点A.8.C.。在W上，A。关J，轴对称，过点。作切线/,且8(7及/平行，点。到A瓜AC的距离为4,4，且4+4=AD,证明：A48C为直角三角形6 .设函数.(1)求/(X)的极大值;(2)求证:1.2e1.nw(w-1.)(ff-2)21.(n2+)(2n+1.)(weN,)(3)当方程有唯一解时，方程g()=/矿(X)+竺二券二=O也有唯一解，求正实数f的值：函数的周期性及对称性1、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量X点有下列条件之一成立，则函数y=f(x)是冏期函数，且2是它的一个周期。f(x+a)=f(-a)f(x+a)=-f(x)f(x+a

8、)=1.(x)f(x+a)=-1(x)2、函数的对称性及周期性性质5若函数y=f(x)同时关于直线x=a及x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数，且T=2-性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)及点b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2-性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称，又关于直线X=b釉对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=4一3.函数)，=/(*)图象本身的对称性(自身对称)f(x+)=f(x+b),则f(x)具有周期性；若/(+x)=S-幻，则/(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、U)=(fc-x)y=(x)图象关于直

9、线口+.；S=)=W薪推论hf(i+X)=f(a-x)o.v=/的图象关于直线V=a对称推论2、/(x)=J(2a-x)Oy=/(x)的图象关于直线X=对称推论3、/(-a)=f2+)y=/(x)的图象关于直线X=a对称2、f(a+.r)+J(b-X)=2cOy=应的图象关于点对称推论1、f(+)+f(a-x)=2by=f(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f(x)+f(2a-x)=2by=f(x)的图象关卜点(.b)对称推论3、f(-)+f(2a+x)=2bey=f(x)的图象关于点(4,/，)对称例题分析：1 .设/(x)是(-,+上的奇函数，f(x+2)=-/(x),当Ox1时，/(

10、x)=X,则/(47.5)等于（八）0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.52、(山东)已知定义在K上的奇函数f(x)满意/(x+2)=-(%),则6)的值为()A.-1B.0C.1D.23 .设f(x)是定义在R上的奇函数,/(1)Zf(x+1)=/(j+6)./(10).4 .函数/(X)对于随意实数X满意条件,若/1=-5,则/1/(5)=5 .已知/)是定义在R上的奇函数，且它的图像关直线X=I对称。(1)求/(0)的值;(2)证明/(x)是周期函数；(3)若/(x)=x(0v2,4,一%4,2.*.4Xe1.O,2,f(4x)=2(4M(4x)=-Y+6-8.又,：r(4-)=

11、-)=x),-Jfer)=-6-8,即f(x)=V-6x+8,x2,4.巩固练习：1 .函数人力是周期为4的偶函数，当x0,2时，NX)=X-1,则不等式(*)0在一1,3上的解集为().(1,3)B.(-1.DC.(-1,0)U(1,3)D.(-1,0)U(0,1)解析：选Cf(*)的图像如图.当xW(1,0)时，由(力0得X(1,0)；当x(O,D时，由(x)0得当Xe(1,3)时，由(必0得%(1,3).故*(-1,0)U(1,3).2 .设函数Fa)是定义在R上的偶函数，且对随意的*eR恒有f(x+D=f(I),已知当X0,1时，/V)=,则:2是函数f(x)的周期：函数f(x)在(1,2)上递减，在3)上