全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案).docx

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1、全等三角形问题中常见的协助线的作法（有答案）总论，全等三角形问f1.1.主乂的是构造全等三角形，构造二条边之闾的相等，构造二个角之间的相等1 .等腰三角形“三线合一”法：遇到等展三角形，可作底边上的高，利用“；.线合一”的性质解题2 .倍长中线：倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3 .角平分线在三种添悔助线4 .垂直平分线联结线段两端5 .用“截长法”或“补短法，理到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6 .图形辛卜全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7 .角度数为30、60度的作垂线法I遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一

2、边作蠢线，目的是构成30S90的特别直角三角形，然后计算边的长度与角的度效，这样可也得到在敷值上相等的二条边或二个角.从而为证明全等三角形创建边、角之间的相等条件.&计算数值法：遇到等直角三角形，正方形时，成30祉90的特别直角三角彩，或*0-80的特别直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创j#边、角之间的相东件.常见的助线的作法有以下JUM量主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等.D遇到等腰-：角形,可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解时思维模式是全等变换中的“对折”J构造全等三角形.2）遇到三角形的

3、中线.倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形.利用的思维模式是全等变换中的“旅转”法构造全等三角形.3）遇到向平分战在二种添协助线的方法，（1）可以自用平分城上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折,所考学问点经常是角平分线的性侦定理或逆定理.（2）可以在珀平分战上的一点作该角平分成的乖战与角的两边相交，形成一对全等三角形,（3）可以在该角的两边上，跑围角的顶点相等长度的位置上敲取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等：角形.4）过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的平移”或“物转折殁”5）搬氏法与

4、补短法,详细做法是在某条线段上赦取一条线段与特定规段相等，或是将某条戊段延长，是之与特定战段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明,这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的遨目.6）己知某战段的布宜平分戏，那么可以在垂且平分线上的某点向该践段的两个然点作连线，出一对全等二角形.特别方法：在求有关三角形的定佗一类的问遨时，常把某点到原-:角形各R5点的税段连接起来，利用三角形面积的学问解答.一、倍长中线（线段）造全等例Ij“希里杯”试飕己知.如图AABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是.例2、如图，AABC中，E、F分别在AB、Ae上，DEDF.D是中点，试比较BExT马E

5、F的大小.例3、如图,ABC,BD=DC=AC,E是DC的中点，求证：AD平分NBAE.DEC应用，I、(09崇文二模以AA8C的两边A8、AC为腰分别向外作等版Rt和等段RtACE,/8A。=NCAE=90.连接A,N分别是BC.DE的中点.探究：AAf与的位汽关系及数玳关系.(I)如图当MBe为面角三角形时，AM与。E的位置关系是,线段AM与DE的数版关系是：(2)将图中的等股R1.A血绕点A沿逆时针方向旋转V(OBA,AD=CD.BD平分NABC求证：A+C=I8(F5、如图在AABC中，ABAC.Z1=Z2.P为AD上随意B一点，求证:ABACPB-PCJfi用，如图，在四边形A1.f

6、CD中,MBC,点E是八8上一个动点.若48=60MN=BC,且ZOEC=60|A1.)EHC的关系并证明你的结论.解：三、平移交换EBC周长记为心.求证乜/：例1AD为aABC的角平分畿，内战MN1.AD于A.E为MN上一点，AABC周长记为PA,例2如图.在aABC的边上取两点IkE,且BD-CE.求证：ABMeAEAE.四、借助角平分然造全等1、如图，己知在AABC中，ZB=604,ZABC的角平分SUD,CE相交于点0,求证：OE=OD2、如图,ZUBC中,AD平分NBC.DG_1.BC且平分BC.DE1.B干E.DF1.C于H(1)说明BE=CF的理由：(2)假如AB=，AOZ,求A

7、E、BE的长.K如图，。是/MOV的平分线，请你利用该图形画一对以。所在直税为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(I)如图,在八8C中，/AC8是自角，Z=6(),D,CE分别是N8八CNBCA的平分线.A1.KCE相交于点匕请你推阍并写出FE与/。之间的数量关系：(2)如图，在448C中，假如/AC8不是直角，而(I)中的我它条件不变，请何，你在(D中所得结论是否仍旧成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（第2385ftb五、旋转例1正方形ABa)中，为Be上的一点，F为CD上的一点，BE+I)F=FF,求/EAF的度数.例2D为等腰RtMBC斜边AB的

8、中点，DM1DN,DM.DN分别交BCfCA于点E,F,(1) 当NMDN绕点D转动时，求证DE=PF,(2)若AB=2,求四边形DECF的面枳。例3如图，BC是边长为3的等边三角形，ABQC是等股三角形，HZfiDC=120%以D为顶点做一个6（尸ff.使其两边分别交AB干点M,交C于点N,连接MN.则MMN的周长为：应用：I、已知四边形人BC/）中，AB1.AD.BCA.CD.AB=BC,ABC=120,ZV=60.N8N绕8点旋转.它的两边分别交4DC（或它们的延长城）干E,F.当4MBN线B点旋转到AE=CF时（如图I），易证AE+CF=EF.当/MBN绕8点旋转到AECF时，在图2和

9、图3这两种状况下，上述结论是否成立？若成立，请购予证明；若不成立，我段AECF.EF又有怎样的数附关系？谛”出你的猜想,不需证明.（图2）（图3）（图1）2、（西城09年一-模）已知:PA=1.PB=4以AB为一边作正方形ABCD,使P,。两点落在直线AB的两侧.如图.当NAPB=45“时求AB及PD的长；（2）当NAPB变更,且其它条件不变时.求PO的最大值.及相应NAPe的大小.3、在等边AASC的两边AB、AC所在出线上分别有两点M、N.D为,./VJC%-点,且MDN=60,.ZBDC=120,BD=DC.探究：当M、N分别在且践AB、AC上移动时,BM.NC.MN之间的数帝关系及AA

10、MN的周长Q与等边A48C的周长1.的关系.图I图2图3（I）如图1,当点M、NiiABxAC上，且DM=DN时，BM、NC.MN之间的数量关系是:此时当;（II）如图2,点M、N边AB、AC,且当DMHDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的他世并加以证明：（III）如图3,当M、N分别在边AB、CA的一长线上时,若AN=X.则Q=（用K、1.表示）.参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题已知,如图AABC中.AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是解:延长AD至EttAE=2AD,连BE,由三角形性质知A例2、如图，AABC中，E、F分别在AB、大小.解：

11、I倍长中线，等腰三角形“三线合JZZABDCAC上，DEDF.D是中点，试比较BEXT与EF的A,法）延长FD至G使ro=2EF,连BG.EGZAB-BE2DAB+BE故AD的取值范围是1AD4明&BG=FC.在ZSEFG中,留意到DE1.DF,由等腰三角形的三线合一知EG=EF在ABEG中.由三角形性质知EGBGBE故：EFBE+FC例3、如图,AABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证：解：延长AE至G使AG=2AE,连BG,DG,明显DG=AaZGDC-ZCD由于DC=AC,故/ADC=/DAC在AADB与AADG中，BDAD平分/BAE.CBD=C-DG.D=D.ZADB=NA

12、DC+ZACD=ZADC+ZGDC=ZADG故AADBgZUDG.故百NBAI)-NDAG,即AD平分NBAE应用t1、（09崇文二模）以的两边A8、AC为腰分别向外作等腰BCR1.aAQ和等假Rt4CE,N8八。=NcS=90,连接。凡A/、N分别是EC、DE的中点.探先AMiDF.的位&关系及数量关系.（I）如图当AABC为出角三角形时,AM1.jDE的位置关系是.线段AM与的数喷关系是：（2）将图中的等腰R1.AAfiD绕点A沿逆时针方向战转4（0夕90）后，如图所示，（1）问中得到的两个站说是否发生变更？并说明理由.二、长补Jf1.1,如图，A8C中，AB=2RC,AD平分/84C,旦

13、AD=BD,求if；CD1.AC解：（截长法在AB上取中点F,连FDADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DFB.故NAH）=90DFADC(SS)ZACD=ZAH)=90o即：CD1.AC2、如图，ADBC,ER,EB分别平分NDAB,NCBA,CD过点E,JRiiEiAB=AIHBC解：截长法在AB上取点F,使AF=AD,连FEDE4AHZAIJE=ZAre.ZADBZBCE=18OZAFE*ZBFE=180*故NECB=/EFBFBECBE故有BF=BC从而:AB=AIXBCZBAC=M,ZC=4OP.Q分别在BGCA上，并旦AP,BQ分别是N3AC,CN8C的角平分戏，米证：B矽AQ=AB+BP解：（补短法，计算数值法）廷长AB至D,使BD=BP,连Dp在等腰aBPD中，可得NBDP=40从而NBDP=40=ZACPDPCP故AD=AC又NQBC=Kr=ZQCB故BQ=QCBD=BP从而BAQ-AB出P4、如图.在四边形ABCD中,BCBR,AD=CD.BD平分48C求证：Z4+ZC=180解：补短法延长BA至F,使BF=BC,BI)FBDC(SAS故NDFB=NDCB.