浙大数学建模数学建模概论.ppt

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1、数学建模概论数学建模概论 n随着电子计算机的出现和科学技术的迅猛随着电子计算机的出现和科学技术的迅猛发展，数学的应用已不再局限于传统的物发展，数学的应用已不再局限于传统的物理领域，而正以空前的广度和深度逐步渗理领域，而正以空前的广度和深度逐步渗透到人类活动的各个领域。生物、医学、透到人类活动的各个领域。生物、医学、军事、社会、经济、管理军事、社会、经济、管理，各学科、，各学科、各行业都涌现出大量的实际课题，亟待人各行业都涌现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。们去研究、去解决。n利用数学知识研究和解决实际问题，遇到利用数学知识研究和解决实际问题，遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型，的

2、第一项工作就是建立恰当的数学模型，数学建模正在越来越受到人们的重视。从数学建模正在越来越受到人们的重视。从这一意义上讲，可以说数学建模是一切科这一意义上讲，可以说数学建模是一切科学研究的基础。没有一个较好的数学模型学研究的基础。没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，建就不可能得到较好的研究结果，所以，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一。的关键之一。 数学模型数学模型（Mathematical Model） 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题题 本质属性的抽象而又简洁的刻划

3、，它或本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。略。 数学建模数学建模（Mathematical Modeling） 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。程。1.1 例例（万有引力定律的发现万有引力定律的发现 ） 十五世纪中期十五世纪中期 ，哥白尼哥白尼 提出了震惊世界的提出了震惊世界的 日心说日心说。丹麦著名的实验天文学丹麦著名的实验天文学

4、家家第谷第谷花了二十多年时间花了二十多年时间 观察纪录下了当观察纪录下了当 时已发现的五大时已发现的五大 行星的运动情况行星的运动情况 。第谷的学生和助手第谷的学生和助手 开普勒开普勒对这些资料进行了九年时对这些资料进行了九年时间的分间的分 析计算后析计算后 得出著名的得出著名的Kepler三定律三定律。牛顿牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律万有引力定律。1.行星轨道是一行星轨道是一 个椭圆，太个椭圆，太 太阳位于此椭圆的一个焦太阳位于此椭圆的一个焦 点上。点上。 2.行星在单位

5、时间内行星在单位时间内 扫过的扫过的 面积不变。面积不变。3.行星运行周期的平方正比行星运行周期的平方正比 于椭圆长半轴的三次方于椭圆长半轴的三次方 ， 比例系数不随行星而比例系数不随行星而 改变改变 （绝对常数）（绝对常数）开普勒三大定律开普勒三大定律 这其中必这其中必 定是某一定是某一 力学力学规律规律 的反映，哼哼，我的反映，哼哼，我 要找出它。要找出它。 如图，有椭圆方程如图，有椭圆方程 :cos1 eprdrdA221矢径所扫过的面矢径所扫过的面 积积A的微分为的微分为:由开普勒第二定由开普勒第二定 律律:wrdtdA221常数常数立即得出立即得出:wrwrrwrdtd222)(0即

6、即:02wrwr另外，椭圆面积另外，椭圆面积wTrdtdtdAabT2021由此得出由此得出Tabwr22常数常数作一次牛顿！呵！作一次牛顿！呵！行星行星r太阳太阳我们还需算出行星的加速度，为此需要建立我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记沿长轴方向的单位向量记 为为i,沿短轴方向的单位向量记沿短轴方向的单位向量记 为为j，于是：，于是：jir sinrcosr 进而有进而有 加速度加速度cossin)(2(sin)(cos()sinr(dtd)cosr(dtd22

7、222)jijijira wrwrrwr以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是量分别是jiejie cossinsincos r , 因此得出因此得出rrwrea)(2 由于由于02wrwr也就是说行星的加速度为也就是说行星的加速度为rrTaea223214由开普勒第三定律知由开普勒第三定律知23/Ta为常数。若记为常数。若记2324MTaG那么就导出著名的那么就导出著名的 万有引力定律：万有引力定律：再将椭圆方程再将椭圆方程 )cos1 (erp两边微分两次，得两边微分两次，得0)(1)(2232 wrrrprwr将前面得到的

8、结果将前面得到的结果和焦参数和焦参数代入，即得代入，即得22322rTarwr14 Tabwr22abp2rrMmGFe2 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计对资料的分析计 算，算， 找出起主要作用的因素，经必找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻在所作假设的基础上，利用适当的数学工具

9、去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即即建立数学模型。建立数学模型。 4.模型求解。模型求解。 5.模型的分析与检验。模型的分析与检验。 在难以得出解析解时，也在难以得出解析解时，也应当借助应当借助 计算机计算机 求出数值求出数值解。解。 实体信实体信息息(数据数据)假设假设建模建模求解求解验证验证应用应用对某个实际问题对某个实际问题了解的深入程度了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特模型中变量的特征征连续型模型、离散型模型或确定性连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等模型、随机型模型等建模中

10、所用的数建模中所用的数学方法学方法初等模型、微分方程模型、差分方初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等程模型、优化模型等研究课题的实际研究课题的实际范畴范畴人口模型、生人口模型、生 态系统模型态系统模型 、交通、交通流模型、经流模型、经 济模型、济模型、 基因模型等基因模型等数学建模实践的数学建模实践的 每一步中都每一步中都 蕴含着能力上的蕴含着能力上的 锻炼，在锻炼，在调查研究阶段，需调查研究阶段，需 要用到要用到观察能力观察能力、分析能力分析能力和和数据处理数据处理能力能力等。在提出假设等。在提出假设 时，又需要用到时，又需要用到 想象力和归纳想象力和归纳 简化简化能力。能力。

11、在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作作成为别人研究工作 的的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间在尽可能短的时间 内内查到并学会查到并学会我想应用的知识的本领。我想应用的知识的本领。 还需要你多少要有点还需要你多少要有点 创新的能力创新的能力。这种能力不是生来就。这种能力不是生来就有

12、的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 开设数学建模课的主要目的为了提高学开设数学建模课的主要目的为了提高学 生的生的综合素质综合素质，增强，增强 应用数学知识应用数学知识 解决实际问解决实际问 题的本领。题的本领。近几年里，我校学生近几年里，我校学生都在只参加了半年左都在只参加了半年左右的学习和实践后，右的学习和实践后，就在国家及国际大学就在国家及国际大学生数学建模竞赛中交生数学建模竞赛中交出了出色的研究论文，出了出色的研究论文， 20022002年首次参加全国年首次参加全国赛就获得国家一等奖赛就获得国家一等奖一项，一项，20032

13、003、20042004年年又各获国家二等奖一又各获国家二等奖一项，项，20042004年首次参加年首次参加国际赛又一举获得国国际赛又一举获得国际二等奖三项的好成际二等奖三项的好成绩。绩。开设数学建模课的主要目的并非简单地传播数开设数学建模课的主要目的并非简单地传播数学知识而是为了提高综合素质，增强应用数学知识学知识而是为了提高综合素质，增强应用数学知识解决实际问题的本领。因此，在学习数学建模时学解决实际问题的本领。因此，在学习数学建模时学生应当特别注意自身能力的培养与锻炼。要想知道生应当特别注意自身能力的培养与锻炼。要想知道李子的滋味是酸的还是甜的，你必须亲口去尝一下；李子的滋味是酸的还是甜

14、的，你必须亲口去尝一下；要想知道如何建模，除了学习基本技能与基本技巧要想知道如何建模，除了学习基本技能与基本技巧之外，更重要的是应当参与进来，在建模实践中获之外，更重要的是应当参与进来，在建模实践中获得真知。得真知。例例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行

15、了多长时比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？间？ 似乎条件不够哦似乎条件不够哦 。 换一种想法，问题就迎刃而换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？十分钟时间从何而来？ 显然是由于节省了从相遇点到显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需段路的缘故，故由相遇点到会合点需开开5分钟。而此人提前了三十分钟到分钟。而此人提前了三十分钟到达会

16、合点，故相遇时他已步行了二十达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。五分钟。 ？例例2 2 某人第一天由某人第一天由 A A地去地去B B地，第二天由地，第二天由 B B地沿原路返回地沿原路返回 A A 地。问：在什么条件下，地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。中的同一时间到达该地。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由一天由B B去去A A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。 （请自己据此给出严格证明）请自己据此给出严格证明） 例例3 3 证明三角形的内角和为证明三角形的内角和为180180度。度。例例4 4 证明三角形的外角和为证明三角形的外角和为360360度。度。例例5 5 证明勾股定理。证明勾