数学分析复习.ppt

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1、第一章实数集与函数确界的定义P6，确界原理P7，函数的定义P10，复合函数P12，反函数P13，,2.:( ),;SRixSxS上、下确界最小上界 最大下界定义 设 是 中的一个数集若数 满足对一切有即 是 的上界.,)(00即又是的最小上界使得存在对任何xSxii,sup .SS上确界则称数 为数集 的记作;,)(:.3的下界是即有对一切满足若数中的一个数集是设定义SxSxiRS.,)(00即又是的最大下界使得存在对任何xSxii,inf.SS下确界则称数 为数集 的记作P23-N数列的定义，数列极限的定义P23,第二章数列极限定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不

2、论它多不论它多么小么小),),总存在正数总存在正数N, ,使得对于使得对于Nn 时的一时的一切切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限, ,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a, ,记记为为 ,limaxnn 或或).( naxn 给定一个数列，判断它是否收敛的方法：定义，是否有界，迫敛性，单调有界定理P35，柯西收敛准则P38,是否任何子列都收敛于同一极限（对判断发散特别有用）P33如何求数列的极限：定义，四则运算，迫敛性收敛数列的性质P2830：唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性等。00,:,:xxMxx xx 定义

3、定义第三章函数极限函数极限的定义（函数极限的定义（6种类型）种类型）P42，44：M定义0,0,( ).MxMf xA 使当时 恒有 Axfx)(lim定义定义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当给定一个函数，判断它在一点（或趋于无穷时）是否收敛的方法：定义，是否有界，归结原则（海涅定理）P52，柯西收敛准则P54,对于单侧极限：可用单调有界定理P54函数极限的性质P4849：唯一性，局部有界性，局部保号性，保不等式性，迫敛性等。如何求函数在一点（或趋于无穷时）的极限：定义，四则运算，迫敛性，两个重要极限0sin1lim1,lim(1)xxxxexx无穷小量，无穷大量的定

4、义无穷小量，无穷大量的定义P59，62-63，阶的比较，阶的比较P60-61如何求曲线的渐近线如何求曲线的渐近线P65：斜渐：斜渐近线近线 ，垂直渐近线，垂直渐近线( )lim,lim( )xxf xkf xkxbx( )f xkxb第四章函数的连续性函数在一点的连续性的定义函数在一点的连续性的定义P67-68：连续，左连续，右连续连续，左连续，右连续000,0,( )().xxf xf x使当时恒有:定义函数在区间上的连续性定义函数在区间上的连续性定义P72给定一个函数，判断它是否在一点连给定一个函数，判断它是否在一点连续，若不连续，判断它属于哪类续，若不连续，判断它属于哪类间断间断点点P7

5、1-72连续函数的性质连续函数的性质P74：局部性质局部性质：与函数极限类似，但注意：与函数极限类似，但注意“复合函数的连续性复合函数的连续性”P75(定理定理4.5)闭区间闭区间上连续函数的性质上连续函数的性质P76：最大、最小值定理，有界性定理，介最大、最小值定理，有界性定理，介值性定理，根的存在性定理值性定理，根的存在性定理反函数的连续性反函数的连续性P78，一致连续性的定义一致连续性的定义P79一致连续性定理一致连续性定理P80求求函数极限函数极限的一种新方法：利用初等的一种新方法：利用初等函数的连续性（函数的连续性（P84例题）例题）第五章导数和微分定义：导数定义：导数P88，单侧导

6、数，单侧导数P89，导，导函数函数P90，高阶导数，高阶导数P106，高阶导，高阶导函数，微分函数，微分P111，高阶微分，高阶微分P113( )( )( )( )( )nnnx ax adf xd f xfafadxdx给定一个函数，判断它在一点是否可导。给定一个函数，判断它在一点是否可导。求出函数在某点的导数（微分）：求出函数在某点的导数（微分）：定义，基本初等函数导数公式定义，基本初等函数导数公式P101，求导法则求导法则P101（四则运算，反函数，（四则运算，反函数，复合函数），对数求导法复合函数），对数求导法（例（例11）求出函数在某点的高阶导数（微分）：求出函数在某点的高阶导数（微

7、分）：定义，莱布尼兹公式定义，莱布尼兹公式P108费马定理费马定理P93：求函数极值：求函数极值利用导数概念求曲线的切线、法线利用导数概念求曲线的切线、法线P92求参变量函数的导数和高阶导数求参变量函数的导数和高阶导数P104，10922()dyddydyd ydtdt dxdxdxdxdxdtdt第六章微分中值定理及其应用利用微分中值定理证明各种类型的不等利用微分中值定理证明各种类型的不等式及等式：罗尔式及等式：罗尔P119，拉格朗日，拉格朗日P120，柯西柯西P125-126利用利用洛必达洛必达法则求不定式极限法则求不定式极限P127：0000100 注意：并非所有不定式极限都可以用注意：

8、并非所有不定式极限都可以用P130给定一个函数：给定一个函数：1)能利用导数判别它的单调区间能利用导数判别它的单调区间2)能写出它在一点的泰勒多项式（公式），麦能写出它在一点的泰勒多项式（公式），麦克劳林多项式（公式），佩亚诺型、拉格朗克劳林多项式（公式），佩亚诺型、拉格朗日型余项（注意不同类型的余项，对函数的日型余项（注意不同类型的余项，对函数的要求不一样）要求不一样）P134，1383)能判断其极大、极小值能判断其极大、极小值P142、最大、最小、最大、最小值值P1454)能判断其凸（凹）性区间和拐点能判断其凸（凹）性区间和拐点P148152。5)利用上面的讨论和渐近线，画出函数图象利用上

9、面的讨论和渐近线，画出函数图象利用泰勒公式求不定式极限。利用泰勒公式求不定式极限。P137例例4（记住六个常用函数的麦克劳林多项式及其余（记住六个常用函数的麦克劳林多项式及其余项项P136例例1）第七章实数的完备性关于实数集完备性的基本定理：区间关于实数集完备性的基本定理：区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理的套定理、聚点定理、有限覆盖定理的叙述与证明（书上的及习题）叙述与证明（书上的及习题）闭区间上连续函数性质的证明（书上闭区间上连续函数性质的证明（书上的及习题）的及习题）第八章不定积分原函数及不定积分的定义原函数及不定积分的定义P177-178( )( ),( )( )Fxf xf x dx

10、F xC求函数的不定积分：求函数的不定积分：基本积分表基本积分表P180，线性运算法则，线性运算法则P181，（第一、第二）换元积分法（第一、第二）换元积分法P182，分部积分，分部积分法法P187 u：对数，反三角，代数，三角，指数：对数，反三角，代数，三角，指数udvuvvdu能求出有理函数、三角函数有理式、能求出有理函数、三角函数有理式、某些无理根式的不定积分某些无理根式的不定积分P190-198定义：区间的分割和分割的模定义：区间的分割和分割的模P201，积分和，积分和P202，定积分，定积分P202，计算定积分的方法：计算定积分的方法：牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式P204，换元积

11、分法换元积分法P224，分部积分法，分部积分法P226，借助定，借助定积分的性质（积分的性质（P213性质性质1、2、4）特点：不求出原函数，仍然可能求出定积分的特点：不求出原函数，仍然可能求出定积分的值值P225例例3第九章定积分( )( )( )( )bbaaf x dxF xF bF a常见的可积函数类：连续函数常见的可积函数类：连续函数P209，只有有，只有有限个间断点的有界函数限个间断点的有界函数P210，单调函数，单调函数P210。定积分的性质：定积分的性质：线性性（线性性（P213性质性质1、2），两个可积函数的），两个可积函数的乘积函数是可积的（乘积函数是可积的（P213性质性

12、质3），积分区间），积分区间的可加性（的可加性（P214性质性质4，P215规定规定1、2），），积分不等式（积分不等式（P215性质性质5），积分第一、第二），积分第一、第二中值定理（中值定理（P217，222），推广的积分第一中），推广的积分第一中值定理（值定理（P218），原函数存在定理（微积分），原函数存在定理（微积分学基本定理）学基本定理）P221。002200( )( ),( )( ).( )()( ) () ()( ),( )().( )( )( )( ),( )2 (2 )( )xaxax ax axxxxF xf s dsFxf xF xf xs dsf u duuxsf u

13、 duFxf xaF xf s dsf s dsf s dsFxfxf x令记住公式：记住公式：平面图形的面积平面图形的面积P239、立体的体积、立体的体积P243、旋、旋转体的体积转体的体积P245、曲线的弧长、曲线的弧长P247、旋转曲、旋转曲面的面积面的面积P254、静压力静压力P255、引力、引力P256、功、功P257第十章定积分的应用立体的体积立体的体积P243：( )baA x dx旋转体的体积旋转体的体积P245:212|( )|,( )( )|( ) ( )|,|( ) ( )|( )bbaaf xdxfxf x dxf t x tdtf t x t dtrd参数曲线封闭曲线

14、1极坐标2平面图形的面积平面图形的面积P239：2 ( )baf xdx曲线的弧长曲线的弧长P247:旋转曲面的面积旋转曲面的面积P254:22222 ( ) ( )1 ( )( ),( ) ( )baxtyt dtyx dxrrrrd极坐标2222( ) 1 ( )2( ) ( ) ( )baf xyx dxf txtyt dt定义：无穷积分定义：无穷积分P265， 瑕点，瑕积分瑕点，瑕积分P267 反常积分的敛散性。反常积分的敛散性。要求：能够利用定义去判别反常积分的敛散性，要求：能够利用定义去判别反常积分的敛散性，并在收敛时求出反常积分的值。并在收敛时求出反常积分的值。第十一章反常积分( )af x dxlim( )babf x dx( )baf x dxlim( )buuaf x dx