二项式知识点十大问题练习含复习资料.docx

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1、1 .二项式定理：(a+b)n=Cy+Ca1.b+C;anb,+C(e/V).2 .基本概念：二项式捉开式：右边的多项式叫做(“+”的：项爆开式，二项式系数:绽开式中各项的系数C：(r=0.1,2项数：共(r+1.)项，是关于的齐次多项式通项：淀开式中的笫r+1项Cw1.一少叫做二项式标开式的通项。用Tr,t=C+C-X2-.+Cr+(-I)C(mGAr)5 .性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对矩离”的两个二项式系数相等，即C=CC=CT二项式系数和：令=b=1,则二项式系数的和为d+C+C+C=2,变形式U+C+U+U=2-1.奇数原的二项式系数和-偶数项的二项式系数和：在二项式定理中

2、,令=1.Z=-1.则C：-C：+C：-C：+(-ire；=(I-I)=0,从而得到：C,+d+C+d+=C+C+C-rt,+-=2n=2n-有数项的系数和与偈数顶的系数和:(a+x)11=C43,+Caf-1.x+C;a-2x2+C0.vn=q+a1.x+a2x2+anxn(x+a)n=Cy/+Cab+CV-2+.+Cn=+a2x2+1.+%令=1.则为+q+生+仆an=(r?+1.)11令*=I,!Jq,+/-a、+A为A，A、,4“，设第r+1项系数最大，应有6+C6+C6T=(C6+C62+C6)=Ic+C,1.,6+Cj62+C：-6*-1.)=1(1+6)-1=(7-1.)666练

3、：C+3CJ+9C+3,c;=.解:设S,=C：+3C：+9C；+3*q,则3S.=C：3+C3+C；3,+C；3=C：+C：3+C1；32+C：3+C：3-1=(1+3)-1(1.+3)n-1.4-1=33遨型二：利用二项公式求取的系数:例：在二项式（行+MFy1的绽开式中倒数第3项的系数为45.求含有./的项的系数？解：由条件知Cr2=45.RPC；=45,-11-9()=0,解R=-9(含去)或=IO.由0=C鼠T)%=GM三子,由题意-W-+r=3,Wr=6.43则含有x的项是第7项T=CQr=2】0./,系数为210，练：求绽开式中V的系数？2.v解：7；.,=C;(xir(-)r=

4、GCx,-2r(-)rx,=C(-),.*,-3.令83/=9,则Ix22r=3I71故X的系数为C；(一5)=彳题里三：利用通项公式求常数项:例：求二项式(F+-I=)10的旋开式中的常数项？解：7；tI=C1,0(),-r(-U)r=C1,0(rA2r,令201=0,得r=8,所以2.t22%y夕噎练：求二项式(2.r-)6的旋开式中的常数项？解：=G(2x)(-1.)()=(1)墨26(；)./”，令6-2r=0得r=3,所以4=(-I)C=-20练：若(/+_)的二项绽开式中第5项为常数项，则”=.X解：1=U(F)7(=C2E2,令2-12=0.得”=6.X鹿型四；利用通项公式，再探

5、讨而确定有理数项；例：求：项式(JT-WV绽开式中的有理项？解：7；.,=C(x7,(-r)z=(-1.),C1iAr,令-wZ,(0rS9)得r=3如=9,6所以当，=3时.卫二=4,Ti=(-1.)Cx4=-846当r=9时，=3,=(-1.)3C=-.6题型五：奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和：例：若(7-J=1绽开式中偶数项系数和为-256,求A-解：设(一苏)绽开式中各项系数依次设为4，%，*令X=-I,则有0+-=0.令x=1,则有0-,+,-+(-1.),11=2.将-得：2(“+,+%+)=-2,a1.+a1+,+=2,1.,有璃意得，-2=-256=-2f1.,.=

6、90练：若的城开式中,全部的奇数项的系数和为1024,求它的中间项.解：.C+Cj+U+C+=C：+C：+CT+=2i,.2Z=1O24,解IUn=II所以中间两个项分别为n=6,n=7,小=CJ)6(s4)5=462-.t4.Q=462*题鞭六：朵大系数，最大项:例：已知（二+2刈，若捉开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求淀2开式中：顶式系数以大项的系数是多少？解：C+C：=2C.，一21.+98=0,解出n=7或=14,当=7时，筵开式中：项式系数最大的项是7；和I；.7；的系数=C（；）2=T，7；的系数=4+C*)(C,xs+C42+C；2s)故绽开式中含X的项为C；

7、*C2+Ctx24=24(,故绽开式中X的系数为240.练：求式子(M+J7-2)的常数项？W：刎而2)洞谪)0.设笫r+1.i为常数项，则.W6-2r=0.r=3.心=G(T)Irr(y=(T)6C;Mr1.11=(-),c2=-20.题型八：两个：顶式相乘；例：求(1+2x)(1.7)展开式中小的系数.解：.(1.+2x)的展开式的通项是C(2Xyn=C(I一R4的展开式的通项是C：(一x)=C：-1x,其中，=0.1,2.3,=0,1,2.3.4.令+=2.则，=Ofiw=2,m=1且=1.m=2且A=0.因此(1+2)1(1-x)4的展开式中M的系数等于笠26(T)2+cbTc:Ga+

8、耨C(T)0=-6绦求(i+7)F+2尸展开式中的常数项.I44W-K骷(1+火)6。+二严展开式的通项为0亍=cc1V.Vm=6.=8.其中加=0.12.6,n=0.12,10.当且仅当4m=3,即，或.或=0,=4,时得展开式中的常数项为以+4246.练：已知(I+X+/)(.v+4)的展开式中没有常数项.wGfJ12x-=q,通项分别与前面的三项相乘可得XC：MtC:j”.c;S2,.展开式中不含常数项.28n4r且“4r+1.K114r+2,即“4,8J1.n*3,7且“2,6,.n=5.遨型九：奇数项的系数和与偈数项的系数和：例：在(K-)x*w的二项展开式中,含布J奇次解的项之和为5,当X=5-t,5=解：曲x-*=+ij+2x2+avr+a2intxxn,(-2)2*w4=4,又P+S=272.即4+2=272=(2+172n-16)=O解得2*=16或2